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1、 武汉理工大学毕业设计（论文）基于Peridynamic方法的复合材料界面力学行为研究学院（系）： 理学院 专业班级：工程力学专业1003班 学生姓名： xxx 指导教师： xxx 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。
2、本人授权省级优秀学士论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密囗，在 年解密后适用本授权书2、不保密囗 。（请在以上相应方框内打“”）作者签名： 年 月 日导师签名： 年 月 日摘要Peridynamic即近场动力学，是一种新型的固体力学理论，它基于基于积分-微分方程，基于近场动力学方法可以有效地模拟包含界面、缺陷、裂纹等材料内不连续的结构。它假设材料中的质点在有限距离内存在连续的相互作用，损伤体现在材料点之间是否存在相互作用上，所以材料的局部裂纹可以被认为是运动方程和本构关系的产物。本文首先简要
3、介绍了近场动力学的基本理论，国内外的研究现状和其数值方法。随后，本课题中采用近场动力学方法研究铝-氧化铝复合材料界面的力学行为。通过编写PD程序来建立材料模型，荷载条件为单向均匀拉伸。对材料从开始加载到一定时间步时材料的进行研究和讨论，并与有限单元法结果相对比，以验证使用PD方法来模拟复合材料在受力过程中产生应力与变形的正确性。本文方法能够揭示复合材料在受单向拉伸荷载发生渐进破坏过程中的变形特征，对分析和研究复合材料界面的力学行为具有一定帮助。关键词：近场动力学 复合材料 运动方程 本构方程 AbstractPeridynamic is a new type of theory in soli
4、d mechanics, which based on the equation of integral-differential equations. According to Peridynamic we can simulate the structures which is discontinuous inside the material, such as the structures contains interface, defects, cracks effectively. It assumes the existence of the continuous interact
5、ion between the material particles in the limited distance in material, which material damage can be reflected in it. Consequently, local crack of the material can be considered as an outcome of the equation of motion and the constitutive relation.At the beginning of this paper, the basic theories,
6、research status at home and abroad and numerical methods of Peridynamic were briefly introduced.Later, I use the methods in Peridynamic to study on the mechanical behavior of the interface of aluminum-alumina composite material. I build the model by programming, with the load condition of simple iso
