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1、数学物理方法,李禄山西大学物理电子工程学院理论物理研究所,感兴趣的方向,光学传输理论非线性动力学孤子理论计算物理,办公室一楼118房间电话7011314,数学物理方法,复变函数数学物理方程,参考文献,数学物理方法，吴崇试数学物理方法，梁昆淼数学物理方法，郭本宏Methods of Mathematical Physics，H.Jeffeys and B.Jeffeys，Third Edtion，Cambridge University Press,1972 MatLab工程数学应用，许波，刘征编著Mathematica 4.0使用教程，刘元高，刘耀儒Maple计算机代数系统应用及程序设计，李世
2、奇，杜慧琴,第一章 复数与复变函数,第一节 复数及运算第二节 区域第三节 复变函数第四节 复变函数的极限和连续性,第一节 复数及运算,复数的概念,复数相等,复数,形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1,z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1,复平面,复数与平面向量一一对应,复数不能比较大小,复数的表示,代数表示：z=x+iy,三角表示：z=r(cos+isin),指数表示：z=rexp(i),注意,在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k,复数的运算,设z1=x1+iy
3、1和 z2=x2+iy2是两个复数,复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则,乘法运算,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,除法运算,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,共轭运算,复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy,共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点,复球面,无穷远点,举例,第二节 区域,区域的概念,邻域,平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的-邻域,|z-z0|,0|z-z0|,开集,设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。,区
4、域,平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。,边界,设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用D来表示。,闭区域,1,单连通域与多连通域,设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。,单连通域,多连通域,举例,用复数表示的平面点集,第三节 复变函数,复变函数之定义,设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一
5、个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。,说明1,如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。,复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy,z平面,平面,=iz=zexp(i/2),复变函数举例基本初等函数,指数函数,性质,举例,求z平面上带形区域-Rez+,0Imz经=ez 变换后在平面上的图形。,注意,根式函数,记,限制值域,扩大定义域,Riemann面,举例1,举例2,当z沿C1移动到z=0时，arg(z-1)|z
6、=0=,当z沿C2移动到z=0时，arg(z-1)|z=0=-,对数函数,性质1,性质2,恒等式,下列式子不成立,举例,计算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i),三角函数,性质,周期性,恒等式,非有界函数,举例,求解sinz=0的全部根求解sinz=2的全部根,反三角函数,双曲函数,性质,1.以2i为周期,2.与正弦函数、余弦函数的关系,3.恒等式,反双曲函数,幂函数,第四节 复变函数的极限和连续性,复变函数的极限,设函数=f(z)定义在z0的去心邻域00，()0，使当0|z-z0|时，有|f(z)-A|，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，记为,定理1,定理2,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z=x0+iy0，那么,举例,复变函数的连续性,举例,
