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1、在动力机械特别是叶轮机械中，有很多零件都具有轴对称特性，例如，轮盘，旋转轴，承力环等。若按空间问题进行分析，往往需要划分很多单元，因此未知量庞大。若利用轴对称问题的特点，可将轴对称分析由空间问题简化为平面问题。,第六章 轴对称问题的有限元法,一、轴对称条件:,当分析结构同时满足以下三个条件时，可认为是轴对称问题。,1)轴对称物体,轴对称物体是指它的几何形状是由物体的某一平面图形绕平面上某一轴旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。,2)边界条件轴对称,要求结构受到的载荷和位移约束条件具有轴对称性。,若它所受载荷是因结构旋转而产生的惯性力，则旋转轴必须是对称轴A-A。,若要考虑重力，轴线A-A则必
2、须处于垂直方向，否则重力和惯性力就不会满足轴对称条件。,3)材料轴对称,要求结构的材料特性具有轴对称性。当材料是各向同性材料时，这种条件是自然满足的。,在轴对称问题中，常以圆柱坐标来表示。为了方便，一般取柱坐标系,当材料是正交各向异性材料时，则材料主轴应与结构的径向、切向和轴向一致。,空间轴对称问题，一般来说是三维问题，但由于对称性，再轴对称载荷作用下所产生的位移，应力与应变必然对？轴对称。与？无关。在？方向上的位移为零。,6,因而一个三维问题，就变成只与 有关。,由对称性可知道，位移、应变、应力都与 无关。,我们就可以取其对称面(子午面)来进行研究。,各节点的位移有两个独立分量。,分别为r方
3、向的径向位移,二、轴对称物体的离散形式,轴对称物体的离散化先在子午面内进行，然后绕对称轴旋转一周。,轴对称物体的离散形式是用理想铰联系的有限个(三)棱圆环单元。,由于轴对称问题的特点，子午面上的任意一点在变形后仍在该子午面上。,分析轴对称问题采用柱坐标表示。,由于轴对称问题的特点，子午面上的任意一点在变形后仍在该子午面上。,轴对称问题的分析实际上是二维分析或退化了的三维分析。,三、直角坐标与圆柱坐标的转换,直角坐标及其位移与圆柱坐标及其位移的转换如图6-4所示，其中x轴方向变成圆柱的r 方向，z轴方向保持不变，而xoz平面上的像素围绕z轴旋转360度，成为轴对称的实体。,因此对该轴对称物体在进
4、行分析时，可以取其截面表示。,第二节 轴对称问题的力学基础,一、空间轴轴对称问题的几何方程,直角坐标的位移、应变与圆柱坐标的位移、应变的转换为,由于轴对称的因素，,与平面问题比较，多了一项,这项应变的产生主要是由于径向位移,所以，轴对称问题的应力分量就不是三个，而是四个，即轴向正应力、径向正应力、周向正应力、和剪应力。,因而产生周向应变。,二、空间轴轴对称问题的物理方程和弹性矩阵,在有初应变情况下的物理方程为,与平面应力问题一样，弹性矩阵只与材料的弹性模量 及泊松比有关。,对称正定矩阵。,第三节 单元分析,一、单元节点位移向量,在圆柱坐标上，取一个绕z轴旋转而成的三角形截面，其轴对称环状元素如
5、图所示。子午面上任意一个三角形单元123的单元节点位移向量为,二、位移插值函数,沿z轴方向的轴向位移w，可比照r方向的径向位移u证明，位移与形函数的关系为,2023/3/30,有限单元法简介,16,二、几何矩阵,已知三角形单元的形状函数具有如下形式,由此可知，几何矩阵 第1行、第2行、第4行元素均为常数，但第3行元素为坐标的函数,轴对称问题的三角形单元不是常应变单元，因而也不是常应力单元。这是与平面问题中三角形单元的形式是不同的。,三、应力矩阵与位移场的关系,四、轴对称问题的应变能,五、利用最小势能法求出刚度矩阵。,由最小势能法知道，应变能对位移向量的微分，可得到等效力的向量。而等效力向量又可
6、表示为刚度矩阵与位移向量的乘积,注意：轴对称单元是三维实体，因此这里的积分为三重积分。但由于被积函数与角度无关。,一种常见的简化计算方法是，把每一个单元的坐标,近似地当作常量，对三角形单元可取,于是单元被近似地当成了常应变单元。,因此，轴对称问题三角形单元的单元刚度矩阵可近似表达为,第四节 节点等效载荷,由于轴对称，单元的节点力是作用在整圈圆周形铰上。若设节圆半径为,，单位长铰上作用的径向和轴向分力分别为,那么圆周铰上的节点力应为,一、体积力,分别表示旋转体沿径向(如离心惯性力)和轴向(如重力)的体积力分量，则体积力可表示为,由虚功原理，单元上体积力的等效节点力,所做的虚功等于体积力,所做的虚
7、功,1.体积力为自重,为重度,于是单元自重移置到1，2，3上的等效节点力为,于是自重的等效节点力列阵为,可见，若单元距离对称轴较远，,2.体积力为离心力,利用积分公式得,3.表面力,其方向以压向单元边界为正，,设单元的,边作用均布载荷,面力的矩阵可表示为,与上述两种情况类似，根据虚功原理得，,由形函数的定义可知道，在23边上有,27,令,可见，当单元的边界23作用有集度为,的垂直均匀力时，等效到节点1上的载荷为零，分配到节点2和3上的载荷相同，,方向分量为,方向分量为,习题6-1两个轴对称等边直角三角形单元，形状、大小、方位都相同，位置如图所示，弹性模量为,，泊松比为,，试分别计算它们的单元刚度矩阵。,
