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1、专题六,二次函数压轴题,1.,主要类型,:,(1),线段及周长最值问题,(2),面积最值问题,(3),存在性问题探究,2.,规律方法,:,(1),解决线段和的最小值或三角形周长最小问题,主要,依据是“两点之间,线段最短”,具体方法是利用轴对,称将两条线段之和转化为一条线段的长,然后求出该条,线段的长,.,(2),解决图形面积的最值问题,通常先设出动点坐标,然,后表示出图形面积,利用二次函数性质来求最大值或最,小值,表示不规则图形的面积时,通常采用割补法把其,转化为易于表示面积的图形,(,有一边在坐标轴上或平行,于坐标轴,).,(3),解决存在性问题要先假设结论成立,然后根据所探,究特殊图形的有
2、关性质,利用分类讨论的数学思想构造,全等或相似图形,进而求出字母的取值,.,3.,渗透的思想,:,分类讨论、转化思想、数形结合、函数,与方程等,.,类型一,线段及周长最值问题,【考点解读】,1.,考查范畴,:,线段和周长最值问题主要包括线段和的最,小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况,.,2.,考查角度,:,利用二次函数解析式确定有关点的坐标,结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题,.,【典例探究】,典例1(2018宜宾节选,),在平面直角坐标系,xOy,中,已知,抛物线的顶点坐标为,(2,0),且经过点,(4,1),如图,直线,y=x,与抛物线交于,A,B,两点,直线,l,为,y=
3、-1.,1,4,(1),求抛物线的解析式,.,(2),在,l,上是否存在一点,P,使,PA+PB,取得最小值,?,若存在,求出点,P,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,【思路点拨】,(1),由抛物线的顶点坐标为,(2,0),可设抛,物线的解析式为,y=a(x-2),2,由抛物线过点,(4,1),利用待,定系数法即可求出抛物线的解析式,.,(2),联立直线,AB,与抛物线解析式组成方程组,通过解方,程组可求出点,A,B,的坐标,作点,B,关于直线,l,的对称点B,连接AB交直线,l,于点,P,此时,PA+PB,取得最小值,根据点,B,的坐标可得出点B的坐标,根据点A,B的坐标利用待,定系数法
4、可求出直线AB的解析式,再利用一次函数图,象上点的坐标特征即可求出点,P,的坐标,.,【自主解答】,略,【规律方法】,解决线段和最小值问题的方法,(1),解题的基本依据是“两点之间,线段最短”,如图所,示,若,A,B,是两个定点,动点,P,在直线,m,上,求,PA+PB,的最小,值的方法是,:,作点,A,关于直线,m,的对称点A,当A,P,B,三点共线时,PA+PB,最小,.,(2),确定动点,P,的位置后,再根据两条直线的解析式联立,组成方程组,进而求出交点,P,的坐标,.,【题组过关】,1.(2019烟台中考,),如图,顶点为,M,的抛物线,y=ax,2,+,bx+3,与,x,轴交于,A(
5、-1,0),B,两点,与,y,轴交于点,C,过点,C,作,CDy轴交抛物线于另一点,D,作DEx轴,垂足为点,E,双,曲线,y=(x0),经过点,D,连接,MD,BD.,6,x,(1),求抛物线的解析式,.,(2),点,N,F,分别是,x,轴,y,轴上的两点,当以,M,D,N,F,为顶点,的四边形周长最小时,求出点,N,F,的坐标,.,(3),动点,P,从点,O,出发,以每秒,1,个单位长度的速度沿,OC,方,向运动,运动时间为,t,秒,当,t,为何值时,BPD的度数最,大,?(,请直接写出结果,),略,2.(2019贺州中考,),如图,在平面直角坐标系中,已知,点,B,的坐标为,(-1,0)
6、,且,OA=OC=4OB,抛物线,y=ax,2,+,bx+c(a0)图象经过,A,B,C,三点,.,世纪金榜导学号,(1),求,A,C,两点的坐标,.,(2),求抛物线的解析式,.,(3),若点,P,是直线,AC,下方的抛物线上的一个动点,作,PDAC于点,D,当,PD,的值最大时,求此时点,P,的坐标及,PD,的最大值,.,【解析】,(1)OA=OC=4OB=4,故点,A,C,的坐标分别为,(4,0),(0,-4).,(2),抛物线的解析式为,:y=a(x+1)(x-4)=a(x,2,-3x-4),即,-4a=-4,解得,:a=1,故抛物线的解析式为,:y=x,2,-3x-4.,(3),直线
7、,CA,过点,C,设其函数解析式为,:y=kx-4,将点,A,坐,标代入上式并解得,:k=1,故直线,CA,的解析式为,:y=x-4,过点,P,作,y,轴的平行线交,AC,于点,H,OA=OC=4,OAC=OCA=45,PHy轴,PHD=OCA=45,设点,P(x,x,2,-3x-4),则点,H(x,x-4),PD=HPsinPHD=(x,-4-x,2,+3x+4)=x,2,+x,0,PD有最大值,当,x=2,时,其最大值为,此时点,P(2,-6).,2,2,2,2,?,2,2,?,2,2,2,2,类型二,面积最值问题,【考点解读】,1.,考查范畴,:,以二次函数为背景,面积最值问题主要包,括
