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1、第 4 章 线性系统的时域分析法,系统的时域性能指标一阶系统的时域分析二阶系统的时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算,4-1系统的时域性能指标,1.典型输入信号,2.动态过程与稳态过程,1）动态过程 动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。2）稳态过程 稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式。,3.动态性能与稳态性能,1）动态性能及其指标 描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间t变化状况的指标，称为动态指标。动态性能指标有五项，分别是：延迟时间td
2、 上升时间tr 调节时间ts 峰值时间tp 超调量%,（1）延迟时间td 第一次达到50%h()的时间（2）上升时间tr 到达10%h()-90%h()所需时间（3）峰值时间tp 超过h()到达第一个峰值所需时间（4）调节时间ts 到达并保持在终值5误差内所需时间,（5）超调量%,2）稳态性能稳态性能用稳态误差描述。稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量,通常用tr或tp评价系统的响应速度；用评价系统的阻尼程度；而ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标,4-2 一阶系统的时域分析,1.一阶系统的数学模型,2.一阶系统的单位阶跃响应,
3、设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t),则响应为：,一阶系统的单位阶跃响应具有下列两个重要特点：（1）可用时间常数T度量系统输出的数值；（2）响应曲线的斜率初始值为1T，并随时间的推 移而下降。,一阶系统的动态性能指标为：,由于时间常数T反映系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小，其响应过程越快；反之，惯性越大，响应越慢。,3.一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于R(s)=1,所以系统输出的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,由图可见，一阶系统的脉冲响应位移单调下降的指数曲线。若定义该曲线衰减到其初始值的5所需的时间为脉冲响应调节时间，则仍有ts=3T。故系统的
4、惯性越小，响应过程越快。,4.一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡函数可视为单位阶跃函数的积分，即,那么，系统的输出应由积分的关系,由此曲线可知，输出量和输入量之间的位置误差随时间而增大，最后趋于常值T，惯性越小跟踪的准确度越高。在初始状态下，输出速度和输入速度之间误差最大。,5.一阶系统的加速度响应,设加速度输入函数为：,则系统的响应函数为：,系统的跟踪误差为：,上式表明，跟踪误差随时间的推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,一阶系统对典型输入信号的响应归纳与下表中,例4-1 某温度计插入温度恒定的热水中后，其显示温度随时间变化的规律为实验测得当t60s时，温度
5、计读数达到实际水温的95。试确定该温度计的传递函数,例4-2 原系统的传递函数为：现采用如下图所示的负反馈形式，与将反馈系统的的调节时间减小为原来的0.1，并保证原放大倍数不变，试确定参数K0与K1的取值。,答案：K1=0.9,K0=10,2-2 二阶系统的时域分析,1.二阶系统的数学模型,二阶系统的特征方程为,其两个特征根（闭环极点）为,二阶系统的时间响应取决和n这两个参数,2.二阶系统的单位阶跃响应,在单位阶跃输入信号作用下，输出的拉氏变换为：,系统在单位阶跃输入下的响应，主要取决于的大小，根据的大小分5种情况讨论,1)当0时，称为负阻尼状态，特征根的分布有两种状况,在此种情况下，单位阶跃
6、响应为：,由于0，动态过程为发散的正弦振荡或单调的发散形式。从而表明0的二阶系统是不稳定的,2)无阻尼状态（0）,单位阶跃响应为：,系统为等幅振荡状态，视为不稳定状态。,3）欠阻尼状态（01）,特征根的分布如图,4）临界阻尼状态（1）,在临界阻尼状态下，特征方程的根是二重负实根。如图。其输出的拉氏变换为,5）过阻尼状态（1）,令 过阻尼二阶系统的极点为：,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应与一阶系统的单位阶跃响应相似。是一无振荡的单调上升曲线。其稳态值为1,3.欠阻尼的动态性能指标,1）延迟时间,2）上升时间,3）峰值时间,4）调节时间,5）超调量,4.过阻尼的动态性能指标,在过阻尼的二阶系统中，只
7、有延迟时间、上升时间和调节时间，而没有峰值时间和超调量,1）延迟时间,2）上升时间,3）调节时间,3-3 高阶系统的时域分析,在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，其动态性能的确定是比较复杂的。工程上采用闭环主导极点的概念对高阶系统近似分析，从而得到高阶系统动态指标的估计公式。,1.高阶系统的单位阶跃响应,对于单输入单输出的线性定常系统，其闭环传递函数一般可表示为：,对上式进行拉氏反变换，并设初始条件为零，可得高阶系统的单位阶跃响应为：,下面分析高阶系统单位阶跃响应的特点1)高阶系统的时间响应，是由一阶系统和二阶系统
8、的时间响应 函数相组成的2)如果闭环极点都在s平面左半平面，则随着时间t趋于无穷大，指数项分量和阻尼指数项分量都将趋于零，则系统是稳定的，其稳态分量c()=a3)高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度是不同的。4)闭环零点影响时间响应的形状。,2.闭环主导极点,对于稳定的高阶系统而言，其闭环极点和零点在s左半开平面虽有各种分布模式，但就据虚轴的距离来说，却只有远近之别。如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其它闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的相应分量，随时间推移衰减缓慢，无论从指数还是从系数来看，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点
