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1、SARS传播模型及其趋势分析 时培建1 徐多林1 水声建2（1 北京石油化工学院经济管理系 2 北京石油化工学院通信工程系） 摘要 围绕着SARS传播问题，建立并分析了传统的传染病模型，得出SARS传播的规律。并在此基础上引入了防控因子 ，借以量化政府及卫生部门采取隔离消毒措施对抑制SARS传播的积极效果；同时还采用了模糊数学的方法，就如何确定 值展开了探讨。关键词 SARS；防控因子；隶属函数 2003年春天，SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome)，严重急性呼吸道综合症)在我国部分地区爆发与蔓延，给当地的人们带来了恐慌，严重影响了正常的经济与社会发展。
2、我国政府与公共卫生部门对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，共抗“非典”，卓有成效，疫情自2003年5月初得到了有效控制。痛定思痛，我们应该就此进行认真的反思，尤其应该分析SARS疫情的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然。1 模型的建立与求解1.1 模型假设（1） 为疫区总人口数；（2）单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比的比例系数 ；（3）将大疫区各离散子疫区看成一个疫区，而不考虑子疫区之间的非典传播（如北京是一个大疫区，海淀、朝阳等各区县为子疫区，此时我们将子疫区抽象为一个疫区）。所谓称疫区皆指抽象后的疫区，所谈及的健康者与病人皆指在抽象疫区中
3、的人群。1.2 传统的传染病传播模型不考虑有外界和社会的干涉的SARS传播模型，记时刻 的病人数为 ，初始时刻有 个传染病人，则在 时间内增加的病人数为 ,这是一个常规的传染病模型1于是有 (1) ， (2)式中 健康人群和非健康人群之和，为常数； 时间，单位：天； 时刻的病人数； 时刻的健康人数； 传染强度（单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比的比例系数）； 当 时刻的病人数。 则有: （3）令 ，代入方程（3），方程变为 （4） 解此微分方程可得： （5）1.3 传统的传染病传播模型的求解用式（5）去拟合北京累计确诊病例2,3，可得： r/k=2521，r=0.198，决定系
4、数R2=1-残差平方和/总平方和=0.99942 t/d i(t) 图1 北京累计确诊病例拟合效果图 图1中，离散点为北京2003年4月20日6月23日累计确诊病例数，连续的曲线为拟合后的效果图。 利用已得的参数来分析：1.3.1 推测首例发病日期令 i(t)=1 即： 解此方程可得t=-30，即首例发病日期大约在3月20日前。1.3.2 推测发病高峰期 对式（5）求导 （6） 式（6）中 表示日确诊病例增加数 令 ， 得极大值点为 （7） 即发病高峰期在4月底，5月初。图3即为每日确诊人数增长趋势图 t/人 图2 每日确诊人数增长趋势图显然这种建模方式仅仅是用已有的传染病模型去拟合函数，并没
5、有考虑到北京等地疫情的实际情况，因为在疫情发展过程中，政府和医疗部门的防控措施所起的效果并非得以体现。1.4 改进后的传染病传播模型及其求解现在考虑政府和医疗部门采取隔离与消毒等措施，引进参数 防控因子，它指政府和医疗部门采取隔离与消毒等措施，而使传染强度 减少的比率，即 此时，SARS传播模型改进为： （8） 可得： （9）当 时，说明政府和医疗部门并未采取任何相关防范措施；当 时，说明政府和医疗部门防控措施非常严格；当 ，说明政府和医疗部门的防控措施介于两个极端之间。1.4.1 在t=0处开始采取防控措施为了计算方便，这里把资料中所给的北京4月以来的累计确诊病例看作为 时的数据，当然实际的
6、 不是0，而是介于 的一个数；之所以作此假设，仅仅是为了便于计算，因为主要是想分析政府及医疗部门防控措施对 值的影响，即这些防控因素可否量化问题。即使 ，也可以将 的具体值 代入 的解析式，将其与已给曲线相拟合，从而求出 和 ，再在 值的基础上进行 变动，求出对 的影响范围。显然当 时，所得的 和 的值与不考虑防控因子 的SARS传播模型相符。为了得出不同 值时，以下取 的步长为 =0.1，且 0，1，求出 在 处的值。所求出的数据如表1所示：表1 不同 值下的 值 0 339 1344 2245 2497 2515 2520 25200.1 339 1210 2132 2445 2508 2
7、518 25200.2 339 1086 1983 2388 2492 2515 25190.3 339 966 1797 2290 2459 2505 25170.4 339 851 1577 2132 2388 2479 25080.5 339 743 1334 1895 2245 2411 24790.6 339 643 1086 1577 1983 2245 23880.7 339 553 851 1210 1577 1895 21320.8 339 472 643 851 1086 1334 15770.9 339 401 472 553 643 743 8511 339 339 3
8、39 339 339 339 339 同时也可以计算出对峰值的预测结果，如表2所示：表2 峰值到达时间和高峰期每日新增确诊病例值 到达峰值时的t 高峰期每日新增确诊病例 0 9 1250.1 10 1120.2 11 990.3 13 87.30.4 14 750.5 16 750.6 19 62.40.7 24 500.8 32 37.50.9 48 251 64 12.5 i*(t0+d) =0 t0 t0+d i(t0) i(t0+d) = 1 t/人 i(t) 1.4.2 在t0处开始采取防控措施 图3 从t0时刻开始加强控制措施的效果图在1.2中所建的模型就是 =0时的特例。现在考虑
9、在 处开始采取防控措施：从t点开始按1.3.1中所讨论的情形来分析， ,那么，模型应改为： （10）下面要求出t0时刻采取隔离措施 和在t0+d时刻开始采取隔离措施之间的差值，也就是提前或推迟d天采取隔离措施产生的效果。假设在t0点或t0+d点改变隔离强度，使0变为1，这对t*点( ，即在t0+d点之后的某一点)累计患病人数的影响值为： （11）注：当防控因子由0变为1时，在t0点采取隔离措施相当于在原点由(1-0)的基础上再乘以一个（1- ）， 为新的防控因子；在t0+d点也类似。很明显，若在t0+d点采取隔离措施强度不是1而是2，只需将上式中的(1-1)改为(1-2)即可。下面分别以为0.