7、tropic expansion. I study and discuss the relationship between stress and strain within a certain time step, then make a comparison with the experiment in practice to prove the validity of using PD method to simulate the stress and deformation of composite materials.The method used in this paper sho
8、ws the procedure of deformation with the load condition of uniaxial tension. It is a method that makes a difference for the mechanical behavior of the interface of composite material.Key Words: Peridynamic Composite Materials Equation of Motion Constitutive Relation 目录第1章 绪论11.1研究背景及意义11.2国内外PD方法的研究
9、现状21.2.1 国内研究现状21.2.2 国外研究现状21.3 本文的主要研究工作41.4 本章小结5第2章 近场动力学理论基础及数值方法62.1 近场动力学方法介绍62.2 本构模型92.3 数值计算方法112.4 本章小结12第3章 近场动力学程序设计13第4章 近场动力学模型的建立及计算144.1 材料模型的建立144.2 模型中质点间力函数的构造144.2.1 微模量154.2.2 临界伸长率164.2.3 表面修正系数164.3 本章小结18第5章 矩形单层无厚度板分析195.1 计算模型195.2 基于近场动力学方法的计算结果195.3 基于有限单元法的计算结果215.4 本章小
10、结24第6章 总结与讨论256.1 主要工作总结256.2 研究展望25参考文献26致谢28第1章 绪论目前，复合材料广泛地应用于土木，机械，水利，化工以及航空航天等工程领域。纤维增强材料，热电材料，以及各种合金材料等正逐渐取代单一材料，成为各类结构的主要承重材料。伴随着复合材料应用范围的不断扩大，国内外的学者也在不断提出和改善研究方法，其中有限单元法的应用最为广泛并且取得了许多重要的成果，然而其理论基础对于研究复合材料中不连续问题存在一定局限性。本文基于近年来新兴的固体力学理论近场动力学（Peridynamic Theory）,对复合材料界面的力学行为进行研究。1.1研究背景及意义随着力学学
11、科和计算技术的快速发展，用力学模型和数值方法模拟复合材料渐进破坏的全过程逐渐成为一种越来越重要的研究手段。但是传统的有限元法（Finite Element Method,FEM），有限差分法(Finite Difference Method,FDM)等宏观方法假设物体在变形处是连续的，它们依赖于空间微分方程，在微缺陷（裂纹和孔洞）的演化，宏观裂纹的萌生和发展以及裂纹间相互作用等方面一直存在模型科学性，计算精度和效率等方面的困难。同时，传统的有限单元法在求解不连续问题是常常需要借助一些附加的材料失效准则、应力强度因子、裂纹扩展规律等。例如有限单元法在分析某些裂纹扩展时，需借助应力强度因子来判断裂
12、纹是或会扩散及其扩展的方向，并在下一个荷载步时重新划分网格。为了解决这些难题，美国Sandia 国家实验室的Silling在2000年提出了PD方法。近场动力学（Peridynamics,PD）是一种新兴的基于非局部作用思想建立模型，并通过求解空间积分方程来描述物质力学行为的方法。它不再基于连续性假设建模和通过空间微分方程求解力学问题，而是将固体离散为空间域内一系列包含所有物理信息的材料点（material point）,从而避免了传统宏观方法在面临不连续问题时的奇异性，又突破了经典分子动力学方法在计算尺度上的局限。因此，在使用近场动力学模型模拟裂纹生长时不再需要传统方法中确定裂纹初始条件，增
