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1、第十五章 波动学基础,安徽大学出版社,ANHUI UNIVERSITY,大学物理学,151 机械波的基本特征,152 平面简谐波,153 波的能量 能流密度,第十五章 波动学基础,154 惠更斯原理,155 波的干涉,156 驻波,157 多普勒效应,158 声波 超声波 次声波*,159 平面电磁波,机械波,电磁波,机械振动在弹性介质中的传播.,交变电磁场在空间的传播.,传播需有介质,能量传播、反射、折射、干涉、衍射,波动通常分为两大类,声波 水波 地震波,无线电波 光波 X射线,传播无需介质,共同特征,产生条件：1）波源；2）弹性介质.,波是运动状态的传播，并不是介质的移动；波动的传播方向
2、和质点的振动方向不一定相同；波速和质点的振动速度是不同的两个物理量.,151 机械波的基本特征,一、机械波的形成条件,横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.,（只能在固体中传播）请注意其波形特征,二、横波与纵波,软弹簧,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.,（可在固体、液体和气体中传播）,比较其波形特征与横波的不同是什么？,1介质中各质点都做与波源同方向同频率的振动.2介质中各质点的振动相位沿波传播方向依次落后.,三、波面和波线,*,球 面 波,平 面 波,波前,波面,波线,波线：波的传播方向,波面：相位相同的点所组成的曲面,波前：最前面的波面,各向同性均匀介质中，波线与波面总
3、是垂直的,O,y,A,四、描述波动的物理量,波长：同一波线上相邻的、相位差 的两个振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.,周期：波前进一个波长的距离所需要的时间.,频率：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.,在水中的波长,解,空气中的波长:,例1 在室温下，已知空气中的声速 为340 m/s，水中的声速 为1450 m/s，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？,由，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在,1、拉紧的绳子或弦线中横波的波速为,式中，T 为绳子
4、或弦线上的张力，为其线密度.,2、在均匀细棒中，纵波的波速为,式中，Y为棒的杨氏模量，为棒的密度.,五、某些特殊介质中的波速,3、在“无限大”的各向同性均匀固体中，横波的波速为,式中，G为固体的切变模量，为固体的密度.,4、而液体和气体（流体），只能传播纵波，其波速为,式中，K为流体的体积模量，为流体的密度.,什么是杨氏模量、切变模量和体积模量？,一段固体棒，当在其两端沿轴的方向加以方向相反大小相等的外力时，其长度会有变化，如图：,应力:,实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比.,应变:,Y为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，叫杨氏模量.,一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大
5、小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变，如图，这种形式的形变叫切应变.,切应力:,切应变：,在弹性限度内，切变的应力和应变成正比.,G 称作切变模量.由材料的性质决定.,一块物质周围受到的压强改变时,其体积也会发生改变,称体应变.,体应变：,K叫体变模量,由物质的性质决定.,“-”表示压强的增大总导致体积的减小.,以上四种特殊介质中的波速，都等于,一维细绳或弦线,三个模量都满足,杨氏模量Y,一维固体,切边模量G，块状固体,体变模量K，液体或气体,此部分内容旨在介绍机械波在特殊介质中的传播,解（1）气体中纵波的速度,例1 假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周
