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1、复习,一、秩二、满秩阵三、解方程组,线性方程组有解,r=n 唯一解(齐次唯一零解)r n 无穷多解(齐次非零解),1.解的判定2.求解,的阶数,最高解非零,子式,初等变换不改变矩阵的秩,求秩,化为梯形阵,四、初等阵,4 初等矩阵,单位阵交换1、2两行,交换1、2 两行,将初等变换用矩阵的乘法表示出来,意义,定义3 对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵为初等矩阵。,三种初等行变换得到的三种初等矩阵分别：,1、对调两行或两列 E(i,j),对调 i、j 两行,一、概念,2、以数 k 乘某行或列 E(i(k),以数 k 乘第 i 行,2、以数 k 乘某行或列 E(i(k),3、某行或列的k 倍加到另
2、一行或列上去 E(i j(k),对单位阵作一次列变换所得矩阵就包括在上面的三类矩阵之中,初等变换 初等矩阵,二、初等矩阵的性质,(1)初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵,(2)初等矩阵都是可逆的且逆阵仍为同类型的初等矩阵,定理4,对 实施一次初等行(列)变换,相当于在 A 的左(右)边乘相应的 m(n)阶初等矩阵；,行变换 左乘初等矩阵;列变换 右乘初等矩阵,=？,E(3,1(1),E(2,3(-2),例1,例2,可以验证,例3 求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。,A 可逆,定理5,证,即 E 经有限次初等变换可变为 A,推论,5个,?,自证,等价矩阵的等式表达式,例4,若P、Q 为满秩
3、阵，则,=R(AQ)=R(PAQ),R(A)R(PA),推论,=P1 PS,=,三、用初等变换求逆阵,求逆阵的方法三,逆阵的求法,用伴随阵求用定义求用初等变换求,A 可逆，且,解,例4(P.90例8),P.91 例9,逆阵的应用求解矩阵方程,即 将 A 变成 E 的初等变换就是将 B 变为 X 的初等变换,求解矩阵方程时,一定要先整理化简,再求解.,例2,解,1 n 维向量及其线性运算,一、n 维向量的概念,定义1,行向量,实数,第 i 个分量,n 维向量，简称向量。,列向量,第四章 n 维向量,实向量,O=(0,0,0),零向量,负向量,(-1,0,),三维向量,三维向量空间,n 维向量空间
4、,中的平面,中n 1 维超平面,第i 个坐标是1其余均为零,单位向量组,设向量,1.加法(减法):,2.数乘:,线性运算满足运算规律?,同于矩阵的相应运算,二、n 维向量的线性运算,一、线性表示,1、向量组由若干个同维数的列(行)向量构成的集合,n 个m 维列向量,m 个 n 维行向量,矩阵A的列向量组,矩阵A的行向量组,2 向量组的线性相关性,(I)有解,(I),均构成一一对应,向量组 A:的一个线性组合,线性组合。,线性表示(出)。,三个向量？,共面,四个,定义1,2、线性表示,向量 b 可由向量组 A 线性表示,例1,解法I,无穷多种表达式,由向量组的线性表示与方程组的关系知,R(A)=R(B),定理1,矩阵的初等(行)变换 向量的线性运算,方程间的线性运算,一个向量可由其他向量线性表示这个方程是其他方程的线性组合,多余方程,解法II,定义3,设有两个 n 维向量组,若向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表示；,若向量组（I）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价。,向量组的等价关系具有:自反性、对称性、传递性,向量组 A与B 等价 方程组 AX=O 与 BX=O 同解,3 向量组的等价,证,例2,