13、长速度，方向等的补充方程。近场动力学模型在某些特殊的情况下的应用使之更加引人瞩目，譬如在研究纳米级的长程力（分子间作用力和表面力）时，可以把他们作为本构方程的产物。这是由于近场动力学模型与传统认为物体的内力是有与接触引起的传统理论相比，将质点间所有的相互作用力认为是在有限距离内连续的,即构型中任意质点与有线距离内其余质点之间通过“键”的方式产生相互作用。在近场动力学模型中，用大量的“键”来描述物体的参考构型，在材料发生损伤的过程中，“键”发生不可逆的断裂，从而影响质点间的相互作用。通过计算每一时间步材料模型中的“键”是否断裂，可以模拟材料渐进破坏的全过程。“键”这一概念的构建是近场动力学分析中
14、的重要内容，“键”所对应的力函数包含了材料所有的本构信息，因此PD方法不需要借助补充的控制方程来帮助求解，其基本的运动方程就可以描述结构的变形，损伤的产生和发展，最终的破坏形式，并能够细致描述复杂的损伤扩展路径。为了将PD理论更广泛地应用于实际工程，为材料的损伤预测和破坏分析提供可靠分析，用模拟复合材料从加载到破坏的完整过程是很有必要的。将单层复合材料为研究对象，以PD方法为理论基础进行研究，编写一套PD程序，该程序可以用于模拟单层复合材料渐进破坏的全过程，为复合材料界面力学行为研究提供指导。1.2国内外PD方法的研究现状近场动力学是一门新兴的力学方法，其理论框架和实际应用的范围也在国内外研究
15、学者的推动下不断完善。但就目前来说，基于这一理论的研究主要集中在国外。1.2.1 国内研究现状就目前来说，国内在近场动力学理论和应用方面的研究都还处于起步阶段。国内学者对PD方法的研究初始于黄丹等人在2010年对近场动力学进行综述性的讨论。在此之后，Huang等人基于PD方法提出了钢混结构模型，并分析了再轴向的拉压荷载下，矩形钢混板得渐进损伤过程。1.2.2 国外研究现状Silling在经过推导和严格的数学证明后，于2000年首先阐述了近场动力学的基本思想，详细地讨论和证明了近场动力学中的各向同性、线性化、弹性及PD理论与传统理论的联系，并用PD方法模拟和分析了反平面剪切的裂纹扩展问题。再将计
16、算结果与传统有限元法的结果比较后，他证明了用PD方法计算裂纹尖端处的应力场不存在奇异性,并第一次构建了适用于各向同性微弹性的力函数：， （1.1）为了将近场动力学理论与基于局部作用思想的传统连续介质力学理论相联系，也为了是PD理论的应用更加方便，Silling，Zimmermann，Weckner和Lehoucq等人将传统理论中的力学量引入到PD理论中，并结合实际对一些传统力学性能参数已知的材料实例用PD模型参数来等价描述进行了推导，分析和验证。由于PD理论中没有用传统的应力-应变关系来描述材料物性，Silling在研究PD基本理论时，提出了与传统应力概念类似的PD“面力密度”概念。近场动力学
17、理论应用于多个固体力学领域。对于材料存在不连续的问题，Silling证明了PD方法可以用于分析不同的裂纹模型以及裂纹发展模式，且不需要借助任何特殊的数学工具或方法。另外，他也通过计算结果的对比，证明了用PD方法研究大尺度力学行为时，其结果与传统线性理论非常接近，而在一些小尺度问题，例如裂纹扩展问题上，PD方法提出力函数F的概念，它包含了材料所有的本构信息，使研究变得更加方便。在杆件的变形研究中，Silling等人用近场动力学弹性公式对其进行模拟，并用Fredholm积分方程和傅里叶变化来进行求解计算。最终他们发现了经典理论中没有发现的结论，及在加载区域外会出现振动衰减和不连续点的弱化。由此可得