6、围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程.（1）视空气为理想气体，试证声速 与压强 的关系为，与温度 T 的关系为.式中 为气体摩尔热容之比，为密度，R 为摩尔气体常数，M 为摩尔质量.,由理想气体状态方程,（2）求0 和20 时,空气中的声速.（空气,解（2）由1的结论，,简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.,152 平面简谐波,一、平面简谐波的波函数,平面简谐波：波面为平面的简谐波.,如图，已知坐标原点O处的简谐运动,考虑 x0 处P点的振动，比O点要滞后 x/u 时间.,t 时刻点 P 的运动,t-x/u 时刻点O 的运动,P点的振动方程：,对于u沿着
7、x轴负方向,上式也成立.P点的相位要比O点的相位超前t=x/u，t+x/u时刻O点运动等于t时刻P点运动,波函数,若波源不在坐标原点，波函数可以表示为,1)“”反映波的传播方向；2)x 是波传播方向上任意点的坐标，x0 是波源坐标；3)是波源的振动初相位。,波函数还可以表示为,或,波数,记下此公式，书上没有！,距离内完整波数目,1.当 x 固定时(如x=x1)，波函数表示该点的简谐运动方程.,（波具有空间的周期性）,二、波函数的物理意义,可对应给出该点与原点 振动的相位差.,则,注意波动曲线与振动曲线的区别,锁定某一点，分析下一时刻的运动状态,2.当 t 固定时(如t=t1)，波函数表示 t1
8、 时刻的波形图.,3.当x 和 t 都不固定，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波），我们进一步分析.,y(x2,t2)由y(x1,t1)向右平移 得到,例1 一余弦横波在弦上传播，其波函数为：,解:1)比较系数法,式中x，y的单位为m，t的单位为s.1)试求其振幅、波长、周期和波速.2)分别画出对应t=0.0025s和t=0.005s两时刻弦上的波形图.,且有,2)可以用平移法得到波形图，t=0时刻的波形为,平移法和比较系数法,例2 一平面简谐波在介质中以速度 u=20 m/s沿x轴的负向传播.已知A点的振动方程为y=3cos 4t(SI).(1)以A点为坐标原点写出波函数，并求介质质元
9、的振动速度表达式；(2)以距A点5m处的B为坐标原点，写出波函数.,解:1)A点为坐标原点,质元的振动速度,2)B点为坐标原点,波源坐标为:,也可将x-5=x直接代入,B点振动比A点滞后5/20，或直接利用前面公式,更直观简便,例3 一平面简谐波沿x轴的正向传播,弹簧中某圈的最大位移为3.0cm,振动频率为25Hz,弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm.当t=0时，在原点处质元的位移为零并向x轴正向运动,写出波函数.,解:1)相邻两疏部中心的距离即为波长，故,设原点处质元的振动方程为,由初始条件，知,原点处质元的振动方程为,波函数为,例2、例3都需要先确定波源振动方程,三、平面波的波动微分方程
10、,将平面简谐波的波函数分别对 t 和 x 求二阶偏导数,比较上面两式，可得,平面波的波动微分方程,普遍情况下，物理量,在三维空间中以波的形式传播，对于各向同性、均匀无吸收的介质，则有,三维的波动微分方程,可判断y是否波动,当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.,以弹性棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.,153 波的能量 能流密度,一、波的能量和能量密度,dx是质元,dy是形变，位移,振动动能,杨氏模量,弹性势能,应变,又,体积元的总机械能,1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、总机械能周期性变化，且
11、变化是同相位的，而且动能总等于势能.,2）机械能不守恒，因为不是孤立体系，波动是能量传递的一种方式.,3）体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.,体积元的位移最大时，三者均为零.（余弦为1，正弦为0；余弦为0，正弦为1）,能量密度：单位体积介质中的波动能量.,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.,二、能流密度,能流密度是一个矢量，其方向就是波速的方向，其大小反映了波的强弱，故又称波强.,能流密度 单位时间内流过垂直于传播方向单位面积的波的平均能量.,三、波的吸收,波在介质中传播时,介质总要吸收一部分能量.因此,波的振幅要减小、波的强度将减弱,这种现象称之为波的吸收.,x 处的