10、9和0.8的情况下，计算出t0为5,15,25时的隔离效果，见表4。表4 不同时期开始隔离的隔离效果（单位：人）=0.9 =0.8 t0(天) d=1 d=2 d=3 d=4 d=5 d=1 d=2 d=3 d=4 d=5 5 98 102 312 425 539 87 181 279 381 484 15 80 149 209 261 304 69 131 183 226 261 25 17 30 42 51 58 15 27 37 44 49 从表4中可以看出，早隔离比晚隔离好，隔离强度越大越好，与实际情况相符合。2 对 值如何确定的思考模型求解步骤中留下这么一个问题，无论是求 还是 都需
11、要知道 值。 是防控因子，与政府和医疗部门及社会公众的防范控制措施有关，它不是单一因素，而是多因素的综合，包括隔离、消毒、医药预防、减少公共场合开放时间以及公众自我防范意识的增强等。可以认为 值可以通过模糊统计得到，这种统计所得的 值只是反映了政府及医疗部门推行政策平缓期（即在此期间防控政策变化不大）的防范效果。2.1 值的计算由于采用模糊统计方法得到 值所需样本必须足够大4，才能保证 值的准确性，这里采用了直接使用已有隶属函数的方法。设论域 ，模糊集 表示非典疫情得到有效控制，假设非典得到控制的程度与 有关，即 是 的隶属函数4，则有： （12）式（12）中： 指每日新增病例数，若 值很小，
12、则 ；即当每日新增病例数小于等于 时才可以说非典疫情得到有效控制。 为常数，符合降半 分布 引入此隶属函数 的目的在于确定 值，因为由上述假设可知 。我们提供了一种粗糙的算法。计算框图见图4。给定 先估计 值（初始值） 解得 满意否 当 变动时，解 否 是 图4 确定 值的计算框图SARS疫情从初始到高峰期，每日得病人数不一样，自4月20日起，开始一段时间 i(t+1)-i(t) 较大，而后逐渐有降低趋势。为了得到一般性要求，我们就要取从疫情初始发展到高峰期那段时间中平均的每日得病人数，即 （m即到达高峰期的前一天，对北京疫区而言，系指5月30日，也即m=41）；a的值我们不妨设为2（当然依据
13、社会的关注程度可以进行调动）； 值事先需要估计，即先定义其初始值，通过 解得k，再根据u的变化，解得 的状况值。2.2 两点讨论 在2.1中所给出的 算法不适应计算当期的 ，因为当期的高峰期到达的时间不知道，如果只根据已有的每日新增病例数，通过求平均值得到u，这就使得u丧失对整个当期每日新增病例数一般性的描绘，进而使 值不准确。但是政府和医疗部门可以通过事后计算出 值，用以评价和界定在“非典”期间所采取的防控措施的力度，当下一次疫情来临时，就有了评比的基准，可以很好的衡量 对N(t)的影响。 另外在2.1中也同时给出了k的算法，同样k也不适宜计算当期 的值，原因同上。但同样事后算得的k对下一次
14、疫情的预控能起到积极意义。因为如果当下一次疫情来临时 不变， 不变，则u即从初期到高峰期平均每日得病人数就可以预知，而当a变动时，通过就可以推出改变防控因子对下一次疫情平均每日得病人数的影响。并且由前可知，当a确定时，下期的发病高峰期到达的时间就会被知道，用u乘以这段时间就能得到下次疫情总共得病人数，进而将此数据与用 得到的得病总人数相检验。参考文献： 1陈义华.数学模型.重庆：重庆大学出版社.1995 2美D.尤金. Mathematica使用指南.北京：科学出版社.20013殷祚云. Logistic曲线拟合方法研究.数理统计与管理.P41-46 20024刘普寅、吴孟达.模糊理论及其应用
15、.长沙：国防科技大学出版社.1998the Spread Model and Analysis of Tendency on SARSShi Peijian 1 Xu Duolin 1 Shui Shengjian 2(1 Department of Economics and Management; 2 Department of Communication Engineering)Abstract： This thesis focuses on discussing the spread of SARS.We found and analyze a traditional contagio
16、us disease model, and then lead (named the anti-epidemic factor) into the model. So it is feasible to quantify the active effect of the isolation measure government and public sanity had taken. Meanwhile there is a question about how to define the value of are discussed in the following text. In usi
17、ng Misty Mathematics, we find a theoretical way to calculate the value. key words SARS; anti-epidemic factor; membership function the Spread Model and Analysis of Tendency on SARS1Editors note: Judson Jones is a meteorologist, journalist and photographer. He has freelanced with CNN for four years, c
18、overing severe weather from tornadoes to typhoons. Follow him on Twitter: jnjonesjr (CNN) - I will always wonder what it was like to huddle around a shortwave radio and through the crackling static from space hear the faint beeps of the worlds first satellite - Sputnik. I also missed watching Neil A
19、rmstrong step foot on the moon and the first space shuttle take off for the stars. Those events were way before my time.As a kid, I was fascinated with what goes on in the sky, and when NASA pulled the plug on the shuttle program I was heartbroken. Yet the privatized space race has renewed my childh
20、ood dreams to reach for the stars.As a meteorologist, Ive still seen many important weather and space events, but right now, if you were sitting next to me, youd hear my foot tapping rapidly under my desk. Im anxious for the next one: a space capsule hanging from a crane in the New Mexico desert.Its
21、 like the set for a George Lucas movie floating to the edge of space.You and I will have the chance to watch a man take a leap into an unimaginable free fall from the edge of space - live.The (lack of) air up there Watch man jump from 96,000 feet Tuesday, I sat at work glued to the live stream of th
