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1、3.4随机向量的函数的分布,设(X,Y)是二维随机变量,z=(x,y)是一个已知的二元函数,如果当(X,Y)取值为(x,y)时,随机变量Z取值为z=(x,y),则称Z是二维随机变量的函数,记作Z=(X,Y)问题:已知(X,Y)的分布,求Z=(X,Y)的分布.,一、离散型随机向量函数的分布,例1,解,等价于,概率,例2,设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,例3,X,Y 相互独立,证明,由前面的例题可知,例4,例5,设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,我们可以按照前面的
2、方法来求解，也可以换一种方法.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.,若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数.,每次试验中A出现的概率为p.,于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2,p).,解,（续）,从问题的背景出发得到的结果更直接，更容易理解.,更一般地，,二、连续型随机变量函数的概率分布,1.已知(X,Y)f(x,y)，求Z=(X,Y)的概率
3、分布.,若Z为连续型随机变量,则在f(z)的连续点处,解,例6,X,Y相互独立,设Z的分布函数和概率密度分别为,例7已知(X,Y)f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.,解1,由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率密度为,例7已知(X,Y)f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.,解2,由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率密度为,推论 设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y).若X和Y独立,则,两个随机变量和的概率密度的一般公式,解,例8,被积函数的非零域,10,(10,10),(10,20),20,例9,解,被积函数的非零域,已知X,Y 相互独立且均服从标准正态分布，求Z
4、=X+Y的概率密度.,解,例10,若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,一个重要的结论,3.5极大极小值的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),求M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数.,M=max(X,Y),FM(z)=PMz=Pmax(X,Y)z,=PXz,Yz,=PXz PYz,=FX(z)FY(z),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,=1-PXz,Yz,FN(z)=PNz=Pmin(X,Y)z,=1 Pmin(
5、X,Y)z,=1-PXzPYz,=1-1-FX(z)1-FY(z),推论,例1,下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型随机变量时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,解1,记1-p=q，则P(Xi=k)=p q k-1,k=1,2,(i=1,2),设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.,例2,P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 n),n=0,1,2,解2 P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2)n)-P(max(X1,X2)n-1),=P(X1 n,X2n)-P(X1 n-1,X2 n-1),n=0,1,2,作业,3.4，3.24，3.31，3.32,