12、波动，经厚度为 dx 的媒质后，振幅的衰减为-dA：,：吸收系数(由介质自身性质决定),两边积分得,因为,所以平面简谐波强度的衰减规律为：,处的振幅,处的波强,例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.（仅振幅变化）,证：介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.,即,式中r 为离开波源的距离，A0 为 r=r0 处的振幅.,由此，可得,波动的能量动能和势能各一半，且时刻相等,波动能量密度,能流密度，矢量，又称波强,振幅吸收系数,波强吸收系数,介质元在位移最大处，余弦为1，正弦为0，能量为0介质元在平衡位置处，余弦为0，正弦为1，能量最大,介质中波动传播到的各点都可以
13、看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.,一、惠更斯原理,154 惠更斯原理,二、惠更斯原理的应用,1）利用惠更斯原理求波前.,子波波源,波前,子波,子波波源,波前,子波,波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.,2）定性解释波的衍射现象.,2）证明波的反射和折射现象.,155 波的干涉,一、波的叠加原理,若干列波在传播过程中相遇,每列波仍将保持其原有的振动特性(频率，波长，振幅，振动方向)，不受其它波的影响.这称为波传播的独立性原理.,波的叠加原理 在相遇区域内，任一质元振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和.,
14、二、波的干涉,相干条件,两列波的频率相同;振动方向相同;有恒定的相位差.,如图，两个相干光源S1和S2产生了相干波.,波源振动方程,点P 的两个分振动,对于确定点是恒定的,1）合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,波程差,若 则,某点离俩波源的距离差,例 如图所示，两列同振幅平面简谐波（横波）在同一介质中相向传播，波速均为200m/s，当这两列波各自传播到E 和F 两点时，这两点做同频率（100Hz）、同方向的振动，且E 点为波峰时，F 点恰为波谷.设E和F两点相距为20m，求EF连线上因干涉而静止的各点位置.,解：以E点为坐标原点，EF 两点连线为x轴，正向向右，
15、则其质元振动表达式分别为:,和,则波函数分别为：,干涉静止的条件为：,即,化简后将波长值代入，解得：,波的干涉问题，处理思路,1、找到俩波源振动方程，确定两列波的相干性,2、根据波源写出波动方程,3、根据波动方程，找出两列波在任意位置（x）处的相位差,4、再根据干涉相消或相长的条件，讨论任意位置的振动情况,一、驻波的产生,156 驻波,两列振幅相同的相干波沿相反方向传播时叠加而成的波称为驻波.驻波是波的一种干涉现象,是一种特殊的振动.,驻波的波形特点：,1)没有波形的推进,也没有能量的传播,参与波动的各个质点处于稳定的振动状态.,2)各振动质点的振幅各不相同,但却保持不变,有些点振幅始终最大,
16、有些点振幅始终为零.,波节,波腹,驻波波函数,以两平面相干行波为例，适当选择计时起点和原点,使原点处,二、驻波波函数,振幅与位置有关,讨论:,参与波动的每个点振幅恒定;不同的点振幅不同.,坐标,波腹间距,波腹：2A,波节：0,坐标,波节间距,为坐标为 x 质点的振幅.,*可以利用这个规律测行波波长.,由波密介质入射在波疏介质界面上反射,在界面处,反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相同;形成驻波时,总是出现波腹.,三、半波损失,波密介质,波疏介质,由波疏介质入射在波密介质界面上反射,在界面处,反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反,即差了;形成驻波时,总是出现波节.,密到疏，无损失，疏到
17、密，有损失。,十分重要！,四、驻波的能量,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.,波腹处振动到最大位移处，动能为0，动能全部转化为波节处的势能。此时波节处形变量为最大,波腹回到平衡位置处，动能最大，波节处的势能为0。此时波节处形变量为0,五、简正模式(又称本征振动),弦长,弦形成驻波条件,本征频率,根据 联系,之所以有弦长的要求，是因为弦有自身的本征频率,两端固定的弦振动的简正模式,一端固定一端自由 的弦振动的简正模式,的奇数倍,的偶数倍,弦长为,弦长为,例 如图所示，一列沿 x 轴正向传播的
