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1、第五章,信号处理初步,第三节,相关分析及应用,第四节,功率谱分析及应用,5-3,相关分析,相关,相,关,是,指,变,量,之,间,的,存,在,着,相,互,关,联,，,如,人,的,身,高,和,体,重,之,间,存,在,一,定的相关性。,5-3,相关分析,相关系数,变量,x,和,y,之间的相关程度常用,相关系数,表示：,：分别为随机变量,x,，,y,的均值；,：分别为随机变量,x,，,y,的标准差。,是变量,x,，,y,的协方差。,可以证明，相关系数,的取值在正负,1,之间。当,时，,表明两个随机变量精确线性相关；,时，也是精确,线性相关，直线的斜率为负表明一变量随另一变量的增,加而减少；,，表明两个
2、变量完全无关。,?,?,?,?,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,E,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,y,?,?,x,y,?,?,x,E,x,?,?,?,?,2,2,x,x,E,x,?,?,?,?,?,?,?,?,x,y,?,1,x,y,?,?,1,xy,?,?,?,0,xy,?,?,x,y,?,5-3,相关分析,自相关函数,设,x(t),为某各态历经随机过程的一个样本记录，,x(t+),是在时间轴上移动,后的样本，两个样本具有相同的均值,和标准差。,?,?,?,?,0,1,l,i,m,T,x,T,R,x,t,x,t,d,t,T,?,?,?,?
3、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,0,2,2,2,0,2,2,1,lim,(,),(,),d,(,),1,lim,(,),(,),(,),(,),d,1,lim,(,),(,)d,T,x,x,T,x,x,t,x,t,x,x,T,x,x,x,T,x,T,x,T,x,x,x,x,x,t,x,t,t,T,x,t,x,t,x,t,x,t,t,T,x,t,x,t,t,R,T,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,(,t,),与,x,(,
4、t,+,),的相关系数为：,定义自相关函数为：,5-3,相关分析,自相关函数,5-3,相关分析,自相关函数性质,自相关函数为偶函数，即,R,x,()=R,x,(,-,),。,随机信号的,R,x,(,),随着,的增大而逐渐收敛。当,时，,x,(,t,),与,x,(,t,+,),不相关，即,，,当,=,0,时，,R,x,(0),为最大值。,取值范围：,周期信号的自相关函数也是周期函数，其周期与信号的周期,相同，但波形不同，且丢失了原信号的相位信息（例）。,两个信号之和的自相关函数等于各信号自相关函数之和。,?,?,?,?,?,0,x,?,?,?,?,?,利用自相关函数,的这一性质可以,发现和提取混
5、杂,在噪声信号中的,周期信号成份。,?,?,2,x,x,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,x,x,x,x,x,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,5-3,相关分析,自相关,例,求正弦信号的自相关函数：,正弦信号的自相关函数保留了幅值和频率的信息，但,丢,失了初始相位信息,。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,0,2,sin,1,lim,1,sin,sin,cos,2,x,T,T,x,t,A,t,R,x,t,x,t,dt,T,A,t,t,dt,T,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?
6、,?,?,?,?,?,?,sinsin=,-,1/2cos(+),-,cos(,-,),1,、以上分析仅对,各态历经随机信号,和,功率信号,有效：,2,、而对于,能量信号,：,?,?,?,?,0,1,l,i,m,T,x,y,T,R,x,t,y,t,d,t,T,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,1,l,i,m,T,x,T,R,x,t,x,t,d,t,T,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,y,R,x,t,y,t,d,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,R,x,t,x,t,d,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,5-3,相关分析,自相关
7、,5-3,相关分析,自相关,典型信号自相关函数,5-3,相关分析,自相关,工程应用实例：加工表面粗糙度分析，如图。对表面粗糙,度波形进行分析，发现其自相关函数中的周期成份，可以,进一步分析原因。,5-3,相关分析,互相关函数,互相关函数,两个信号,x(t),和,y(t),的互相关函数定义为：,互相关函数是两个不同时间函数之间相关性的度量。,?,?,?,?,0,1,l,i,m,x,y,T,R,x,t,y,t,d,t,T,?,?,?,?,?,?,?,?,取值范围：,非偶函数。,同频周,期,信号相,关,，,不同,频,周期信,号,不相关,。,（,书,P165,例,）,互相关函数,一般是不等的，书写是要
