抛物线习题(含详解).doc

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1、抛物线习题1已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点若，则k= （ ）A B C D2已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（ ）A B2 C D学3已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D4设抛物线的焦点为,准线为，为抛物线上一点，且为垂足，如果直线的斜率为，则等于（ ）A B C D5如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）A. B. C. D. 6已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的

2、左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（ ）A B C D 7抛物线的焦点为， 为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切（为坐标原点），且外接圆的面积为9，则（ ）A2 B4 C6 D88已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（ ）A. B. C. D.9抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A. B C D10已知抛物线y24x的准线与双曲线y21交于A、B两点，点F是抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率为()A B C2 D11【2015高考山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐

3、近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .12已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 13已知双曲线C1与抛物线C2：y28x有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M，若双曲线C1的焦距为实轴长的2倍，则|MF|_14如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.15设点P是曲线yx2上的一个动点，曲线yx2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线yx2的另一交点为Q，则PQ的最小值为_16如图,抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C

4、2于A,B,C,D四点,则的值是.17已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.18直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，_；（2）给出下列命题：，不是等边三角形；且，使得与垂直；无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是_.19已知平面内一动点（）到点的距离与点到轴的距离的差等于1，（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于不同于坐标原点的两点，求面积的最小值20（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛

5、物线:,过点的直线与抛物线分别相交于两个不同的点（1）以AB为直径的圆是否过定点，若是请求出该点坐标。若不是，请说明理由（2）过两点分别作抛物线的切线，设它们相交于点,求的取值范围21（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为AEF（）求抛物线的方程；（）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由22（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（0）交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得

6、当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.23（本小题满分14分）已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点.直线l与椭圆交于两个不同点.当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为.又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值；（3）若抛物线为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标.24（本小题满分14分）已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物线在第一象限的交点，且.（1）

7、求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1D【解析】试题分析：抛物线的准线为,设,由抛物线的定义可知, 将代入消去并整理可得由韦达定理可得解得,所以解得故D正确考点：1抛物线的定义;2直线与抛物线的位置关系问题2A【解析】试题分析：定点A（3，4）在抛物线y2=4x外部，抛物线y2=4x焦点为F（1，0），则,选A考点：抛物线定义3C【解析】试题分析：设，根据抛物线的焦半径公式：，所以，代入双曲线的方程，解得：，所以，双曲线方程是，渐近线方程是考点：1

8、双曲线方程和性质；2抛物线的定义名师点睛：对应抛物线和两个圆锥曲线相交的问题，多数从交点所满足的抛物线的定义入手，得到交点的坐标，然后代入另一个圆锥曲线，解决参数的问题4B【解析】试题分析：抛物线方程为，焦点，准线方程为，直线的斜率为，直线的方程为，当时，由可得点坐标为为垂足，点纵坐标为4，代入抛物线方程，得点坐标为，考点：抛物线的定义5A.【解析】，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质6A【解析】试题分析：根据题意，抛物线上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则 ，解得p=8；即抛物线的方程为，把M（1，m）代入，可得m=4，即M的坐标为（1，4），双曲线的左顶点为A，则a0，且A的坐标为

9、 ，渐近线方程为 ，因为双曲线的一条渐近线与直线AM平行，所以 ，解得 ，故选A考点：本题考查抛物线的定义，双曲线的几何性质点评：解决本题的关键是掌握抛物线的定义，焦半径公式，以及双曲线的几何性质7B【解析】试题分析：设的外接圆圆心为，且半径为3，由已知得点到抛物线准线的距离等于，故点在抛物线上，且点的横坐标为，由抛物线定义得，所以考点：抛物线的标准方程和定义.8D【解析】试题分析：直线y=k（x-2）（k0）恒过定点（2，0）即为抛物线y2=8x的焦点F过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，再过B作AC的垂线，垂足为E，设|BF|=m，|FA|=2|FB|，|AF|=2mAC=AF

10、=2m，|BD|=|BF|=m如图，在直角三角形ABE中，AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，cosBAE=直线AB的斜率为：k=tanBAE=2,故选 D.考点：直线与圆锥曲线的关系.9B【解析】试题分析：经过第一象限的双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为，设M（，），则，所以曲线在M点的切线斜率为，由题知=，所以=，因为三点，共线，所以，即，故选B.考点：双曲线的性质，抛物线的性质，导数的几何意义，三点共线的充要条件，两直线平行的充要条件10D【解析】抛物线y24x的焦点为(1,0)，准线方程为x1，设直线x1与x轴的交点为C，则|FC|2因为FAB为直角三角形，所以

11、根据对称性可知，|AC|FC|2，则A点的坐标为(1,2)，代入双曲线方程得41，所以a2，c21，e26，所以离心率e，选D11 【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,所以， .所以， .考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质. 12.【解析】试题分析：抛物线焦点，由题意，且并被轴平分，所以点在双曲线上，得，即，即，所以，故.考点：抛物线；双曲线.135【解析】易知抛物线的焦点为(2,0)，设双曲线为1(a0，b0)，由题意知c2,2c4a则a1，b2c2a

12、23，双曲线C1的方程为x21与y28x联立可解得x3，或x (舍去)所以xM3结合抛物线的定义可得|MF|xM2514【解析】试题分析：由题可得,因为在抛物线上,所以,故填.考点：抛物线15【解析】设P(x0，x02)，又y2x，则直线PQ的方程为yx02.代入yx2得x2x020，即(xx0)0，所以点Q的坐标为.从而PQ222，令t4x02，则PQ2f(t)t3(t0)，则f(t)，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，)上是增函数，故当t2时，PQ有最小值.161【解析】由于抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0),则|=|-1=xA,|=|-1=xD,|=xAxD=1,=|=