18、简谐波方程为介质界面上的点A 与坐标原点O相距L=2.25m.已知介质2的波阻较大，假设反射波与入射波的振幅相等.求 1)反射波方程;2)驻波方程;3)在OA之间波节和波腹的位置坐标.,解 1)设反射波方程为:,则入射波在点A激起的反射波振动方程为：,同理，反射波在点A的振动方程为：,这里描写的是同一个振动，故：,假设的反射波方程在A引起的振动,由入射波方程和半波损失得到的振动形式,两个振动等价,2),3),令,波节,考虑到,同样可求的：,注意此题的两个关键点：1、找反射波函数；2、找波节或波腹位置,如果把A点振动看做一个单独的波源，O点是另一个波源，则两列相向而行的波会干涉形成驻波,t时刻波
19、源A的振动,A与O点距离,半波损失,波源振动初相,波源在A点的反向波函数,传播方向,波源坐标,后面求驻波相关，与书上方法一致,书上假设的反射波方程代表的是波源在O处，方向向左的波动,如果考虑波程，入射波从O点出发，经过一来一回，经过的路程为2L,由此导致的相位差为,半波损失导致的相位差为,故总的相位差为,入射波初相为0，反射波初相为,人为什么可以分辨火车是越来越近还是越来越远？,多普勒效应,人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？,157 多普勒效应,发射频率,接收频率,只有波源与观察者相对静止时才相等.,source,receiver,一、波源不动，观察者运动,观察者接收的频率,观察者向波源
20、运动,观察者远离波源运动,相当于行波多传播了 v0dt的距离,假设接收者不动，时间内波传播的距离,假设接收者以速度 向波源移动，时间内波传播的距离,现假设，传播距离为一个波长，则有,以上波传播行为相当于波速分别为u和u+VR,由上两式得：,同理可得远离波源运动时，,二、观察者不动，波源相对介质以速度 运动,A,波源向观察者,波源远离观察者,三、波源与观察者同时相对介质运动,若波源与观察者不沿二者连线运动，则,两者连线上的分速度,波源向接收者运动或接收者向波源运动时，,波源远离接收者或接收者远离波源时，,靠近,远离,本节核心内容,当 时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成冲击波或
21、激波，如核爆炸、超音速飞行等.,四、冲击波,这个圆锥面称为 马赫堆，而这种以波源为顶点的圆锥形波称为冲击波.,无量纲量，马赫数,解：1）,例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为50Hz，A 静止，B 以60m/s 的速率向右运动.在两个汽笛之间有一观察者O，以30m/s 的速度也向右运动.已知空气中的声速为330m/s，求：,1）观察者听到来自A 的频率,2）观察者听到来自B 的频率,3）观察者听到的拍频,解：2）,3）,都相对介质运动，切勿取相对速度,解 1）车为接收器,2）车为波源,例2 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为100kHz的超声波,当汽车向波源行驶时,与波源安装在一起的接
22、收器接收到从汽车反射回来的波的频率为110kHz,已知空气中的声速为330m/s,求车速.,车速,159 平面电磁波,麦克斯韦，英国,预测了电磁波的存在,赫兹，德国,证明了电磁波的存在,一、电磁波的产生与传播,变化的电磁场在空间以一定的速度传播就形成电磁波.,可得到电磁波,变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场,麦克斯韦方程组,不同时刻振荡电偶极子附近的电场线,振荡电偶极子附近的电磁场线,二、平面电磁波的特性,振幅变化的简谐运动,在离开振荡偶极子很远的地方，E 和H 的振幅可以看做常量.,得平面电磁波,1）电磁波是横波,三者互相垂直,成右螺旋关系;2）和 同相位;3）和 数值成比例,在空间任意
23、一点,有;4）电磁波在介质中传播速度 真空中波速等于光速,三、电磁波的能量,电场能量密度,磁场能量密度,电磁场能量密度,单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能：,辐射强度矢量或坡印延矢量.,电磁波的能流密度,大小为EH,方向为,平面电磁波能流密度平均值,振荡偶极子的平均辐射功率,四、电磁波谱,电磁波速度,电场与磁场的关系,波印廷矢量or辐射强度矢量,本节重点,电磁波的能流密度,E和H同相位，振动方向相互垂直,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
