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1、第6章 定积分及其应用,定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。,微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础。,“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌牙最早可以追溯到希腊由阿基米德（287BC212BC）等人提出的计算面积和体积的方法阿基米德用“穷竭法”，我国刘徽用“割圆术”都曾计算过一些几何体的面积和体积。这些均为定积分的雏形。后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的,直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在各自的国家，从不同的角度，用不同的方法，先后提出了定积分的概念
2、，并发现了定积分和微分之间的内在联系，确立微分和积分是互逆的两种运算，并使各自独立的微分学和积分学联系在一起，构成完整的理论体系微积分学。他们给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决实际问题的有力工具。,怎样是“无限细分”？怎样是“无限求和”？,实例 求曲边梯形的面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,四个小矩形,九个小矩形,播放,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,3个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形
3、面积的关系：,13个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,23个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,33个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,43个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,53个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,63个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,73个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形
4、面积和与曲边梯形面积的关系：,83个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,93个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,103个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,113个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,123个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,133个分点的图示,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：,143个分点的图示,1.了解定积分
5、定义、几何意义、定积分的性质。2.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。3.熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。4.了解无穷积分收敛性概念，会计算简单的无穷积分。5.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。,学习要求,a b,1.曲边梯形的面积的计算,y=f(x),分割,近似代替,求和,取极限,A,当分割无限加密，区间a，b分得越细，精确度就越高。,6.1 定积分的概念,一、两个例子,2.变速直线运动的位移,设物体作变速直线运动，已知运动的速度函数为 v(t),求在时间间
6、隔0，T内物体的位移。,分割,近似代替,v(t),求和,取极限,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,二、定积分的定义,设函数 f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入n-1个分点,将a,b分割为n个小区间,记其长度为,(i=1,2,3,n),并在每一个小区间 上任取一点,a,b的分法及 的取法无关的极限值，则称此极限值为 f(x)在a,b上的定积分，称 f(x)在 a,b上可积，记为,作和式,存在与,其中称 x 为积分变量，称f(x)被积函数，并称 为积分号，a，b为积分的下限和上限，
7、a,b为积分区间。,定积分是一个无穷和的极限。,积分上限,积分下限,积分和,积分号,曲边梯形的面积,二、定积分的几何意义,a b,y=f(x),A,曲边梯形的面积的负值,定积分的物理意义：,变速直线运动的位移,一般地,注意：,（1）定积分是一个无穷和的极限，是一个数值。,定理1,定理2,三、存在定理,恩格斯指出：初等数学，即常数的数学，是形式逻辑的范围内活动的。至少总的来说是这样的，而变量数学其中最主要的部分是微积分本质上不外是辩证法在数学方面的应用。,从初等数学到变量数学的过渡，反映了人类思维从形式逻辑向辩证逻辑的跨越，是人类的认识能力由低级向高级的发展。,求定积分过程中的辩证思维,定积分中极限方法可以使有关常数与变量，近似与精确，变与不变等矛盾的对立双方想互转化，从而化未知为已知，体现了对应统一法则。,求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前三步即“分割”，“近似代替”和“求和”是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现。只有第四步“取极限”这种思维蕴含于变量数学中的丰富的辩证逻辑思维，才使得微积分巧妙地有效地解决了初等数学所不能解决的问题。,例1 利用定义计算定积分,解,例2 利用定义计算定积分,解,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,
