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1、第一讲 平衡问题 一、特别提示解平衡问题几种常见方法 1、力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。2、力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。3、正交分解法：将各力分解到轴上和轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对、方向选择时，尽可能使落在、轴上的力多；被分解的力尽可能是已
2、知力。4、矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。5、对称法：利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点，会使解题过程简化。6、正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。7、相似三角形法：利用力的三角形和线段三角形相似。二、典型例题1、力学中的平衡：运动状态未发生改变，即。表现：静止或匀速直线运动（1）在重力
3、、弹力、摩擦力作用下的平衡例1 质量为的物体置于动摩擦因数为的水平面上，现对它施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小？解析 取物体为研究对象，物体受到重力，地面的支持力N，摩擦力及拉力T四个力作用，如图1-1所示。由于物体在水平面上滑动，则，将和N合成，得到合力F，由图知F与的夹角：不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角不变，即F为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角时，使物体做匀速运动的拉力T最小。（2）摩擦力在平衡问题中的表现这类问题是指平衡的物体受到了包括
4、摩擦力在内的力的作用。在共点力平衡中，当物体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力；当物体滑动时，属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。因此做这类题目时要注意两点由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。总之，包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。由于滑动摩擦力
5、F=，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。例2 重力为G的物体A受到与竖直方向成角的外力F后，静止在竖直墙面上，如图1-2所示，试求墙对物体A的静摩擦力。分析与解答 这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。首先确定研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。A受竖直向下的重力G，外力F，墙对A水平向右的支持力（弹力）N，以及还可能有静摩擦力。这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。物体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。（注意：这
6、种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。）具体到这个题目，在竖直方向物体A受重力G以及外力F的竖直分量，即。当接触面光滑，时，物体能保持静止；当时，物体A有向下运动的趋势，那么A应受到向上的静摩擦力；当时，物体A则有向上运动的趋势，受到的静摩擦力的方向向下，因此应分三种情况说明。从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此，讨论使物体维持某一状态所需的外力F的许可范围和大小是很重要的。何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。（3）弹性力作用下的平衡问题例3 如图1-3所示，一个重力为的小环套在竖
7、直的半径为的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（Lt2 B、t1=t2 C、t1t2 D、无法判定评析 小球滚下去的时候受到凹槽对它的支持力在水平向分力使之在水平方向作加速运动；而后滚上去的时候凹槽对它的支持力在水平方向分力使之在水平方向作减速运动，根据机械能守恒定律知，最后滚到水平面上时速度大小与原来相等。故小球在整个过程中水平方向平均速度大，水平距离一样，则所用时间短。答案：A。例3 如图3-4所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连。木块A放在B上。两木块质量均为，竖直向下的力F作用在A上，A、B均静止，问：（1）将力F瞬间撤去后，A、B共同运动到最高点，此时B对A的弹
