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1、数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，其中是数列的递推公式.4.数列的前项和与通项的公式； .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何,均有.递
2、减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数使.无界数列:对于任何正数,总有项使得. 等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式，为首项，为公差.前项和公式或.3.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成
3、一个等差数列，即为等差数列，公差为.；(,是常数)；(,是常数，)若，则；若等差数列的前项和，则是等差数列；当项数为，则； 当项数为，则.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式通项公式：，为首项，为公比 .前项和公式：当时，当时，.3.等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等比数列的判定方法定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；在等比数列中，等
4、距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.若，则；若等比数列的前项和，则、是等比数列.二、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知为等差数列的前项和，求；2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知为等差数列的前项和，则 ；2、设、分别是等差数列、的前项和，则 .3、设是等差数列的前n项和，若（ ）4、等差数列,的前项和分别为,若,则=
5、（ ）5、已知为等差数列的前项和，则 .6、在正项等比数列中，则_。7、已知数列是等差数列，若 ,且,则_。8、已知为等比数列前项和，则 .9、在等差数列中，若，则的值为（ ）10、在等比数列中，已知，则 . 11、已知为等差数列，则 12、等差数列中，已知B、求数列通项公式1） 给出前几项，求通项公式3，-33,333，-3333,333332）给出前n项和求通项公式1、； .2、设数列满足，求数列的通项公式3）给出递推公式求通项公式a、已知关系式，可利用迭加法或迭代法；例：已知数列中，求数列的通项公式；b、已知关系式，可利用迭乘法.例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；c、构造新数列1递
6、推关系形如“”，利用待定系数法求解例、已知数列中，求数列的通项公式.2递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解例、，求数列的通项公式.3递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解例、已知数列中，求数列的通项公式.4递推关系形如,两边同除以例1、已知数列中，求数列的通项公式.例2、数列中，求数列的通项公式.d、给出关于和的关系例1、设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式例2、设是数列的前项和，.求的通项；设，求数列的前项和.C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.例2、已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0
7、（n2），a1=. 求证：是等差数列；2）证明数列等比例1、设an是等差数列，bn，求证：数列bn是等比数列；例2、数列an的前n项和为Sn，数列bn中，若an+Sn=n.设cn=an1，求证：数列cn是等比数列；例3、已知为数列的前项和，.设数列中，求证：是等比数列；设数列中，求证：是等差数列；求数列的通项公式及前项和.例4、设为数列的前项和，已知证明：当时，是等比数列；求的通项公式例5、已知数列满足证明：数列是等比数列；求数列的通项公式；若数列满足证明是等差数列.D、求数列的前n项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法.例1、求数列的前项和.例2、求数列的前项和.例3、求和：25+36+4
8、7+n（n+3）2）裂项相消法，数列的常见拆项有：；例1、求和：S=1+例2、求和：.3）倒序相加法，例、设，求：；4）错位相减法，例、若数列的通项，求此数列的前项和.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题例1、数列中，当数列的前项和取得最小值时， . 例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；例3、数列中，求取最小值时的值.例4、数列中，求数列的最大项和最小项.例5、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围例6、已知为数列的前项和，.求数列的通项公式；数列中
9、是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.例7、非等比数列中，前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。例1已知数列1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+（3n5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n2;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前n1项的和. 例2 已知数列的前n项之和为 求数列的通项公式。错解： 错因：在对数列概念的理解上，仅注意了anSnSn-1与的关系，没注意a1=S1.正解： 当时， 当时， 经检验 时 也适合， 当时， 当时， 例3 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。错解：S30= S102d. d30， S40= S30+d =100.错因：将等差数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.正解：由题意：得代入得S40 。