18、到近场动力学中圣维南原理的一维形式，其计算结果也收敛于传统理论中短程力的结果。随后，Olaf Weckner等人继续研究了由微弹性材料组成的一维杆的近场动力学响应问题。他们解决了一般初值问题，发现了在长程力作用下会出现运动的分散，且当趋近于短程力的极限时，计算结果收敛于传统线弹性媒介的结果。而最引人注目的观察出现在类似于黎曼问题对应的一个恒定的初始位移场与一个分段常数初始速度场中，即便在一开始，位移场是连续的，它包含了随后所有的跳跃不连续，其拉格朗日位置仍保持不变。在膜和纤维材料的研究中，Silling将PD方法应用于小厚度一维和二维的结构，去模拟二维膜结构的拉伸撕裂过程和一维纤维结构的拉伸、
19、弯曲和破坏，并研究了类似于范德华力的长程力在材料的等效构型中产生的影响，证明了使用PD模型不需要应力密度因子的概念，且PD方法可以用于模拟任意复杂的裂纹路径。复合材料一直以来都是人们研究和分析的热点，若想使用近场动力学来模拟这一问题，验证PD方法研究复合材料的正确性是非常重要的。2011年Wenke Hu, Youn Doh Ha, and Florin Bobaru提出了单向纤维复合薄板的PD公式，并用此模型分析了纤维方向为0的薄板在动力荷载下产生的滑开型裂纹。最终的计算结果表明使用PD方法来模拟单向纤维复合薄板所得到的结果与真实实验所观测到的结果非常匹配，同时他们也发现，当裂纹的界限趋近于
20、0，裂纹发展的最大速度趋近于通过经典理论计算得到的结果。到目前为止，大多数基于近场动力学方法的数值方法都对求解域均匀离散，且PD理论有时会导致网格的密度过大，节点数量过多。这会导致在此类情况下，先不要使用超级计算机来实现其数值方法。为了加快计算速度并节省资源，就需要更合理地划分网格。与有限单元法相似，近场动力学的网格也可以随结构的需要而改变，在裂纹和破坏不可能出现的地方可以将网格密度降低，而在裂纹和破坏易出现的地方将网格密度增大，这一方法在近场动力学中称为自适应网格技术（adaptive grid）。Florin Bobaru使用这一数值离散技术对1D和2D模型进行了分析。为了改变网格的疏密程
21、度，模型中材料点的材料范围也会有所改变，1D，2D情况分别见图1.1和图1.2。随着先进材料的不断发展和应用，用近场动力学方法来研究和分析复合材料的力学行为成为一个重要的研究方向，但目前对复合材料近场动力学研究的文献并不多，使用的计算模型也较为简单。图1.1 (a)和(b)为规则的网格；(c)为自适应网格图1.2 2D模型的自适应网格1.3 本文的主要研究工作复合材料在受拉伸荷载，从而渐进破坏的过程中会产生不连续的问题，例如材料的分层破坏和基底开裂等。而近场动力学方法采用积分形式的运动方程，因此非常适合处理这些不连续问题。在加载变形过程中，模型中的“键”逐个断裂，通过这种方法可以模拟复合材料从
22、开始受力变形，到出现损伤，直至最终破坏的整个过程，而两种材料界面的界面形式不同对其最终的破坏形式也会有所影响。因此，本文基于近场动力学方法，对铝-氧化铝复合材料在在单向拉伸的荷载形式下展开渐进损伤分析。本文在第二章介绍了近场动力学方法的基本理论，包括基本运动方程，质点力函数的构造法方法，即本构模型，以及将这些公式通过程序实现是所需要的数值方法。本文在第三、四章提出了一种铝-氧化铝复合材料的近场动力学分析模型以及近场动力学程序编写的思路。由于本文所研究的复合材料为两种均质的材料，故两种材料各自内部的键不需要考虑“键”的方向，而在两种材料的界面处使用折算后的“键”来描述。此外，本文根据弹性理学和材
23、料力学中的弹性变形理论推导了适用于复合材料建模的近场动力学量，如微模量、临界伸长率等。本文通过第二章和第四章所介绍的分析方法和模型，在第五章中对矩形铝-氧化铝复合材料进行了拉伸变形分析，得到了材料板在加载过程中的变形过程，并将得到的结果与使用有限元方法分析得到的结果进行对比，验证用近场动力学方法模拟此问题的正确性。1.4 本章小结近场动力学方法采用积分方程构建物体基本运动方程，使用键描述材料非局部作用，通过键的逐次断裂模拟材料的渐进破坏过程，能有效解决复合材料破坏分析中不连续问题的求解困难，建立这样一套分析方法对于研究复合材料渐进损伤过程和破坏机理具有非常重要的意义。随后，本章对近场动力学的国
