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1、2020中考数学 几何压轴题汇编：三角形与平行四边形（含答案）1. 如图，设E、F分别为正方形ABCD边BC、CD上的点，且EAF45，过E、F分别作AC的垂线，垂足分别为P、Q.(1)试找出图中相似三角形(至少3对，全等除外)；(2)求证：AB2APAQ；(3) 设正方形的边长为4，当P、Q重合时，求BE的长第1题图(1)解：图中相似三角形有：ABCCQF，EPCADC，CPECQF，CQFADC，ABEAQF，APEADF等(写出任意3对，即可得分)(2)证明：BAEEAPEAPQAF45， BAEQAF.在ABE与AQF中，ABEAQF，.同理，在AEP与AFD中，AEPAFD.，ABA
2、D，AB2APAQ.(3)解：如解图，当P、Q重合时，EPCFQC90，E、P、F在同一直线上ECPFCQ45，EPFQ，在AEP和AFP中，AEPAFP(SAS)，EAP4522.5，BAE45EAP22.5，AEBAEP(AAS)，EBEP，ABAP4，四边形ABCD为正方形，ACB45，AC4，又EPPC，BEPCACAP44.第1题解图2. 已知：在ABC中，ABCACB，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转与过点A且平行于BC边的直线交于点E.(1)如图，当60时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；(2)如图，当45时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明
3、；(3)如图，当为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明(用含的式子表示，其中090)第2题图解： (1)BDAE；【解法提示】如解图，连接EC，当60时，ABC、DCE均为等边三角形，ECDC，ACBC，ACBDCE60，ACBACDDCEACD，即BCDACE，在BCD和ACE中，BCDACE(SAS)，BDAE；第2题解图(2)BDAE；证明：如解图，过点D作DFAC，交BC于点F. 第2题解图DFAC，ACBDFB，ABCACB，45，ABCACBDFB45.DFB是等腰直角三角形，BDDFBF.AEBC，ABCBAE180，DFBDFC180，BAE
4、DFC，ABCBCDADC，CDEADEADC，ABCCDE，ADEBCD，ADEFCD，.DFAC，BDDFAE；(3)补全图形如解图，BD2cosAE.第2题解图证明：连接EC，设AC与DE交于点O，AEBC，EACACB， 又EDC，EACEDC，AOEDOC，AOEDOC，AODEOC，AODEOC，12，又11803(A、D、B三点共线)，41803(三角形内角和为180)，14，214.又EACABC，BDCAEC，又2cos，BD2 cosAE.3. 在ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得 AEDE，DE交AC于点G，过点D作DFAC，交直线BC
5、于点F，EACDEF.(1)如图，当点E在BC的延长线上，求证：EGCAEC；(2)如图，当点E在BC的延长线上，D为AB的中点，若DF3，求BE的长度；(3)当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图所示，若CE10，5EG2DE，求AG的长度 第3题图(1)证明：DFAC，DFEACE.在ACE和EFD中，ACEEFD(AAS)，AECEDF.DFAC，EGCEDF，EGCAEC；(2)解：DFAC，BDFBAC，.D为AB的中点，BFBC，DFAC.BFCF，AC2DF6，由(1)可知ACEEFD，ACEF6，CEFD3.BFFCEFCE3，BEBFFE9；(3)解：DFAC，ACEE
6、FD.在ACE和EFD中， ，ACEEFD(AAS)，CEFD10，ACEF.DFAC，DEFGEC，.5EG2DE，CEFD10，EF25，GC4，AGACGCEFGC25421.4. (1)如图，在ABC中，A90，B30，点D，E分别在AB，BC上，且CDE90，EFAB于点F，BE2AD，求证：DECD；(2)如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D在BC上，连接AD，E为AD上一点，过点E作BC的平行线分别交AB，AC于点F，G，连接BE，CE，若BEC135，求证：BFEEGC；(3)在(2)的条件下，若BD2DC，求的值. 第4题图(1)证明：由题意可得，BFEDFE90AC