8、力多大？（2）要使A、B不会分开、力F应满足什么条件？评析 （1）如果撤去外力后，A、B在整个运动过程中互不分离，则系统在竖直向上作简揩运动，最低点和最高点关于平衡位置对称，如图3-5所示，设弹簧自然长度为，A、B放在弹簧上面不外加压力F且系统平衡时，如果弹簧压至O点，压缩量为b，则：。外加压力F后等系统又处于平衡时，设弹簧又压缩了A，则：，即：。当撤去外力F后，系统将以O点的中心，以A为振幅在竖直平面内上下作简谐运动。在最低点：，方向向上，利用牛顿第二定律知，该瞬间加速度：，方向向上；按对称性知系统在最高点时：，方向向下。此时以B为研究对象进行受力分析，如图3-6所示，按牛顿第二定律得：（2
9、）A、B未分离时，加速度是一样的，且A、B间有弹力，同时最高点最容易分离。分离的临界条件是：（或者：在最高点两者恰好分离时对A有：，表明在最高点弹簧处于自然长度时将要开始分离，即只要：时A、B将分离）。所以要使A、B不分离，必须：。例4 如图3-7所示，在空间存在水平方向的匀强磁场（图中未画出）和方向竖直向上的匀强电场（图中已画出），电场强度为E，磁感强度为B。在某点由静止释放一个带电液滴，它运动到最低点恰与一个原来处于静止状态的带电液滴b相撞，撞后两液滴合为一体，并沿水平方向做匀速直线运动，如图所示，已知的质量为b的2倍，的带电量是b的4倍（设、b间静电力可忽略）。（1）试判断、b液滴分别带
10、何种电荷？（2）求当、b液滴相撞合为一体后，沿水平方向做匀速直线的速度及磁场的方向；（3）求两液滴初始位置的高度差。评析 （1）设b质量为，则带电量为4q，因为如果带正电，要向下偏转，则必须：；而对b原来必须受力平衡，则：。前后相矛盾，表明带负电，b带正电。（2）设为与b相撞前的速度，下落的过程中重力、电场力做正功，由动能定理有：。由于b原来处于静止状态：。由以上两式可得：、b相撞的瞬间动量守恒：。得而电荷守恒，故：、b碰撞后粘在一起做匀速直线运动，按平衡条件得：，则：。所以：例5 如图3-8所示，一单匝矩形线圈边长分别为、b，电阻为R，质量为m，从距离有界磁场边界高处由静止释放，试讨论并定性
11、作出线圈进入磁场过程中感应电流随线圈下落高度的可能变化规律。评析 线圈下落高度时速度为：下边刚进入磁场时切割磁感线产生的感应电动势：。产生的感应电流：I=，受到的安培力：讨论 （1）如果，即：，则：线圈将匀速进入磁场，此时：（变化规律如图3-9所示）（2）如果，表明较小，则：线圈加速进入磁场，但随着有三种可能：线圈全部进入磁场时还未达到稳定电流I0（变化规律如图3-10所示）线圈刚全部进入磁场时达到稳定电流I0（变化规律如图3-11所示）线圈未全部进磁场时已达到稳定电流I0（变化规律如图3-12所示）（3）如果，则：线圈减速进入磁场，但随着，故线圈将作减小的减速运动。有三种可能：线圈全部进入磁
12、场时还未达到稳定电流I0（变化规律如图3-13所示）线圈刚全部进入磁场时达到稳定电流I0（变化规律如图3-14所示）线圈未全部进入磁场时已达到稳定电流I0（变化规律如图3-15所示）例6 光从液面到空气时的临界角C为45，如图3-16所示，液面上有一点光源S发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且到液面的距离为d的平面镜M上，当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？评析 本题涉及平面镜的反射及全反射现象，需综合运用反射定律、速度的合成与分解、线速度与角速度的关系等知识求解，确定光斑掠移速度的极
13、值点及其与平面镜转动角速度间的关系，是求解本例的关键。设平面镜转过角时，光线反射到水面上的P点，光斑速度为，如图3-17可知：，而：故：，而光从液体到空气的临界角为C，所以当时达到最大值，即：例7 如图3-18所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球简谐运动的最大加速度和最大速度大小各为多少？（取10m/s2）评析 这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目，本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率、能量的概念和规律等。由题意知，当单摆共振时频率，即：，振幅A=8cm=0.08m，由得：如
14、图3-19所示，摆能达到的最大偏角的情况下，共振时：，（其中以弧度为单位，当很小时，弦A近似为弧长。）所以： 。根据单摆运动过程中机械能守恒可得：。其中： 例8 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度），其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G=6.710-11Nm2/kg2，c=3.0108m/s，求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=2.01030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarhid半径）；（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使
