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1、第十一章曲线积分与曲面积分,二、对坐标的曲面积分,一、对面积的曲面积分,三、高斯(Gauss)公式,*第四节曲 面 积 分,在每块子曲面 Si 上任取一点(xi,i,i)，,将 任意分成 n 块子曲面，,一、对面积的曲面积分,定义 设函数 f(x,y,z)在曲面 上有定义，,记为 Si(i=1,2,n)，,Si 也表示第 i 块子曲面的面积，,作和式,如果当子曲面的最大直径 趋于零时，和式的极限存在，则称此极限值为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积的曲面积分，也称为第一类曲面积分.记作,其中 f(x,y,z)称为被积函数，,f(x,y,z)dS 称为被积表达式，,dS 称为曲面的面积元素，
2、,称为积分曲面.,如果曲面是封闭的，,则曲面积分记为,设曲面 的方程为 z=z(x,y)(z 为单值函数)，在 xy 平面上的投影区域为 Dxy，,函数 z=z(x,y)在 Dxy 上具有连续的一阶偏导数，函数 f(x,y,z)在曲面 上连续，,则,证明从略.,注意几点,(1)f(x,y,z)定义在曲面 z=z(x,y)上，所以 z 要换成 z(x,y)；,(2)曲面的面积元素为,其中 d 是 dS 在 xy 平面上的投影区域的面积.,例 1 计算曲面积分,其中 为球面 x2+y2+z2=1.,解球面方程为,上半球面记为 1，,下半球面记为 2，则根据对面积的曲面积分的性质，有,因为 1，2
3、在 xy 平面上投影区域都是 D：x2+y2 1，所以,因此,有内侧与外侧之分,1.有向曲面与曲面的侧,设曲面 是双侧的.,例如方程 z=z(x,y)表示的曲面，,有上侧与下侧之分；,方程 y=y(x,z)表示的曲面.,有左侧与右侧之分；,方程 x=x(y,z)所表示的曲面，,有前侧与后侧之分；,对于封闭曲面，,z,x,y,O,上侧,下侧,Mo,z,x,y,O,外侧,内侧,外侧,二、对坐标的曲面积分,(a),(b),3.对坐标的曲面积分的定义,定义设函数 R(x,y,z)定义在曲面 上，选定曲面 的一侧，其法向量记为,n=cos ai+cosbj+cos k,其中 a,b,是 x,y,z 的函
4、数，则积分,称为函数 R(x,y,z)在曲面 S 选定侧 n 上的第二类曲面积分或称对坐标的曲面积分.,cos dS 是 dS 在 xy 坐标面上的投影，记作dxdy.即,cos dS=dxdy，,这里记号 dxdy 采取与二重积分中的面积元素相同的记号是方便的.,但要注意，这里的 dxdy 是可正可负的.,当角 不超过,dxdy 0，,当角 超过,dxdy 0.,同样,它们也可写为,同样要注意 dydz 或 dzdx 是可正可负的，,当角 a 不超过,dydz 0，,当角 b 不超过,否则 dydz 0.,否则 dzdx 0.,dzdx 0，,积分,称为组合曲面积分.,简记为,4.对坐标的曲
5、面积分的性质,对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分的类似性质.例如,(1)如果把 分成 1 和 2，则,(2)设 是有向曲面.若将与 取相反侧的有向曲面记为-，则,这些性质的证明从略.,5.对坐标的曲面积分的计算法,设曲面 由方程 z=z(x,y)给出，,当 取上侧时，则曲面的法向量 n 与 z 轴正向的夹角不大于,于是，曲面的面积元素 dS 在 xy 平面的投影 dxdy 不为负值，,如果 Dxy 表示曲面 在 xy 平面上的投影区域，,那么我们可将对坐标的曲面积分化成在 xy 平面上区域 Dxy 的二重积分来计算，,即,如果取 的下侧，的法向量 n 与 z 轴正向的夹角为大于，这时 dS
6、 在 xy 平面上的投影 dxdy 不为正值，于是有,类似地，如果 的方程为 x=x(y,z)，则有,上式右端正负号应如下选定：当曲面 取前侧时，选用正号；取后侧时，选用负号，其中 Dyz 是 在 yz 平面上的投影区域.,如果 的方程为 y=y(x,z)，则,上式右端正负号应如下选定：当曲面 取右侧时，选用正号；取左侧时，选用负号，其中 Dzx是 在 zx 平面上的投影区域.,例 2 计算曲面积分,其中 是平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截的上侧.,解 由曲面积分的性质,三、高斯(Gauss)公式,定理设空间闭区域 是由曲面 所围成，,函数(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在 上具有一阶连续偏导数，,则,这里封闭曲面 的方向取其外侧，此公式称为高斯公式.,证明从略.,例 3 计算曲面积分,其中 是由三个坐标平面与平面 x+y+z=1 所围成的四面体的外侧.,解,(x,y,z)=x+1，,Q(x,y,z)=y，,R(x,y,z)=1，,所以由高斯公式，得,