13、1.172【解析】e2， 2124，双曲线的渐近线方程为yx，|AB|2tan 60，又SAOB，即2tan 60，1，则p2.18;【解析】试题分析：由抛物线方程知，焦点，准线为。（1）当与平行时，因为有公共点，所以三点共线。因为点在准线上，点在直线上，所以关于点对称，所以与是相反向量，所以,此时。（2）将代入得，所以，假设能是等边三角形，则此时点只能是准线与轴交点。但此时。所以假设不成立，即不可能是等边三角形，故正确；不妨设，设则，当与垂直时，解得，即。因为，所以且，解得。故正确；因为，且，所以。故正确。综上可得正确的序号是。考点：抛物线方程及基本性质，平面向量的平行、垂直及向量坐标的运算

14、法则。19（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据平面内一动点到点的距离与点到y轴的距离的差等于1，可得当时，点到的距离等于点到直线的距离，所以动点的轨迹为抛物线；（2）过点的直线的方程为，代入，可得，利用韦达定理，结合面积，即可求面积的最小值试题解析：（1）平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1，当时，点到的距离等于点到直线的距离，动点的轨迹为抛物线，方程为（）；动点的轨迹C的方程为（）；（2）设点坐标为，点坐标为，过点的直线的方程为，代入，可得，面积，时，面积的最小值为2考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题20（1）过定点（0,0）；（2）；【解析】试题分析：（1）由通径可得

15、，于是抛物线方程为，联立方程，根据韦达定理得出两根的关系，从而求得，即过定点（0,0）；（2）利用导数的几何意义得出斜率，由韦达定理可得，即；试题解析：（1）依题意知，抛物线的方程为：x2=y，当AB与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为：x2+（y-1）2=1由此猜测圆过定点（0,0）证明如下，直线AB的斜率显然存在，设AB方程为，将其与抛物线方程联立消y得，设，则有，又因为，化简得：故，所以以AB为直径的圆过定点（0,0）；由得，故因此，同理,，联立解得：，故；考点：抛物线的性质导数的几何意义21（）（）【解析】试题分析：（）由的面积可得B点纵坐标，代入椭圆方程得，再代入抛物线方程得（）面积

16、比的转化是解决问题的关键，本题两个三角形有一个共同角，故利用面积公式：，即，再利用三点OEC共线及三点OFD共线,从而将面积比化为,这样就转化为直线与椭圆及直线与抛物线的位置关系了，利用韦达定理可解决问题试题解析：解: （）因为的面积为,所以，代入椭圆方程得， 抛物线的方程是：（） 存在直线: 符合条件解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得设,则由直线OC的斜率为,故直线的方程为，与联立得，同理，所以可得要使，只需即,解得，所以存在直线: 符合条件考点：直线与椭圆位置关系, 直线与抛物线位置关系,22（）或（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（

17、）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.=.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以符合题意. 考点：抛物线的

18、切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力23（1）；（2）5；（3）（16，8）.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算，利用基本不等式求最值；第三问，数形结合得，利用向量的数量积转化

19、为坐标的关系，利用基本不等式求S点纵坐标的取值范围，代入到中，利用配方法求函数的最值.试题解析：（1）直线的倾斜角为，直线的方程，为椭圆上任一点，=，当时，椭圆的方程 . 5分（2）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则，知=.当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得，即，即，化为，得到，则，满足，由前知，设M是ON与PQ的交点，则，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为.=2的最大值为5. 10分（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以ORS = 90，即 ，设S （，），R（，），（-，-），=（，），所以，因为，化简得 ，所以，当且仅当即16，y24时等号成立.

20、圆的直径|OS|=，因为64，所以当64即=8时，所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，8） 14分考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.24（1）；（2）在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.【解析】试题分析：（1）由已知设点的坐标，由抛物线的定义得，再联立，解得的值，即可得抛物线的方程；（2）设点，由已知得直线与抛物线相切，利用导数可得直线的方程，令可得点的坐标，利用，即可得的值.试题解析：（1）解法1： 点是直线与抛物线在第一象限的交点，设点 1分抛物线C的准线为，由结合抛物线的定义得 2分又点在抛物线C上， 3分由联立解

21、得，所求抛物线的方程式为 5分解法2：点是直线与抛物线在第一象限的交点，设点 1分抛物线C的焦点为，由得即 2分又点在抛物线C上， 3分由联立解得，所求抛物线的方程式为 -5分（2）解法1：由抛物线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设 6分又设点，由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得， 7分直线的方程为 8分令得，点的坐标为， 9分 10分点在以为直径的圆上， 12分要使方程对恒成立，必须有解得 13分在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为 14分解法2：设点，由与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得， 6分直线的方程为 7分令得，点的坐标为 8分以为直径的圆方程为： 10分分别令和，由点在抛物线上得将的值分别代入得：联立解得或 12分在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或将的坐标代入式得，左边=右边将的坐标代入式得，左边=不恒等于0 13分在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为 14分考点：1、抛物线的方程；2、抛物线的定义；3、直线与圆锥曲线的位置关系；4、导数的几何意义.