9、就称为闭环主导极点。,应用闭环主导极点的概念，可导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式,设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点，s1,2=-jd,01,则在单位阶跃函数的作用下，系统输出的拉氏变换的近似表达式为,对上式取反拉氏变换，得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式,3-5 线性系统稳定性分析,1.稳定性的基本概念 任何系统在扰动作用下都偏离原平衡位置，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后由初始偏差状态恢复原平衡位置的性能。,单摆的的这种稳定的概念，可以推广于控制系统,2.线性系统稳定性定义,1892年俄国数学家Lyapunov首先提出了稳定性理论。根据他的理论，线性控制系统的
10、稳定性可叙述如下：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统逐渐稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动效应下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。3.线性系统稳定的充分必要条件 设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想的单位脉冲函数(t),这是系统的输出增量位脉冲响应c(t)。那么系统稳定的必要充分条件是：lim c(t)=0,设闭环系统的传递函数如下式,且设si(i=1,2,n)为特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么由于(t)的拉氏变换为1，所以系统输出增量的拉氏变换为：,于是系统的脉冲响应为,上式表明，当且仅当系统的的特征
11、根全部具有负实部时，才能使lim c(t)=0成立；若特征根中有一个或一个以上的正实部根，则lim c(t),表明系统不稳定。若特征根中具有一个或一个以上正零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则脉冲响应c(t)趋于常数，或趋于等幅正弦振荡，按照稳定性定义，此时系统不是渐进稳定的。顺便使出，最后一种情况称为临界稳定情况。,由此可见，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面,3.劳斯稳定判据 根据稳定性的充分必要条件判别线性系统的稳定性，需要求出系统的全部特征根。对于高阶系统，求根的工作量很大，并非易事。1877年劳斯提出了根
12、据线性系统特征方程的系数判定系统稳定性的判据。称为劳斯判据。,设线性系统的特征方程为,线性系统稳定的必要的条件是：在上列方程中，各项系数为正数。这一条件是必要的，但不充分。,劳思表（劳斯阵列）,劳思表（劳斯阵列）,线性系统稳定的充分必要条件,劳思表中第一列各值为正。如果劳思表中第一列中出现负数，系统就不稳定，且第一列中各系数符号改变的次数，代表特征方程的正实部根的数目。例4-3 设系统特征方程为,试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。,4.劳斯稳定判据的特殊情况,1）劳思表中某行的第一列为零，而其余各项不为零，或不全为零 此时，计算劳思表下一行的第一个元素时，将出现无穷大，是劳斯稳定判据的运用失
13、效。例如,此时用一个很小的正数代替第一列的零元素参与计算，表格计算完成后再令0。,2）劳思表中出现全零行,此时，可用上一行的元素构造一个辅助方程F(s)=0,并对辅助方程求导得到新的方程，用新方程的系数代替该行的零元素继续计算。,由上述劳斯阵列的第一列可以看出，第一列中元素的符号全为正，说明系统的特征方程没有正实部的根。但是，由于 行的元素全为零，则说明在虚轴上有共轭虚根，该根可由辅助方程来求得,5.劳斯稳定判据的应用,例4-5 设比例积分（PI）控制系统如下图所示。其中，K1为与积分器有关的的待定参数。已知参数0.2及n86.6，试用劳斯稳定判据确定使闭环稳定的K1取值范围。如果要求闭环系统
14、的极点全部位于s=-1垂线之左，问K1值范围又应该取多大？,3-6 线性系统的稳态误差计算,1.误差与稳态误差,1）误差的定义按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差,按输出端定义的误差,两者之间的关系,2）稳态误差,误差本身是时间的函数，其时域表达式为,系统的稳态误差为,2.计算稳态误差的一般方法,1）判断系统的稳定性2）求误差传递函数3）用终值定理求稳态误差,例4-6 控制系统的结构如下图所示。已知r(t)=n(t)=t,求系统的稳态误差。,3.系统类型与稳态误差系数,1）系统类型 对于一个典型的闭环控制系统，其开环传递函数一般可写成时间常数乘积形式，即,根据0，1，2，3等分别称0型、型、型和三型系统等,为了便于讨论,令,2）误差系数,单位阶跃输入,若r(t)=R,则R(s)=R/s,可得到稳态误差为,那么各型系统的静态位置误差系数为,单位速度输入,那么各型系统的静态位置误差系数为,单位加速度输入,那么各型系统的静态位置误差系数为,4.扰动作用下的稳态误差,非单位反馈系统响应扰动的输出信号为,5.减小或消除稳态误差的措施,1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道的增益2）在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节3）采用串级控制抑制内回路扰动,
