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1、,声波有限差分数值模拟 基于完全匹配层吸收边界条件,以下讨论声波模拟的有限差分方法,地震资料的数值模拟作用：1）模拟地震记录，检验处理结果的好坏、处理方法的有效性；2）正演模拟可以作为反演研究的基础。,固体弹性介质简化为声学介质：研究地震波传播问题及地震成像方法时，为了方便求解，只研究纵波的波场特征及成像方法。这种做法是对实际问题的良好近似。因为地表附近存在低速带，地震反射记录中横波信息的能量非常微弱。,内容提要,一、声波方程二、声波方程的差分近似三、吸收边界条件,一、声波方程,声波方程：,通常，介质密度相对于其速度变化很小，可以近似地将密度看作常数：,即,二、声波方程的差分近似,三维常密度声
2、波方程：,其中：,对微分方程进行差分近似时，主要利用了Taylor级数展开理论：,（2-1）,二、声波方程的差分近似,设,是一个多元函数，,是它的一个自变量,（2-2）,（2-3）,由（2-2）和（2-3）得,（2-4）,二、声波方程的差分近似,（2-4）中分别取,并做,误差截断得：,令,（2-5）,二、声波方程的差分近似,（2-5）可以写成,（2-6）,所以,的六阶误差截断表达式：,用类似的方法可以求得,的四阶误差截断表达式：,（2-8）,的二阶误差截断表达式：,（2-9）,（2-10）,二、声波方程的差分近似,二、声波方程的差分近似,取 x、y、z、t 方向的差分网格间距分别为、,以时间二
3、阶空间四阶误差截断为例，有：,将上面式子代入声波方程（2-1）,就可以得到对应的差分方程：,，震源项取为,并将速度取为,二、声波方程的差分近似,（2-11）,二维情况下，上式变为：,（2-12）,其中，,整理（2-12）式，得,二、声波方程的差分近似,三、吸收边界条件,（图3-1）,（图3-2）,在用有限差分法进行声波数值模拟时，若采用自然边界条件，即令各个时间层边界处的声压值为零，在波场没有到达人为边界时计算结果是正确的（图3-1）；而当波场超出人为边界时，计算结果中混入了人为边界的反射（图3-2）。,（图3-2）,（图3-3）,工程中的许多波动问题，其计算求解域往往很大，有时甚至是无界的。
4、但实际情况下，我们总是在一个有限的区域内进行求解，因此，需要在所限定的区域的边界上引入吸收边界条件，从而最大限度地降低由于人为划定的边界而造成边界反射。吸收边界的建立对于波动方程的数值模拟起到致关重要的作用，它将直接影响的计算结果的稳定性和准确性。图3-2没有加吸收边界；图3-3加入了吸收边界。,三、吸收边界条件,一些用于消除人工边界反射的方法包括：Smith于1974年提出多次反射法；Clayton及Engquist于1977年提出的旁轴近似法；近年来，Berenger针对电磁波传播情况，给出了一种高效的完全匹配层（PML）吸收边界条件，并在理论上证明该方法可以完全吸收来自各个方向、各种频率
5、的电磁波，而不产生任何反射。目前已将完全匹配层的思想引入到了弹性介质中，并建立了弹性介质中的完全匹配层吸收边界条件。以下利用声波方程，导出声波的完全匹配层的控制方程，并作为吸收边界条件应用于数值模拟。实际结果表明这是一种非常有效的方法。,声波方程：,其中,（3-1）,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,完全匹配层边界条件：,可以证明，当,时，在 方向上起到的衰减作用，以下给出证明。,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,将
6、（3-7）、（3-8）、（3-9）变换到频域,对x、y、z做下面坐标拉伸变换：,其中,同理,（3-13）,（3-14）,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,（3-13）、（3-14）代入（3-10）、（3-11）得,（3-10）、（3-11）、（3-12）变回到时域：,因此，若声波方程的解为,PML 方程的解应该为,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,有了上面的推导作为基础，下面以二维情况为例，说明PML的衰减作用。,设
7、二维声波方程的一个平面简谐波解为：,若此简谐波在PML介质中传播，则对应的声压解应该为：,两个解的相位完全相同，且振幅比为：,（3-16）,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,（3-16）,（3-16）可以解释PML ABC效用和其参数的效用：,时，振幅无衰减，随着它们的增大，振幅呈指数衰减。,以下给出（3-7）（3-8）（3-9）交错网格离散表达式：,（3-7）,(3-17),(3-18),对（3-17）和（3-18）做以下变量替换，替换时需要注意在（3-17）和（3-18）中，,(3-9),(3-19)
8、,(3-20),交错网格时间层递推,以下以二维情况为例说明PML吸收边界的实现方法：,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,（图3-4）,如图3-4，中间的部分为进行有限差分模拟的区域，为了加入PML吸收边界条件，需要在它的周围加入PML介质，图中，L代表左边界，R代表右边界，U代表上边界，D代表下边界，RD代表右下角边界，LD代表左下角边界，RU代表右上角边界，LU代表左上角边界。,图3-4中的细实线，代表每个数组的次边界，粗实线代表每个数组的边界，数值模拟时，每完成一次时间层递推，一个数组里的边界值要和相
9、临数组的次边界值发生交换。,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,如图3-5所示，下面的两个“回”字矩形代表时刻时间层上的数据，一个数组里的边界值要和相临数组的次边界值发生交换，上面两个矩形代表由时刻的时间层数据递推得到的时刻的时间层数据，完成计算后，再进行边界和次边界的数据交换，生成新的数组边界数据，依此类推完成整个时间层的计算。,（图3-5）,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,如图3-6，为了程序实现时便于操作数组，
10、将D和U合并在一起存放的一个数组里，将L和R合并在一起存放的一个数组里，将RD、LD、RU、LU合并在一起存放的一个数组里。这种做法的另一好处就是，它将图1-3-4中周围的PML介质四周也连接起来，这样不需要在每次计算完一个时间层时对图1-2-4的最外边界赋零值，而是让波场继续传播，多通过一倍的PML介质，衰减更充分，却没有增加任何计算量。,（图3-6）,（图3-4）,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,下面两个图说明了PML介质中速度的一种选取方法。,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,（图3-7）t=0.1s,（图3-8）t=0.25s,（图3-9）t=0.04s,（图3-10）t=0.55s,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,层状速度,不加吸收边界,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,加入了吸收边界,三、吸收边界条件 Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Condition,