22、e Red Bull Stratos Mission. I watched the balloons positioned at different altitudes in the sky to test the winds, knowing that if they would just line up in a vertical straight line we would be go for launch.I feel this mission was created for me because I am also a journalist and a photographer, b
23、ut above all I live for taking a leap of faith - the feeling of pushing the envelope into uncharted territory.The guy who is going to do this, Felix Baumgartner, must have that same feeling, at a level I will never reach. However, it did not stop me from feeling his pain when a gust of swirling wind
24、 kicked up and twisted the partially filled balloon that would take him to the upper end of our atmosphere. As soon as the 40-acre balloon, with skin no thicker than a dry cleaning bag, scraped the ground I knew it was over.How claustrophobia almost grounded supersonic skydiverWith each twist, you c
25、ould see the wrinkles of disappointment on the face of the current record holder and capcom (capsule communications), Col. Joe Kittinger. He hung his head low in mission control as he told Baumgartner the disappointing news: Mission aborted.The supersonic descent could happen as early as Sunday.The
26、weather plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. The balloon, with capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the troposphere) where
27、 our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. As he crosses the boundary layer (called the tropopause), he c
28、an expect a lot of turbulence.The balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet (22.7 miles/36.53 kilometers). Here, Fearless Felix will unclip. He will roll back the door.Then, I would assume, he will slowly step out onto something resembling an Olympic diving platform.Below, the E
29、arth becomes the concrete bottom of a swimming pool that he wants to land on, but not too hard. Still, hell be traveling fast, so despite the distance, it will not be like diving into the deep end of a pool. It will be like he is diving into the shallow end.Skydiver preps for the big jumpWhen he jum
30、ps, he is expected to reach the speed of sound - 690 mph (1,110 kph) - in less than 40 seconds. Like hitting the top of the water, he will begin to slow as he approaches the more dense air closer to Earth. But this will not be enough to stop him completely.If he goes too fast or spins out of control
31、, he has a stabilization parachute that can be deployed to slow him down. His team hopes its not needed. Instead, he plans to deploy his 270-square-foot (25-square-meter) main chute at an altitude of around 5,000 feet (1,524 meters).In order to deploy this chute successfully, he will have to slow to
32、 172 mph (277 kph). He will have a reserve parachute that will open automatically if he loses consciousness at mach speeds.Even if everything goes as planned, it wont. Baumgartner still will free fall at a speed that would cause you and me to pass out, and no parachute is guaranteed to work higher t
33、han 25,000 feet (7,620 meters).It might not be the moon, but Kittinger free fell from 102,800 feet in 1960 - at the dawn of an infamous space race that captured the hearts of many. Baumgartner will attempt to break that record, a feat that boggles the mind. This is one of those monumental moments I will always remember, because there is no way Id miss this.