24、内、外研究现状，尤其是针对复合材料领域的研究现状进行了详细的文献综述，并决定从复合材料近场动力学分析模型入手，将其计算结果与传统有限元计算结果进行对比以验证其正确性。本文的主要研究工作包括：1).公式推导，建立矩形铝-氧化铝的近场动力学模型；2).分析和确定复合材料界面的力函数形式及近场动力学参数；3).编写PD程序，用FORTRAN实现对于模型的计算；4).用Paraview后处理，分析不同界面形式对材料变形的影响；5).使用ANSYS计算分析相同的材料模型；6).分析对比两种方法的计算结果。第2章 近场动力学理论基础及数值方法近场动力学（Peridynamics,PD）是一种新兴的基于非局
25、部作用思想建立模型，并通过求解空间积分方程来描述物质力学行为的方法，它能够避免由于对位移场求导而产生在结构不连续处出现奇异解的情况，可以有效地解决在传统方法中对于不连续问题的求解困难。近场动力学构型中质点与在其有限区域内的其他质点通过“键”的方式产生相互作用。在损伤的产生和发展过程中，这些“键”会发生不可逆的断裂，而断裂后的“键”对质点间的相互作用不再产生影响。而“键”的建立取决于材料力函数的确定，对于力函数的合理讨论和分析对计算结果有着关键的作用。2.1 近场动力学方法介绍近场动力学可以被认为是分子动力学的一个连续性描述。时刻，在处任意质点的加速度可以由运动方程计算得到：(2.1)其中为的邻
26、域，是位移向量，是体力密度，是材料的质量密度,F是一对相互作用力函数，它的值即在处的质点与在处的质点的相互作用力大小。我们用表示两个质点的相对位置，用表示两个质点的相对位移，即： 以及 （2.2）按照这些定义，表示两质点当前的相对位置向量。两个质点间的直接物理接触被称为“键”，将键的概念扩展到有限距离的情况，就是近场动力学与经典理论的基本区别之一。因为在经典理论中，它代表着两个物体相互之间直接接触所产生的力。我们可以对已有材料假设一个数，叫做材料范围（material horizon），这样有：（2.3）由此可知，代表在X处质点的以为半径的圆形邻域，在基底材料中的每一个点都与起邻域内的点通过键
27、的方式相互作用。当两个质点间的相对距离时，两点之间的力函数。其示意图可见图2.1。如果一种材料的相互作用力函数可以由微势能推导得到，则称这种材料为微弹性材料： （2.4）材料基底R图2.1质点与之间的相互作用微观势能是一种存在于单键中的能量，它有每个单位体积内能量的方向。因此，在指点点出每一个单位体积内能量可以由以下公式得到：（2.5）其中有系数是由于在一点完整的键中，每一个点所包含的键能应为总键能的一半。如果一种材料被认为是微弹性材料，外力作用使其产生可恢复变形与经典理论中的弹性理论相似。进一步说，它可以反映微观势能依赖于两个变形点之间的相对位移向量。因此，有标量函数 （2.6）因此，在微弹
28、性材料中两点间的相互作用可以被等效看作一根弹性的“弹簧”。而“弹簧”的性质取决于参考构型下的独立向量相对位置向量。材料可认为是各向同性如果与的方向无关。若将方程（2.4）和方程（2.6）联立，并将后者对微分可得： （2.8）其中是标量函数，其定义为： （2.9）方程（2.8）与运动方程（2.1）实质上包含了非线性微弹性材料的所有近场动力学模型。方程（2.8）表明，键中的力向量与两个质点当前的相对位置向量平行，它同样表明任意一个点在处产生的力向量与在处产生的力向量大小相等，方向相反。材料模型中的角动量与线动量始终满足要求。同样的，因为刚性旋转时是不变的，所以客观要求始终满足。方程（2.9）中的力
29、函数明确包含了，因为实体中的内力不仅与质点在变形后构型下的相对位置有关，也与其在参考构型下的相对位置有关，这一点近场动力学与经典理论相同。然而，对于长程力的建模，比如范德华力，质点在参考构型下的相对位置并不重要。所以，对于这些类型的力，粒粒子间作用力的数值可假设为与没有明确联系，而是仅与变形后粒子间距有关。微弹性材料理论的一种线性描述可以用一下形式： （2.10）其中C是材料的微模量函数，它的值是一个二阶张量： （2.11）这一处理方式可以将质点的位移场从力函数中分离，有利于计算时数值方法的实现。这个函数满足下面的要求： （2.12）代表了材料的弹性刚度，它可以是线性或者非线性的。这个函数需要