8、三角形面积问题和四边形面积问题,.,2.,考查角度,:,建立几何图形面积与动点的坐标的二次函,数关系,然后确定最值,.,【典例探究】,典例2(2019海南中考节选,),如图,已知抛物线,y=ax,2,+bx+5,经过,A(-5,0),B(-4,-3),两点,与,x,轴的另一,个交点为,C,顶点为,D,连接,CD.,(1),求该抛物线的解析式,.,(2),点,P,为该抛物线上一动点,(,与点,B,C,不重合,),设点,P,的,横坐标为,t.,当点,P,在直线,BC,的下方运动时,求,PBC,的面,积的最大值,.,【自主解答】,(1),将点,A,B,坐标代入二次函数解析式得,:,解得,:,故抛物线
9、的解析式为,:y=x,2,+6x+5,25a,5b,5,0,16a,4b,5,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，,，,a,1,b,6,?,?,?,?,?,，,，,(2),令,y=0,则,x=-1,或,-5,即点,C(-1,0),如图,过点,P,作,y,轴的平行线交,BC,于点,G,将点,B,C,的坐标代入一次函数解析式并解得,:,直线,BC,的表达式为,:y=x+1,设点,G(t,t+1),则点,P(t,t,2,+6t+5),S,PBC,=PG(x,C,-x,B,)=(t+1-t,2,-6t-5)=,0,S,PBC,有最大值,当,t=,时,其最大值,为,1,2,3,2,2,3,15
10、,t,t,6,2,2,?,?,?,，,3,2,?,5,2,?,27,.,8,【规律方法】,解决面积最值问题的方法,(1),首先设出动点的坐标为,(x,ax,2,+bx+c).,(2),求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时,用该边为底边用含,x,的式子表示出来,结合图形可用,x,的,代数式表示出该边上的高,;,求三边不在坐标轴上的三角,形或不规则图形面积时,要先采用割补的方法转化成易,于表示出面积的图形,.,(3),用含有未知数,x,的代数式表示图形面积,.,(4),利用二次函数的性质来求最大值或最小值,.,【题组过关】,如图,在平面直角坐标系中,抛物线,y=ax,2,+bx-5,交,y,
11、轴于,点,A,交,x,轴于点,B(-5,0),和点,C(1,0),过点,A,作ADx轴交,抛物线于点,D.,(1),求此抛物线的解析式,.,(2),点,E,是抛物线上一点,且点,E,关于,x,轴的对称点在直线,AD,上,求,EAD,的面积,.,(3),若点,P,是直线,AB,下方的抛物线上一动点,当点,P,运动,到某一位置时,ABP,的面积最大,求出此时点,P,的坐标,和,ABP,的最大面积,.,略,类型三,存在性问题探究,【考点解读】,1.,考查范畴,:,以二次函数为背景的存在性问题包括探究,等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四边形,的形状,.,2.,考查角度,:,考查是否存在某点,使
12、图形满足某种特殊,形状,根据图形性质解答问题,.,【典例探究】,典例,3,已知抛物线,y=,的图象如图所示,:,2,1,3,x,x,2,2,?,?,(1),将该抛物线向上平移,2,个单位,分别交,x,轴于,A,B,两点,交,y,轴于点,C,则平移后的解析式为,_.,(2),判断,ABC,的形状,并说明理由,.,(3),在抛物线对称轴上是否存在一点,P,使得以,A,C,P,为,顶点的三角形是等腰三角形,?,若存在,求出点,P,的坐标,;,若不存在,说明理由,.,【思路点拨】,(1),根据函数图象的平移规律,可得新的函,数解析式,.,(2),根据自变量与函数值的对应关系,可得,A,B,C,的坐标,
13、根据勾股定理及逆定理,可得答案,.,(3),根据等腰三角形的定义,分类讨论得到关于,P,点纵坐,标的方程,解方程可得答案,.,【自主解答】,略,【规律方法】,探究等腰三角形存在性的方法,(1),假设结论成立,.,(2),分别表示三角形三条边的长度,分三种情况进行讨,论,根据两边相等列出方程,然后求出对应的未知数的,值,.,(3),表示三边长度往往需要用到点的坐标,要掌握抛物,线和直线与坐标轴的交点坐标求法,并能够利用解方程,组求抛物线与直线的交点坐标,.,【题组过关】,(2019贵港中考,),如图,已知抛物线,y=ax,2,+bx+c,的顶点,为,A(4,3),与,y,轴相交于点,B(0,-5
14、),对称轴为直线,l,点,M,是线段,AB,的中点,.,(1),求抛物线的解析式,.,(2),写出点,M,的坐标并求直线,AB,的解析式,.,(3),设动点,P,Q,分别在抛物线和对称轴,l,上,当以,A,P,Q,M,为顶点的四边形是平行四边形时,求,P,Q,两点的坐标,.,【解析】,(1),函数解析式为,:y=a(x-4),2,+3,将点,B,坐标代,入上式并解得,:a=,故抛物线的解析式为,:y=x,2,+4x-5.,1,2,?,1,2,?,(2)A(4,3),B(0,-5),则点,M(2,-1),设直线,AB,的解析式为,:y=kx-5,将点,A,坐标代入上式得,:3=4k-5,解得,:k=2,故直线,AB,的解析式为,:y=2x-5.,(3),略,
