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1、高一期末复习立体几何初步1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE -Abcde或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形； 侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱
2、锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 p - abcde几何特征:侧面、对角面都是三角形； 平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 p-abcde几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ，其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体几何特征:底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5
3、） 圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了
4、物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点： 原来与x轴平行的线段仍然与 x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与 y平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（S直棱柱侧面积二ch1 （S正棱台侧面积hS圆柱表=2：r r l1S圆柱侧二2舄rh S正棱锥侧面积ch2S圆锥侧面积=?.灯|S圆台侧面积=（r R）二1S圆锥表=曲rIS圆台表二rrIRI
5、 R2c为底面周长,h为高，h为斜高，|为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式27柱=ShV圆柱=Sh =二 r hV锥Sh3V圆锥V台 1(s.SS S)hv 圆台(SSS S)h(r2 rR R2)h3 3（4）球体的表面积和体积公式：V球=4-r3 ； S球面=4：R234、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母a、B、丫表示，如平面a （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BG 点与平面的关系： 点A在平面内，记作；点A不在平面内，记作A :-点与直线的关系： 点A的直线l上
6、，记作：A | ；点A在直线I夕卜，记作 A l ；直线与平面的关系：直线I在平面a内，记作I a ；直线I不在平面a内，记作I二a。（2）公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面 内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理 1: A T , B T , A三x ,B = I二x(3) 公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一 平面。公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据(4) 公理3：如
7、果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线符号：平面a和B相交，交线是a,记作aA3= a。符号语言：P AP|B= Ap|B =I,P I公理3的作用： 它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。(5) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行(6) 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。(7 )等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。(8) 空间直线与平
8、面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点.直线不在平面內J相交一一只有一个公共点.(或直线在平面外)1平行一一役有公共点三种位置关系的符号表示：a aaCl a = A aII a(9 )平面与平面之间的位置关系：平行一-没有公共点；aII 3相交-有一条公共直线。a C 3 = b5、空间中的平行问题(1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行=线面平行线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。线面平行 n线线平行(2) 平面与平面平行的判定及其
9、性质两个平面平行的判定定理(1) 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(线面平行T面面平行)，(2) 如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。(线线平行t面面平行)，(3 )垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理(1) 如果两个平面平行， 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行t线面平 行(2) 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行t线线平行)7、空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义 两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 线面垂
10、直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。 平面和平面垂直：如果两个平面相交， 所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一
11、 个平面。9、空间直角坐标系（1）定义：如图，OBCD DABC是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA ,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）O叫做坐标原点 2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3 ）过每两个坐标轴的平面叫做坐 标面。（2） 右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的 相位置。（3） 任意点坐标表示：空间一点 M的坐标可以用有序实数组（x,y,z）来表示，有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，
12、记作M（x,y,z） （x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）（4） 空间两点距离坐标公式：d = （x2 xj2 （y2yi）2 （勺z, ）2典型例题1、 关于直线a、b、I与平面M N,下列命题中正确的是（）A. 若 a / M b / M 贝U a / bB. 若a/ M b丄a,则b丄MC. 若a二M b二M则I丄a , l丄b,则I丄MD. 若 a丄M a/ N,贝U MlN2、 若l, m,n是互不相同的空间直线，:-是不重合的平面，贝U下列命题中为真 命题的是（）A. 若：/ 叩二 & n - 卩,则 l/nB. 若叮二：；,则 l _ 1C. 若l _n
13、,m _n ,则 l/mD. 若 l .1 ：s,l/ -,则爲.13、设a , b为两条直线，:-,为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A. 若a, b与所成的角相等，贝U a/bB. 若 a/： , b/ - , : / -,贝U a/bC. 若 a : , b , a/b ,则一：D. 若a _ ： , b _ 1 ,爲】，则a _ b4、 a和B是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定aB的是（）A.a、B都垂直于平面pD0AABD4 二B俯规图（第 11 题）（第 12 题）球心到16二.与D与n个部分，n所有可能的值是()(D)4,6,7,8)I / m a丄B I丄m a