30、满足一定的均匀性要求，然而，它可能的形式有很多。对于各向同性材料，人们给出了各种微模量函数的一维（Bobaru等人），二维（Ha and Bobaru）和三维(Silling and Askari)的形式。在所有情况下，均匀变形下材料的微模量函数都可以通过匹配近场动力学应变能密度和经典理论中的应变能密度来得到。损伤可以通过允许实体相互作用键断裂的方式引入近场动力学本构模型。最简单的假设是当键长的变形超过了预先设定的标准值，则键发生断裂。因为键的断裂是不可逆的，所以时间和位置必须成为粒子间作用力函数的变量，比如：（2.13）其中是一个标量函数，它的值为1或者0：（2.14）其中是键长允许产生变形
31、长度的标准值，它可认为取决于参考键长。回顾前文中所描述的，任何指点在连续体中都有有限数量的键与其他质点相连。根据（2.11）的定义，在变形中有一些键可能会断裂，而键的断裂取决于不同键初始键长和相对位置的初始值。实际上，在近场动力学实体中键的断裂常常通过其组成二维表面来表现。这些表面与裂纹一致，他们的生长方式即近场动力学中裂纹自然发展的方式。这种裂纹的萌生和发展不需要参考任何通过应力密度因子或其他类似变量来控制基底裂纹增长的补充运动方程。在这一情况下，近场动力学中裂纹的建模是“自然的”，并且和经典断裂力学方法有着本质的区别。2.2 本构模型考虑到变形体中的自然裂纹，在前文所述的非线性微弹性材料模
32、型中也会包含一种损伤。假设键力的大小只与键的伸长率有关，其定义为：（2.15）因此当键受拉时，是一个正值。这里我们注意到这样的材料是各向同性的，因为其力函数与的方向无关。根据（13）将损伤引入本构模型，当键长伸长到预定义的极限时发生断裂，在键断裂以后，两质点之间不再存在键力。考虑到标准微弹性脆性材料（PMB），有定义：（2.16）其中是一个标量函数： （2.17）其中是一个常数，是一个标量函数，它的值为1或者0，定义见式（2.14）（简化的PD本构模型见图（2.2）。值得注意的是，尽管PMB材料在初始状态下是各向同性的，但随着键在某些方向的断裂会导致随后响应的各项异性。根据PD本构模型中对于“
33、键”破坏的定义，我可以得到材料中质点在时刻损伤的大小：（2.18）Cg(x)sf图2.2 简化的微弹脆性材料伸长率与材料点力函数的关系由此可见，材料中发生的局部损伤可以认为是已经断裂的“键”和所有“键”的数量之比。在微弹脆性材料中，两个量可以用于描述其特征，分别是“弹簧常数”和“键”的极限伸长率。考虑到在单向拉伸荷载作用下的均匀物体，对于所有的“键”都为常数，且。在本文中，我根据平面应力假设，使用“常数”型的微模量函数，见图2.3。则它的微模量等于：（2.19）图2.3 常数型微模量函数 “键”的极限伸长率在分析均匀物体平面裂纹表面时也可以认为是一个可测量的数。令表示使一个“键”断裂所需的功：
34、， （2.20）以目前的PMB材料情况，上式可以写成 。而使每一个单元裂纹面积上所有的键断裂所需的功可以写成一下形式：（2.21）计算后可得使每个单位裂缝面积完全分离时所需的能量为：（2.22）对于脆性材料，假设裂纹完全分离丙炔在裂纹尖端附近不存在损耗机理，则将（2.19）带入（2.22），可以得到PMB材料中“键”的最大伸长率：（2.23）式中是体积模量，对于各向同性材料，它与弹性模量和泊松比之间有关系：（2.24）材料之间的界面可以通过那些连接在不同材料中质点的“键”来描述，这些界面“键”的性质可以根据不同的材料分别选取。2.3 数值计算方法整个模型区域被离散成节点，每一个节点在参考构型下
