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1、第五节 定积分在物理学中的应用,一、变力沿直线所做的功二、液体静压力三、引力四、平均值,一、变力作功,解,功元素,所求功为,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,二、液体静压力,解,在端面建立坐标系如图,解,
2、建立坐标系如图,面积微元,三、引力,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,小段与质点的距离为,引力,水平方向的分力元素,由对称性知，引力在铅直方向分力为,先将区间a,bn等分,分点为，每个小区间的长度为 在各分点处的函数值记为.当很小(即n充分大)时，在每个小区间上函数值视为相等，,n个数值 的算术平均为,讨论如何规定和计算连续函数(x)在a,b上的平均值,四、平均值,故可以用 的平均值,来近似表达(x)在a,b上的所有取值的平均值,称极限值 为函数(x)在a,b上的平均值,由于,例6 计算纯电阻电路中正弦交流电 在一个周期 上的功率的平均值(简称平均功率),解 设电阻为R
3、，则电路中的电压为,其中 表示最大电压，也称为电压峰值，即纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流与电压的峰值的乘积的一半,通常交流电器上标明的功率就是平均功率，而交流电器上标明的电流值都是另一种特定的平均值，常称为有效值,一般地，周期性非恒定电流i的有效值是这样规定的：当电流i(t)在一个周期T内在负载电阻R上消耗的平均功率等于取固定值I的恒定电流在R上消耗的功率时，称这个固定值为i(t)的有效值,它在0,T上的平均值为,电流i(t)在电阻R上消耗的功率为,而固定值为I的电流在R上消耗的功率为N=I2R，因此,即,利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题,（注意熟悉相关的物理知识）,小结,思考题,一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？,思考题解答,该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关,练 习 题,练习题答案,