8、注,意。,5-3,相关分析,互相关性质,?,?,?,?,?,?,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,y,y,x,R,R,?,?,5-3,相关分析,互相关函数的应用,互相关函数的应用：,工程应用：测速、定位、检漏、滤波。,互相关应用,1,：测速,d,v=d/,d,5-3,相关分析,互相关函数的应用,互相关应用,2,：检漏,m,s=,m,v,/2,v,：音响在管道中的传播速度,;,m,：时间差。,5-4,功率谱分析,自功率谱,自功率谱密度函数：,逆变换：,即自相关函数和自功率谱密度函数互为傅里叶变换对：,自功率谱密度函
9、数,简称,自功率谱。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,e,R,f,S,f,j,x,x,2,?,?,?,?,?,?,?,?,df,e,f,S,R,f,j,x,x,?,?,?,2,?,?,f,S,R,x,x,?,?,随机信号不是周期信号，因而不能用傅里叶级数展开其,频谱；而且随机信号在时间轴上无限延续，也不满足绝,对可积的条件，不能用傅里叶变换求其频谱。随机信号,的自相关函数是绝对可积的，通过求随机信号自相关函,数的傅里叶变换来得到频域信息。,5-4,功率谱分析,自功率谱,物理意义,：,自功率谱密度函数,表示信号的功率密度沿频率轴的分,布情况。而信号的,平均功率,等于自功率
10、谱密度函数曲,线下包括的面积。,?,?,?,?,?,?,2,0,0,1,x,x,T,T,R,S,f,df,x,t,dt,T,Lim,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,1,l,i,m,T,x,T,R,x,t,x,t,d,t,T,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,df,e,f,S,R,f,j,x,x,?,?,?,2,体现了自功率谱密度函,数和信号之间的关系,5-4,功率谱分析,双边谱与单边谱,自相关函数为实偶函数，则自功率谱密度函数也为,实偶,函数,。,沿频率轴正负半轴对称分布，这种功率谱称为,双边谱,。,为了符合工程实际，考虑的频率范围一般都是正频率范,围
11、部分，称为,单边谱,。为了保持信号能量不变，单边,谱和双边谱成二倍关系。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,f,0,0,f,d,e,R,2,f,S,2,f,G,f,2,j,x,x,x,?,?,?,?,5-4,功率谱分析,Parseval,定理,Parseval,定理：,时域中计算的信号总能量等于频域中计算的信号总能量,。,利用,Parseval,定理，可以通过直接对时域信号作傅里叶,变换来计算功率谱，即：,这充分说明了自功率谱密度函数和幅值谱之间的密切关,系。于是，自功率谱有了两种定义方法：,?,?,?,?,2,1,l,i,m,x,T,S,f,X,f,T,?,
12、?,?,?,?,?,?,2,2,x,t,d,t,X,f,d,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,X,f,称为能谱,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,e,R,f,S,f,j,x,x,2,?,?,?,?,2,1,l,i,m,x,T,S,f,X,f,T,?,?,?,5-4,功率谱分析,功率谱的估计,由于实际中只能用有限长信号计算功率谱，所以仅能得到,功率谱的估计，,根据自功率谱两种不同定义方法，功率,谱的估计也分为,直接法,和,间接法,。,直接法：,又称为,周期图法,，对离散的数字信号序列,x(n),进,行,FFT,运算，取其模的平方，再除以点数,N,，便可得到信,
13、号的功率谱估计。,间接法：,先计算随机信号的自相关函数，然后求傅立叶变,换得到功率谱。,1958,年,Blackman,和,Tukey,给出这种方法,的具体实现，所以也称为,BT,法,，或,自相关法,。,?,?,?,?,2,1,?,x,S,k,X,k,N,?,5-4,功率谱分析,功率谱的估计,对周期图法的改进,：,1,）,Bartlett,法：将信号分成,M,段,2,）,Welch,法：将信号分成,M,段，相邻两端有一定重叠度。,说明：分段段数越多，那么估计的方差越小；但是，当信,号长度一定时，所分的段数越多，那么每段的样本点越,少，频率分辨率会降低，并增大偏度误差。实践表明，,重叠度,50%,最佳。,5-4,功率谱分析,功率谱的应用,5-4,功率谱分析,功率谱的应用,5-4,功率谱分析,功率谱的应用,5-4,功率谱分析,互功率谱,互功率谱密度函数,：,逆变换：,即互相关函数和互功率谱密度函数互为傅里叶变换对：,互相关函数,非实偶函数,，因而互功率谱密度函数有虚实,两部分。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,e,R,f,S,f,j,xy,xy,2,?,?,f,S,R,xy,xy,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,df,e,f,S,R,f,j,x,y,x,y,?,?,?,2,Thanks!,谢,谢！,