7、DE，ADCEDFFEDEDF1809090，ADCFED.BFE90，B30，BE2FE.BE2AD，FEAD，在FED和ADC中，FEDADC(ASA)，DECD；(2)证明：ABAC，BAC90，ABCACB45，FGBC，AFGABCACBAGF45，BFEEGC135BEC，AFAG，BFGC，GECBECGEBBFEFBE，FBEGEC，BFEEGC；(3)解：由(2)知，BFEEGC，FGBC，AFEABD，AEGADC，BD2DC，FE2EG，又，BFGC，.5. 在矩形ABCD中，AD4，M是AD的中点，点E是线段AB 上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.(1)
8、如图，求证：AEMDFM；(2)如图，若AB2，过点M作MGEF交线段BC于点G，求证：GEF是等腰直角三角形；(3)如图，若AB2，过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G，求的值. 第5题图(1)证明ABCD是矩形，EAMFDM90，M是AD的中点，AMDM，在AME和DMF中，AMEDMF(ASA)；(2)证明：过点G作GHAD于H，如解图，ABAHG90，四边形ABGH是矩形GHAB2，M是AD的中点，AMAD2，AMGH，MGEF，GME90AMEGMH90.AMEAEM90，AEMGMH，在AEM和HMG中，AEMHMG，MEMG，EGM45，由(1)得AEMDFM，MEMF，MG
9、EF，GEGF，EGF2EGM90，GEF是等腰直角三角形第5题解图(3)解：过点G作GHAD交AD延长线于点H，如解图，ABAHG90，四边形ABGH是矩形，GHAB2，MGEF，GME90，AMEGMH90，AMEAEM90，AEMGMH，又AGHM90，AEMHMG，在RtGME中，tanMEG.第5题解图6. 已知D是ABC的BC边上的中点，DEAB于点E、DFAC于点F，且BECF，点M、N分别是AE、DE上的点，ANFM于点G.(1)如图，当BAC90时；求证：四边形AEDF是正方形；试问AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量关系相同吗？请证明你的结论；(2)如图
10、，当AFDF21时，求ANFM的值第6题图(1)证明：BAC90，AEDAFD90，四边形AEDF是矩形，BDDC，DEBDFC90，BECF，RtBEDRtCFD(HL)，DEDF，矩形AEDF是正方形；解：AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两条对角线的数量关系相同；理由：在正方形AEDF中，AFAE，又ANFM于G，AMFANE，AENMAF90，RtAENRtFAM(AAS)，ANFM，又正方形AEDF的对角线相等，AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量关系相同；(2)解：如解图，连接AD、EF，且AD与EF相交于点O，设AF2k，DFk，在RtADF中，ADk
11、，RtBEDRtCFD(HL)，BC，DEDF，ABAC，AEAF，AD垂直平分EF，则OFEF，DFAC于点F，kOF2kk，OFk，EFk，又NEMMGN90，GMEENGDNGENG180，AEOEAOADEEAD180，EMFDNA，AEONDA，FMEAND，.第6题解图7. 已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BFAE于点G，交CD于点F.第7题图(1)如图，连接AF，若AB4，BE1，求AF的长；(2)如图，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分AGF；(3)如图，在第(2)问的条件下，连接CG，若CGGO，求证：
