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1、矩阵分析,教材：矩阵分析史荣昌等编,矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和发展。本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别向量、矩阵、二次型的相关内容。,第一节 线性空间,一：线性空间的定义与例子,定义 设 是一个非空的集合，是一个数域，在集和 中定义两种代数运算,一种是加法运算,用 来表示;另一种是数乘运算,用 来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：
2、,第一章 线性空间和线性映射,实数域R复数域C,运算的结果是V中的元素,（1）加法交换律,（2）加法结合律,（3）零元素 在 中存在一个元素，使得对于任意的 都有,（4）负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得,（5）,（6）,（7）,（8）,称这样的 为数域 上的线性空间。,例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间。,例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间。,按函数的加法和数乘函数,按矩阵的加法和数乘矩阵,V中的元素称为向量,例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间,例 4 全体正的实数 在下面的加法与数乘的定义下也构
3、成线性空间：,例 5 表示实数域 上的全体无限序列组成的的集合。即,在 中定义加法与数乘：则 为实数域 上的一个线性空间。,例 6 在 中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成 上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于 都有,例7 在 中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合不构成 上的线性空间。Hilbert条件是：级数 收敛例8 在 中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数，使得,定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的负元素.,定义,线性组合,向量 能由向量组 线性表示,二：线性空间的基本概念及其性质,定义2,则
4、称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,定理3 向量组（当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示,定理 4：,定义3,最大（线性）无关向量组,秩,基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。,例 2 实数域 上的线性空间 中，函数组,是一组
5、线性无关的函数，其中 为一,例 1 实数域 上的线性空间 中，函数组,也是线性无关的。,例 3 实数域 上的线性空间 中，函数组,组互不相同的实数。,是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。,例 4 实数域 上的线性空间空间 中，函数组,是线性相关的函数组。,函数组,是线性相关,定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 使得 中的任意一个向量 都可以由 线性表出,第二节线性空间的基底，维数与坐标变换,为向量 在基底 下的坐标。此时我们称 为一个 维线性空间，记为,向量的坐标是唯一的,向量的相关性与坐标的相关性一致,例 1 实数域 上的线性空间 中向量组与向
6、量组,都是 的基。是3维线性空间。,要验证：向量组无关任一向量可以由它们表示,例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组 都是 的基。是4维线性空间。,与向量组都是 的基底。的维数为,例 3 实数域 上的线性空间 中的向量组,注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。,例 4 在4维线性空间 中，向量组,与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标。解：设向量 在第一组基下的坐标为,解得,于是可得,同样可解出在第二组基下的坐标为,设（旧的）与（新的）是 维线
7、性空间 的两组基底，它们之间的关系为,由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。,基变换与坐标变换,将上式矩阵化可以得到下面的关系式：,称 阶方阵,记为,是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成,提示只有零解,定理：过渡矩阵 是可逆的。,任取，设 在两组基下的坐标分别为 与，那么我们有：,例 1 在4维线性空间 中，向量组,称上式为坐标变换公式。,与向量组,为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式,向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为,例 1 对于任意一个有限维线性空间，它必有两个平
8、凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间,定义 设 为数域 上的一个 维线性空间，为 的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的 都有,第三节线性空间的子空间,子空间也是线性空间,以及线性空间 本身。,那么我们称 为 的一个子空间。,例 2 设，那么线性方程组 的全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。,例 3 设 为 维线性空间 中的一组向量，那么非空子集合,任一子空间都含零向量,当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。解空间称为矩阵A的核或A的零空间,记为N(A).,构成线性空间 的一个子空间，称此子
9、空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。,例 4 实数域 上的线性空间 中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成 的子空间，,问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？,N(A)为基础解系生成的空间,子空间的交与和,和子空间,定理：设,则：,子空间的直和、补子空间,还可以讨论多个子空间的交、和、直和,第四节：线性映射,1.定义和例子：设F是一个数域，V和W是F上向量空间。定义1 设,是V到W的一个映射，如果下列条件被满足，就称,是V到W的一个线性映射：（1）对于任意,=,（2）对于任意,对于R,的每一向量,R,是R,到R,的一个映射，可以证
10、明，,是一个线性映射。,定义,线性映射的简单性质,见书的例子,线性映射的矩阵表示,称A为线性映射在相应基下的矩阵表示。,例：,对于的每一向量,坐标之间的关系,=A,下证唯一性：若还有,在基给定以后，线性变换与矩阵是一一对应的,还可以定义两个线性变换的和与积等等，它们分别对应于矩阵的和与积,第五节、线性映射的值域、核,只要证,线性无关即可，设,第六节:线性变换的矩阵与线性变换的运算,A称为线性变换的矩阵,变为,略,任何两个n维空间都可以建立同构，两个空间同构的充要条件是它们的维数相同。同构保持所有线性运算性质不变。,注：值域与核是不变子空间。,第九节:线性变换的不变子空间,注：线性变换的不变子空
11、间的和与交仍是不变子空间。,注：设 则W是不变子空间的充要条件是。,现在设 是数域 上的 维线性空间，中取定一个基，设线性变换 在这组基下的矩阵是，向量 在这组基下的坐标是，。那么我们有,定义 设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果在数域 中可找到数，中都存在一个非零向量，使得 那么称 为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的一个特征向量。,第八节:矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量,是 的特征值 是 的特征值 是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量,由此可得定理：,因此，只要将 的全部特征值求出来，它们就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵 的属于 的全部特征向量求出来
12、，分别以它们为坐标的向量就是 的属于 的全部特征向量。,例 1 设 是数域 上的3维线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是求 的全部特征值与特征向量。,解：的特征多项式为,所以 的特征值是（二重）与。对于特征值，解齐次线性方程组,得到一个基础解系：,于是 的属于 的全部特征向量是 这里 为数域 中不全为零的数对。,得到一个基础解系：,对于特征值，解齐次线性方程组,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量这里 为数域 中任意非零数。,矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特
13、征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱,矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的特征子空间，记为，不难看出 正是特征方程组 的解空间。(特征子空间是不变子空间)（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,（3）设 是 的 个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。,（4）一个特征向量不能属于不同的特征值。,（5）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。,证明：设是的特征值，几何重数为。对应的特征子空间的基为,
14、扩充成V的基,即 的代数重数至少是.,定义 数域 上的 维线性空间 的一个线性变换 称为可以对角化的，如果 中存在一个基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。,定理：可以对角化 可以对角化。,定理：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是,我们在 中取定一个基底，设线性变换 在这个基下的矩阵为，那么可以得到下面的定理,矩阵（线性变换）的相似对角化,定理：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。,解：先求出 的特征值,是否可以对角化？,例 1 判断矩阵,有 个线性无关的特征向量。,由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑,于是的特征值为（二重）,例 2 设 是数域 上的3维线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是,于是,从而不可以相似对角化。,解：根据前面例题的讨论可知 有3个线性无关的特征向量:,因此 可以对角化，在这组基下的矩阵是,判断是 否可以对角化？,由基 到基 的过渡矩阵是,于是有,例 3 数域 上的 维线性空间 的任一幂等变换一定可以对角化。,同时对角化问题：,
