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1、,第八章生灭服务系统MM/n系统鱼与熊掌兼得?,8MM/损失制811MM/损失制,无限源(MM/n:o/m/FIFO)令从顾客源来的顾客到达率为礼,每台的服务率为H则有=j=0,1,n1;2=0,=j产=01,n将,代入生灭方程,得PoA1H-14由n;=1得PD=-0pill!P式中p=称为业务量(traffic),是无量纲量;表示单位时间内要求系统提供的服务时间;和的单位必须一致;由于纪念 Erlang,用爱尔兰作单位(Erl),系统的服务质量系统的质量用顾客的损失率来度量,有两种度量方法按时间计算的损失率pn,即单位时间内服务台全被占用的时间按顾客计算的损失率B,即单位时间内损失的顾客数
2、与到达顾客数之比在本系统中有B=Pn=En(p),称为爱尔兰损失公式水=0/k!B=4a-Pu=En(p)不是所有系统都有B=Pn的性质工程上经常是已知p,给定B,求所需最少的服务台n求n一般有三种方法:迭代计算,查图,查表,求所需服务台的方法、查图,如书上P186页2、选代计算无法由E()给出n的逆函数,因此采用逐次试算的方沽注意,E()有较简单的递推公式pEn-(pE0(p)=1n+pEn-(P)选代直到首次满足En(p)B,则n即为所求、工程上经常采用查表的方法爱尔兰表最左边一列为服务台数n,最上面一行为服务质量的不同等级,即B爱尔兰表中元素的值为p,表示服务台数为n,服务质量为B时,系
3、统最大所能承担的业务量;工程上经常用A表示p,A是加入话务量,爱尔兰损失表00050.010.050.10.20.0050.0100.0530.1110.2500.4290.1050.1530.3810.5951.00014490.3490.4550.8991.271193026330701086915252.045294538911.132|1.3612.2182.8814.01051891.62219092.9603.7585.1096.5142.1572.5013.7384.666623078578|2.73031284.5435.5977.3699.2133.333378353706.
4、5468.52210.5791039614.4616.2167.511968511953n=3,B=0,01,查表得=0.455已知n和如何求B,线性内插法;例:n=3,p=25由表可知B落在0.2-0.3之间,若假设在这区间所承担的业务量与B成线性关系,则有线性内插公式B25=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1930)(2633-1.930)=0.281,例1MM损失制无限源系统,已知n=3,4=5人/小时,平均服务时长30分钟/人,试求:(1)系统中没有顾客的概率;(2)只有一个服务台被占用的概率;(3)系统的损失率解:由题意可知=60/30=2人小时,所以p=Mx=2.Erl(1)p
5、=(14+2+2.52/2+253/3:)1=0.108(2)p1=PD0=2.50.108=0.273)B=E32.5)=P0p33:=0.1082.604=0.28例2两市话局间的忙时平均呼叫次数为240,每次通话平均时长为5分钟,规定两局间中继线的服务等级为B0.01,问:(1应配备多少条中继线?(2)中继线群的利用率为多少?解:中继线群上的加入话务量为p=2405/60=20Erl,(1)查186页图,H=30条;(2)查爱尔兰表可知:n=30,B=0.01时可承担A=20.337,B=0.005时可承担A=19.034,因此,E30(20)=0.0050.005(20-19.034)
6、/(20.337-19034)=.008707中继线群利用率=p(1-B)M=201-0.008707)/30=0.6608626,服务台利用率与服务台数量的关系n图当给定n和B后,系统所能承担的业务量p可以通过爱尔兰公式求出,从而可计算出服务台利用率刀;若保持B不变,不断增加服务台数n,也会发生变化,就可以得到n-n图如下;通过观察,有几点结论80(%)B=0151、B不变时,随n增加说明大电路群效率高2、n不变时,随B增加B=0.0150说明效率与质量是矛盾的;(高效路由)403、具有边际递减规律204、越大,系统抗过负荷能力越差2468101214161820n,系统过负荷特性a-B图过
7、负荷是指系统加入的业B务量A,超过给定服务质量H=150.008所能承担的业务量A过负荷用过载业务量与标0.006准应承担的业务量的比值来表示,即0.004c=(A-A)A=4/A40.002En(A=B,En(A)=B由图可见,在同样标准的510152025a%0服务质量和同样的过负荷率下,大系统的质量劣化严重;说明效率与可靠性是矛盾的,例3某服务部门把顾客分为两组,分别组成两个单独的服务系统各系统的到达率分别为A1=4人小时,A2=8人小时,每人的平均占用时长都为6分钟;给定损失率为B0.01,试求:(1)分组服务时每组应配备的服务台数;(2)合并为一个服务系统时,各种条件不变,应配备的服
8、务台数;(3)比较两种组织方式的服务台利用率。解:(1)分组时:P1=40,1=04Erl,P2=80.1=0.8Erl查爱尔兰表,得m1=3台,n2=4台,共需7台。B1=0.005+0.005(0.40.349)/(0.455-0.349)=0.0074B2=0.005+0.005(0.8-0.701)(0.869-0.701)=0.007957=1(1-B1)+2(1-B2)/n1+H2)=0.17(2)合组时:p=120.1=1,2Erl查爱尔兰表,得n=5台,节省了2台B=0.005+0.005(12-1132)/(1.361-1132)=0.006485T=p1-B)M=0.238,82,1MM/损失制,有限源(M/M/n:Nm/FIFO)例交换机内部有n条绳路,N条入中继线,Nn;每条入中继线上的呼叫到达强度为%且为波松分布,通话时长为负指数分布(参数为),问入中继线上呼叫的损失率为多少上述例子就是一个MM损失制,有限源系统。当已经接受绳路服务的中继线在通话中,该中继线上就不会有新的呼叫。因此,整个系统的呼叫到达率是与系统中被服务的中继线数相关的。这就是有限源系统的特点显然,系统在各状态下的到达率和离去率分别为=(N-j%j=0,1,n-1,=0,两=jj=1,n将,凸代入生灭方程,得1)(N-j+1)yPjgpo,