12、AGCG.(1)解：四边形ABCD是正方形，BCCDADAB4，ABECD90，ABGCBF90，BFAE，ABGBAE90，BAECBF，在BCF和ABE中，BCFABE(ASA)，CFBE1，DFCDCF3，AF5；(2)证明：ACBD，BFAE，AOBAGBAGF90，A、B、G、O四点共圆，AGOABO45，FGO904545AGO，GO平分AGF；(3)证明：连接EF，如解图所示：CGGO，OGC90，EGFBCD90，EGFBCD180，C、E、G、F四点共圆，EFCEGC180904545，CEF是等腰直角三角形，CECF，同(1)得：BCFABE，CFBE，CEBE BC，OA
13、 AC BC CE，由(1)得：A、B、G、O四点共圆，BOGBAE，GEC90BAE，GOA90BOG，GOAGEC，又EGCAGO45，AOGCEG， ，AG CG.第7题解图8. 已知点E在ABC内，ABCEBD，ACBEDB60，AEB150，BEC90.(1)如图，当60，求证：ABECBD；(2)在(1)的条件下，连接CD，若AE1，试求BD的长；(3)如图，当90时，请写出的值第8题图(1)证明：如解图，连接DC，ABCACB60，ABC是等边三角形同理EBD也是等边三角形，ABBC，BEBD，ABE60EBCCBD，在ABE与CBD中，ABECBD；第8题解图(2)证明：ABE
14、CBD，AECD，AEBCDB150，EDC150BDE90，CEDBECBED906030.在RtEDC中，tan30，BDAE；(3)解：如解图，连接DC，ABCEBD90，ACBEDB60，ABCEBD，即，又ABE90EBCCBD，ABECBD，AEBCDB150，EDC150BDE90，CEDBECBED90(90BDE)60，设BDx，则在RtEBD中，DE2x，BEx，在RtEDC中，CDDEtan602x，AE6x6BD，即.第8题解图9. 在锐角ABC中，AB6，BC11，ACB30，将ABC绕点B逆时针旋转，得到A1BC1. (1)如图，当点C1在线段CA的延长线上时，CC
15、1A1_；(2)如图，连接AA1，CC1. 若ABA1的面积为24，求CBC1的面积；(3)如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B逆时针旋转过程中，点P的对应点是P1，求在旋转过程中，线段EP1长度的最大值与最小值的差. 第9题图(1)解：60；【解法提示】由旋转得：A1C1BC30，BCBC1，CBC1C30，CC1A160.(2)解：ABCA1BC1，BABA1，BCBC1，ABCA1BC1，ABA1CBC1，ABA1CBC1，()2()2，SABA124，SCBC1；(3)解：如解图，过点B作BDAC，D为垂足，ABC为锐角三角形，点D在线段AC上，在RtBCD
16、中，BDBCsin305.5，以B为圆心，BD长为半径画圆交AB于点P1，BP1有最小值BP1. EP1的最小值为5.532.5，以B为圆心，BC长为半径画圆交AB的延长线于点P1，BP1有最大值BP1. 此时EP1的最大值为11314，线段EP1的最大值与最小值的差为142.511.5.第9题解图10. 如图，在ABC中，ABC45，ADBC于点D，BEAC于点E，BE与AD相交于F.过F作FGBE，过A作AGAB，AG与FG相交于G.(1)如图，若AC5，DF3，求AB的长；(2)证明：BFG是等腰直角三角形；(3)如图，当BD2CD时，连接CF并延长，分别交AB，BG于点H，I，求的值第
17、10题图(1)解：在ABD中，ABD45，ADBC，BADABD45，BDAD，BEAC于E，AEBBDA90，AFEBFD，FAEFBD，在BFD和ACD中，BFDACD，BFAC5，在RtBDF中，由勾股定理得BD4，在RtABD中，AB4；第10题解图(2)如解图，过F作FPBC交AB于点P，则AFPADB90，APFABD45，BAD45，FPAFAP，PFAF.BFG90，AFPBFG，AFGGFPGFPPFB，AFGPFB，设FG交AB于Q，GABGFB90，AQGFQB，AGQFBQ，在AFG和PFB中，AFGPFB(AAS)，GFBF，BFGF，BFG是等腰直角三角形；(3)解：三角形的三条高交于一点，ADBC，BEAC，CHAB，ABD45，BHCH.BD2CD，设CDm，则BC3m，BHCHm，在RtABD中，BDAD2m，AB2m，AHABBH2mmm.由(2)知BFG是等腰直角三角形，GBF45ABD，IBHEBC，BHIBDF90，BIHBFD，即，解得HIm，.
