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1、2019年宜昌市近五届中考数学抛物线压轴题（24题）汇编及答案（本大题一般3小问，共12分）上传校勘:柯老师【2014/24】如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0t4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c（1）填空：AOB BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0， ）；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线
2、开口向上，对称轴是直线x=2，顶点随着的增大向上移动时，求t的取值范围【2015/24】如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把ADC绕点C逆时针旋转90得ADC，连接ED，抛物线y=ax2+bx+n（a0）过E，A两点（1）填空：AOB= ，用m表示点A的坐标：A（ ， ）；（2）当抛物线的顶点为A，抛物线与线段AB交于点P，且=时，DOE与ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MNy轴，垂足为N：求a
3、，b，m满足的关系式；当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围【2016/24】已知抛物线y=x2+（2m+1）x+m（m3）（m为常数，1m4）A（m1，y1），B（，y2），C（m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90得到直线a，过抛物线顶点P作PHa于H（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）若无论m取何值，抛物线与直线y=xkm（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；（3）当1PH6时，试比较y1，y2，y3之间的大小备用图备用图【2017/24】24.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中，
4、且.（1） 直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2） 证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第三象限；（3） 直线 y=x+m与x，y轴分别相交于两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与轴相交于,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点,使得与相似.并且，求此时抛物线的表达式.【2018/24】24.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为,.过点的双曲线与矩形的边交于点.(1)填空：_,_,点的坐标为_；(2)当时，经过点与点的直线交轴于点，点是过两点的抛物线的顶点.当点在双曲线上时，求证：直线与双曲线没有公共点；当
5、抛物线与矩形有且只有三个公共点，求的值；当点和点随着的变化同时向上运动时，求的取值范围，并求在运动过程中直线在四边形中扫过的面积.参考答案：【2014/24】解：（1）如图，DNA=AOB=90，NAD=OBA（同角的余角相等）在AOB与DNA中，AOBDNA（SAS）同理DNABMC点P（0，4），AP=t，OA=OPAP=4t故答案是：DNA或DPA；4t；（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=4tAOBBMC，CM=OB=t，OM=OB+BM=t+4t=4，C（4，t）又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C，解得 b=t4a；（3）当t=1时，抛物线为y=ax2+（4a）x，NA=OB
6、=1，OA=3AOBDNA，DN=OA=3，D（3，4），直线OD为：y=x联立方程组，得，消去y，得ax2+（4a）x=0，解得 x=0或x=4+，所以，抛物线与直线OD总有两个交点讨论：当a0时，4+3，只有交点O，所以a0符合题意；当a0时，若4+3，则a又a0所以 a若4+0，则得a又a0，所以a0综上所述，a的取值范围是a0或a或a0（4）抛物线为y=ax2+（4a）x，则顶点坐标是（，（t16a）2）又对称轴是直线x=+2=2，a=t2，顶点坐标为：（2，（14t）2），即（2，（t）2）抛物线开口向上，且随着t的增大，抛物线的顶点向上移动，只与顶点坐标有关，t的取值范围为：0t【
7、2015/24】解：（1）B（2m，0），C（3m，0），OB=2m，OC=3m，即BC=m，AB=2BC，AB=2m=0B，ABO=90，ABO为等腰直角三角形，AOB=45，由旋转的性质得：OD=DA=m，即A（m，m）；故答案为：45；m，m；（2）DOEABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），=，P（2m，m），A为抛物线的顶点，设抛物线解析式为y=a（xm）2m，抛物线过点E（0，n），n=a（0m）2m，即m=2n，OE：OD=BC：AB=1：2，EOD=ABC=90，DOEABC；（3）当点E与点O重合时，E（0，0），抛物线y=ax2+bx+c过点E，A，
8、整理得：am+b=1，即b=1am；抛物线与四边形ABCD有公共点，抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，a（3m）2（1+am）3m=0，整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2x，由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，联立抛物线与直线OA解析式得：，解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），令5m=10，即m=2，当m=2时，a=；若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2（1+am）2m=2m，解得：am=2，m=2，a=1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为a1【2016/24】解：（1）=， =，顶
9、点坐标（，）（2）由消去y得x2+2mx+（m2+km3m）=0，抛物线与x轴有且仅有一个公共点，=0，即（k3）m=0，无论m取何值，方程总是成立，k3=0，k=3，（3）PH=|（）|=|，1PH6，当0时，有16，又1m4，m，当0时，16，又1m4，1，1m或m，A（m1，y1）在抛物线上，y1=（m1）2+（2m+1）（m1）+m（m+3）=4m，C（m，y3）在抛物线上，y3=（m）2+（2m+1）（m）+m（m3）=4m，y1=y3，令m1，则有m，结合1m，1m，此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，y2y1=y3，即当1m时，有y2y1=y3令=m1，则A与B重合，
10、此情形不合题意，舍弃令m1，且时，有m，结合1m，m，此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，y1=y3y2，即当m时，有y1=y3y2，令m，有m0，结合1m，m，此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，y2y3=y1令=m，B，C重合，不合题意舍弃令m，有m0，结合m，m，此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，y2y3=y1，即当m时，有y2y3=y1，综上所述，1m或m时，有y2y1=y3，m时，有y2y1=y3【2017/24】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c，a+b+c=0，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；（2）证明：2a=
11、b，对称轴x=1，把b=2a代入a+b+c=0中得：c=3a，a0，c0，=b24ac0，0，则顶点A（1，）在第三象限；（3）由b=2a，c=3a，得到x=，解得：x1=3，x2=1，二次函数解析式为y=ax2+2ax3a，直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，BOC是以BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=1的夹角BAE=45，点F在对称轴左侧的抛物线上，则DAF45，此时ADF与BOC相似，顶点A只可能对应BOC的直角顶点O，即ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=1，设对称轴x=1与OF交于点G，直线y=x+m过顶
12、点A（1，4a），m=14a，直线解析式为y=x+14a，联立得：，解得：或，这里（1，4a）为顶点A，（1，4a）为点D坐标，点D到对称轴x=1的距离为1（1）=，AE=|4a|=4a，SADE=4a=2，即它的面积为定值，这时等腰直角ADF的面积为1，底边DF=2，而x=1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由1=0，解得：a=1，此时抛物线解析式为y=x2+2x3【2018/24】24.解：(1)填空：，点的坐标为；(2)设直线由题意得解得直线抛物线过点解得抛物线顶点顶点在双曲线上 此时直线联立，得直线与双曲线没有公共点当抛物线过点，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，则当顶点在线段上，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，则，或点的坐标为，当时，随着的增大而增大，此时，当时，随着的增大，点在直线上向上运动.又点的坐标为当时，随着的增大而增大，此时当时，随着的增大而增大，点在轴上向上运动.当时，直线与轴交于，与轴交于当时，直线过点，当时，直线在四边形中扫过的面积为