15、得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？（最后结果保留两位有效数字）解析 （1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度，其中M、R为天体的质量和半径，对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即，所以：即质量为kg的黑洞的最大半径为(m)（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为，其中R为宇宙的半径，为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为，由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c。即：。则由以上三式可得：，合4.21010光年。即宇宙的半径至少为4.21010光年。第四讲 动量和能量一、特别提示动量和能量的知识贯穿整个物理学，涉及到
16、“力学、热学、电磁学、光学、原子物理学”等，从动量和能量的角度分析处理问题是研究物理问题的一条重要的途径，也是解决物理问题最重要的思维方法之一。1、动量关系动量关系包括动量定理和动量守恒定律。（1）动量定理凡涉及到速度和时间的物理问题都可利用动量定理加以解决，特别对于处理位移变化不明显的打击、碰撞类问题，更具有其他方法无可替代的作用。（2）动量守恒定律动量守恒定律是自然界中普通适用的规律，大到宇宙天体间的相互作用，小到微观粒子的相互作用，无不遵守动量守恒定律，它是解决爆炸、碰撞、反冲及较复杂的相互作用的物体系统类问题的基本规律。动量守恒条件为：系统不受外力或所受合外力为零在某一方向上，系统不受
17、外力或所受合外力为零，该方向上动量守恒。系统内力远大于外力，动量近似守恒。在某一方向上，系统内力远大于外力，该方向上动量近似守恒。应用动量守恒定律解题的一般步骤：确定研究对象，选取研究过程；分析内力和外力的情况，判断是否符合守恒条件；选定正方向，确定初、末状态的动量，最后根据动量守恒定律列议程求解。应用时，无需分析过程的细节，这是它的优点所在，定律的表述式是一个矢量式，应用时要特别注意方向。2、能的转化和守恒定律（1）能量守恒定律的具体表现形式高中物理知识包括“力学、热学、电学、原子物理”五大部分内容，它们具有各自的独立性，但又有相互的联系性，其中能量守恒定律是贯穿于这五大部分的主线，只不过在
18、不同的过程中，表现形式不同而已，如：在力学中的机械能守恒定律：在热学中的热力学第一定律：在电学中的闭合电路欧姆定律：，法拉第电磁感应定律，以及楞次定律。在光学中的光电效应方程：在原子物理中爱因斯坦的质能方程：（2）利用能量守恒定律求解的物理问题具有的特点：题目所述的物理问题中，有能量由某种形式转化为另一种形式；题中参与转化的各种形式的能，每种形式的能如何转化或转移，根据能量守恒列出方程即总能量不变或减少的能等于增加的能。二、典题例题例题1 某商场安装了一台倾角为30的自动扶梯，该扶梯在电压为380V的电动机带动下以0.4m/s的恒定速率向斜上方移动，电动机的最大输出功率为4.9kkw。不载人时
19、测得电动机中的电流为5A，若载人时传颂梯的移动速度和不载人时相同，设人的平均质量为60kg，则这台自动扶梯可同时乘载的最多人数为多少？（g=10m/s2）。分析与解 电动机的电压恒为380V，扶梯不载人时，电动机中的电流为5A，忽略掉电动机内阻的消耗，认为电动机的输入功率和输出功率相等，即可得到维持扶梯运转的功率为 电动机的最大输出功率为 可用于输送顾客的功率为 由于扶梯以恒定速率向斜上方移动，每一位顾客所受的力为重力mg和支持力，且FN=mg电动机通过扶梯的支持力FN对顾客做功，对每一位顾客做功的功率为P1=Fnvcosa=mgvcos(90-30)=120W则，同时乘载的最多人数人人点评
20、实际中的问题都是复杂的，受多方面的因素制约，解决这种问题，首先要突出实际问题的主要因素，忽略次要因素，把复杂的实际问题抽象成简单的物理模型，建立合适的物理模型是解决实际问题的重点，也是难点。解决物理问题的一个基本思想是过能量守恒计算。很多看似难以解决的问题，都可以通过能量这条纽带联系起来的，这是一种常用且非常重要的物理思想方法，运用这种方法不仅使解题过程得以简化，而且可以非常深刻地揭示问题的物理意义。运用机械功率公式P=Fv要特别注意力的方向和速度方向之间的角度，v指的是力方向上的速度。本题在计算扶梯对每个顾客做功功率P时，P1=Fnvcosa=mgvcos(90-30)，不能忽略cosa，a
21、角为支持力Fn与顾客速度的夹角。例题2 如图4-1所示：摆球的质量为m，从偏离水平方向30的位置由静释放，设绳子为理想轻绳，求小球运动到最低点A时绳子受到的拉力是多少？分析与解 设悬线长为l，下球被释放后，先做自由落体运动，直到下落高度为h=2lsin，处于松驰状态的细绳被拉直为止。这时，小球的速度竖直向下，大小为。当绳被拉直时，在绳的冲力作用下，速度v的法向分量减为零（由于绳为理想绳子，能在瞬间产生的极大拉力使球的法向速度减小为零，相应的动能转化为绳的内能）；小球以切向分量开始作变速圆周运动到最低点，在绳子拉直后的过程中机械能守恒，有 在最低点A，根据牛顿第二定律，有所以，绳的拉力点评 绳子