14、 / B,m/ a , m/ B , I / B 直线m平面B，有下列四个命题: 丄 B = I / m( )与 CB. a内不共线的三点到B的距离相等C. I、m是a内的直线，且I / B , mil BD. I、m是两条异面直线,且I / a6.已知直线I丄平面a ,a/B=T丄ma 其中正确的两个命题是A.与 B .5. 三个互不重合的平面，能把空间分成(A)4,6,7(B)4,5,6,8(C)4,7,86. 下列命题中，结论正确的个数是(1) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等(2) 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的 锐角或直角相等
15、(3) 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互 补(4) 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行A. 1 个 B. 2个C. 3个D.4 个7. 已知正四棱柱的底面积为4,过相对侧棱的截面面积为8,则该正四棱柱的体 积为8. 下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； 四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题的编号是9. 设A、B、C D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3,该平面
16、的距离是球半径的一半，则球的体积是()A. 8.6 二 B . 64.6 二 C. 24.2 二D. 72.2 二10. 如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球0的同一个大圆上，点P在球面上，如果Vpbcd，则球O的表面积是38 二 C. 12r:11. 一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示(单位：cm),则该几何体的体积是 cm 3.12.如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图为全等的等腰直角三角形,如果等腰直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为左视图C C|18. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 正视图(或称主视图) 是一个底边长为&高为4的等腰
17、三角形，侧视图(或称左视图)是一 个底边长为&高为4的等腰三角形.(1) 求该几何体的体积V;(2) 求该几何体的侧面积S。19. 如图所示，ABCD为正方形，SA_平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交 SB，SC，SD 于 E，F，G .求证：AE _SB AG _ SD .13已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和，该圆台的母线长14. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是15. 边长为a的正方体的内切球，外接球以及和各个棱都相切的球的体积比为16. P是厶ABC所在平面外一点，且 PA丄平面ABC若O Q分别是ABCn
18、PBC的垂心，求证：0Q-平面 PBC.FEDB17. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AAi= 8.若AABiB水平放置时, 液面恰好过ac,bc,ac1,B!G的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少?20. 如图，已知矩形 ABCD中，AB=10, BC =6，将矩形沿对角线BD 把 :ABD 折起，使A移到A点，且几在平面BCD上的射影0恰好在CD上.(I)求证：BC _ AD ;(U)求证：平面A,BC _平面ABD ; (川)求三棱锥A BCD的体积.21、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA_底面ABCD，E是SC上占(1)求证：平面EBD _ 平面 SA
19、C ;(2)设 SA 二 4，AB =2，求点A到平面SBD的距离;八、22. 如图是一个以 A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体， 截面为 ABC.已知 AB1 nBC =1, A1B1C1 =90，AA2BB4,CC3，设点 O是 AB 的中点，(1)求证：OC/平面A1B1C1 ; (2)求该几何体的体积.AX.OBA1J C1丄B123. 如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它 的正视图和侧视图在右边画出(单位：cm)。( 1按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2) 按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连结BC，证明：
20、BC / 面 EFGCC俯视圏AB / DC , PAD24、某几何体的三视图如右图所示(1) 根据三视图，画出该几何体的直观图；(2) 求该几何体的表面积；(3) 在直观图中，设G是线段PB上的点，当G在线段PB上 运动时，是否总有平面PBDL平面AGC证明你的结论。25、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD _平面ABCD， 是等边三角形,BD =2AD =8, AB =2DC =4.5 .(I)设 M是PC上的一点，证明：平面 MBD 平面PAD ； (U)求四棱锥P-ABCD的体积.CCAB27. 如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，.ADE = 90 ,A
21、F/DE , DE 二 DA 二 2AF =2.(I )求证：AC _平面BDE ;(II)求证：AC/ 平面 BEF ;(川)求四面体BDEF的体积.28. 已知四棱锥P - ABCD的底面是菱 形.PB=PD , E为PA的中点.(I)求证：PC /平面BDE ;(I)求证：平面PAC _平面BDE .29. 如图：梯形ABCD和正厶PAB所在平面互相垂直，其中AB/DC,B1AD二CD AB，且0为AB中点. 2(I ) 求证：BC/平面POD ;(II ) 求证：AC _ PD .30. 如图，在直三棱柱 ABC -AB。中，AB二AC，D，E分别为BC，BBi的中点，四边形B1BCC
22、1是正方形.(I)求证：AB / 平面 AC1D ;D(U)求证：CE _平面AGD .31. 在长方形AABB中，AB =2AA =4，C，C1分别是AB，A1B1的中点(如左图).将此长方形沿CC1对折，使平面AAGC _平面CC1B1B (如右图)，已知D，E分别是AB1，CC1的中A1C1B1ACBDEC占八、(I)求证：GD /平面ABE ;(n)求证：平面ABE _平面 AABB ；D,E,F分别为BC,BB,AA的中C(川)求三棱锥Ci - AiBE的体积32、已知直三棱柱 ABC -ABiCi的所有棱长都相等，且点.(I) 求证：平面BiFC/平面EAD ；(II )求证：BC
23、i _平面 EAD 33.如图，菱形 ABCD的边长为6， BAD =60：, ACp|BD=O.将菱形ABCD沿 对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点，DM =3,2.(I)求证：OM /平面ABD ;(U)求证：平面ABC _平面MDO ;(川)求三棱锥M - ABD的体积.34、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是 菱形，SA_底面ABCD ,M为SA的中点，N为CD 的中点.(I)证明：平面SBD_平面SAC;(U)证明：直线 MN |平面SBC .(川)求三棱锥D“ 一 BDF的体积.个角所得多面体的直观图，它出的尺寸，求该多面体的体积;35 如图，已知棱
24、柱 ABCD 一 AjBjGDj的底面是菱形，且 AA* _面ABCD ,.DAB =60 , AD二AAi=l, F为棱AA的中点，M为线段BDi的中点，(I)求证：MF / 面 ABCD ;(U)试判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的结论;36、如下的三个图中，上面的是一个长方体截去的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm )。(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给PDCE37.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示, E是侧棱PC上的动点.(I )求四棱锥P - ABCD的体积；(II)若E是PC的中点，求证PA /平面BDE(川)是否不论点E在何位置， 都有BD AE ?证明你的结论.B