22、拉直瞬间，物体将损失机械能转化为绳的内能（类似碰撞），本题中很多同学会想当然地认为球初态机械能等于末态机械能，原因是没有分析绳拉直的短暂过程及发生的物理现象。力学问题中的“过程”、“状态”分析是非常重要的，不可粗心忽略。例题3 如图4-2所示，两端足够长的敞口容器中，有两个可以自由移动的光滑活塞A和B，中间封有一定量的空气，现有一块粘泥C，以EK的动能沿水平方向飞撞到A并粘在一起，由于活塞的压缩，使密封气体的内能增加，高A、B、C质量相等，则密闭空气在绝热状态变化过程中，内能增加的最大值是多少？分析与解 本题涉及碰撞、动量、能量三个主要物理知识点，是一道综合性较强的问题，但如果总是的几个主要环
23、节，问题将迎刃而解。粘泥C飞撞到A并粘在一起的瞬间，可以认为二者组成的系统动量守恒，初速度为，末速度为，则有 在A、C一起向右运动的过程中，A、B间的气体被压缩，压强增大，所以活塞A将减速运动，而活塞B将从静止开始做加速运动。在两活塞的速度相等之前，A、B之间的气体体积越来越小，内能越来越大。A、B速度相等时内能最大，设此时速度为，此过程对A、B、C组成的系统，由动量守恒定律得（气体的质量不计）： 由能的转化和守恒定律可得：在气体压缩过程中，系统动能的减少量等于气体内能的增加量。所以有： 解得：点评 若将本题的物理模型进行等效的代换：A和B换成光滑水平面上的两个物块，A、B之间的气体变成一轻弹
24、簧，求内能的最大增量变成求弹性势能的最大增量。对代换后的模型我们已很熟悉，其实二者是同一类型的题目。因此解题不要就题论题，要有一个归纳总结的过程，这样才能够举一反三。例4 如图4-3所示，是用直流电动机提升重物的装置，重物质量，电源电动势，内电阻，电动机的内电阻。阻力不计。当匀速提升重物时，电路中电流强度。取，试求：（1）电源的总功率和输出功率；（2）重物上升的速度。分析与解 电源输出的总能量，一部分消耗于自身内阻，其余全部输出传给电动机。电动机获得的电能，一部分转化为电动机的内能，其余的全部转化为机械能。（1）电源的总功率为：电源的输出功率为：（2）电动机的输入功率为：电动机的热功率：电动机
25、的输出功率等于它对重物做功的功率，即所以，点评 本题中电源的总功率550W，就是每秒钟电源把其它形式的能转化为550J电能。电源的输出功率为525W，就是每秒钟输出电能525J，对整个电路来说，遵循能的转化和守恒定律。因此要学会从能量角度来处理电路中的问题。例题5 如图4-4所示，金属杆在离地高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一根金属杆b，已知杆的质量为，b杆的质量为水平导轨足够长，不计摩擦，求：（1）和b的最终速度分别是多大？（2）整个过程中回路释放的电能是多少？（3）若已知、b杆的电阻之比，其余电阻不计，整个过程中，、b上产生的热
26、量分别是多少？分析与解 （1）下滑过程中机械能守恒： 进入磁场后，回路中产生感应电流，、b都受安培力作用，作减速运动，b作加速运动，经一段时间，、b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为零，安培力为零，二者匀速运动，匀速运动的速度即为、b的最终速度，设为，由过程中、b系统所受合外力为零，动量守恒得： 由解得最终速度（2）由能量守恒知，回路中产生的电能等于、b系统机械能的损失，所以，（3）回路中产生的热量，在回路中产生电能的过程中，虽然电流不恒定，但由于、串联，通过、b的电流总是相等的，所以有，所以，。点评 本题以分析两杆的受力及运动为主要线索求解，关键注意：明确“最终速度”的意义
27、及条件；分析电路中的电流，安培力和金属棒的运动之间相互影响、相互制约的关系；金属棒所受安培力是系统的外力，但系统合外力为零，动量守恒；运用能的转化和守恒定律及焦耳定律分析求解。例题6 云室处在磁感应强度为B的匀强磁场中，一静止的质量为M的原于核在云室中发生一次衰变，粒子的质量为，电量为q，其运动轨迹在与磁场垂直的平面内，现测得粒子运动的轨道半径R，试求在衰变过程中的质量亏损。分析与解 该衰变放出的粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其轨道半径R与运动速度的关系，由洛仑兹力和牛顿定律可得 由衰变过程动量守恒得（衰变过程亏损质量很小，可忽略不计）： 又衰变过程中，能量守恒，则粒子和剩余核的动能都来自于
28、亏损质量即 联立解得：点评 动量守恒和能量守恒是自然界普遍适用的基本规律，无论是宏观领域还是微观领域，我们都可以用上述观点来解决具体的问题。第五讲 波动问题 一、特别提示 1、从受力和运动两个方面分析简谐运动的特点及简谐运动中能量转化。2、灵活应用简谐运动模型单摆、弹簧振子。3、加深理解波是传递振动形式和波是能量传递的一种方式。4、注意理解波的图象及波的形成过程。5、注意横波中介质质点运动路程与波传播距离的区别。6、波由一种介质传到另一介质中，波的频率不变，波速由介质决定与频率无关。7、据质点运动方向能正确判断出简谐横波的传播方向。8、应用公式时应注意时间和空间的周期性。9、波的干涉中，应注重理解加强和减弱的条件。二、典型例题例1 如图5-1，在质量为M的无底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为的A、B两物体，箱子放在水平面上，平衡后剪断A、B间细