35、都有一个已定的体积。将节点排列在一起组成网格。这样的方法即为无网格法，因为在节点之间没有单元或者其他几何连接。这一方法的细节将通过以下用近场动力学的线性描述应用于均匀物体来讨论。近场动力学运动方程可以将积分用有限个数求和的方法改写成离散形式：（2.25）其中由本构模型得到，是时间步号，下标为节点号，因此有：（2.26）是节点的体积，因为本文所提出的模型是一个二维模型，故这里的可以看做是每一个节点所占的面积，其中就是网格间距，假定为常数。对于每一个参考点，公式中的均应满足。线性近场动力学模型的离散形式为：（2.27）其中在（2.11）中定义。对于公式2.26,和2.28中的加速度场，我使用了中心
36、差分法将其进行处理：（2.28）（2.29）将式（2.28）带入式（2.27），可得到当前时间步下位移的显式计算公式： （2.30）根据式（2.28）和（2.29）可以得到起步位移表达式： （2.31）在模型的节点上定义初始位移，初始速度：， （2.32）中心差分法是一种条件稳定算法，即利用它求解时，时间步长必须满足其稳定性条件，即：（2.33）其中是高阶固有振动频率，是系统最小固有振动周期。本文对进行估算，即当节点网格划定后，找出尺寸最小单元的最小边长，近似估计，其中是声波传播速度。然后由式2.34可得到。2.4 本章小结本章首先介绍了近场动力学的基本理论，随后对其原理、基本运动方程、本构方
37、程和数值方法进行了介绍。本章的内容是所有研究和分析工作的理论基础，且其应用范围不仅局限于本文所分析的材料。对于本文所研究的材料模型中力函数及函数中一些重要的参数，如微模量，临界伸长率等的确定将会在下一章讨论和确定。第3章 近场动力学程序设计本文的主要工作就是近场动力学程序的设计，一个科学的算法可以使计算工作更加有效率。本章描述了近场动力学程序的编写思路和算法，为以后章节分析模型的建立和分析工作的进行打下基础。本文采用FORTRAN语言进行程序的设计和编写，为了使程序设计的过程和思路更加清晰地表达，本节提出了近场动力学程序的流程图：第4章 近场动力学模型的建立及计算在本节中通过第3章的方法建立了
38、铝-氧化铝复合材料的模型。模型利用公式计算材料的微模量，并用加权的方法重点处理了两种材料界面处的微模量。本文的目的是使用近场动力学方法分析复合材料板的变形，并与传统有限单元法的解进行对比以验证其正确性。本章阐述了基于近场动力学方法的建模和计算。4.1 材料模型的建立在前文中提到，2011年Wenke Hu等人提出了单向纤维复合薄板的PD模型，在本文中，我将对这一模型进行简化，假定模型中铝和氧化铝均为均质材料，不需考虑材料中粒子的方向问题。本文研究的复合材料模型可以简化为二维模型（见图4.1），将矩形材料板离散成节点，每个节点都占一个相同的面积，且具有一个半径为（材料范围）的邻域。模型中各点之间
39、通过“键”产生相互作用。氧化铝铝材料界面图4.1 铝-氧化铝复合材料2维模型4.2 模型中质点间力函数的构造在质点间近场动力学中用键的微模量和临界伸长率来构建其对点的力函数微模量在力函数中用于确定键的“刚度”，故他和经典理论中的“模量”类似；而最大伸长率在形式上与经典理论中的“应变”相对应，决定了键的最大伸长率。它们的推导过程分别在4.2.1节和4.2.2节中阐述。本文中为了使计算结果稳定收敛，对模型的表面进行处理，引入表面修正系数，在4.2.3节中阐述。4.2.1 微模量根据前文公式2.20可以分别计算得到铝和氧化铝材料各自的微模量和，由于本文研究的为均匀材料，故在铝和氧化铝内部各自的对点力
40、函数中，微模量认为等于材料各自的微模量。对于两种材料的界面，即两种材料的界面键，我在建模时采用加权的方法处理两种不同材料的微模量和，将它看做是两根“弹簧”串联，将其等效为一个微模量为的键，其示意图见图4.2。材料界面图4.2 材料间对点键当材料受拉变形时，处于两种材料中的键分别伸长和，则伸长率分别为和。根据弹簧弹性定律可知：以及（4.1）在分析整个键，可得：（4.2）其中：，。联立方程可解得：（4.3）即为“界面键”的微模量。4.2.2 临界伸长率在拉伸荷载作用下，模型中各质点间的“键”的伸长率达到最大伸长率时会发生不可逆的脆性断裂，断裂后“键”不再具有承载能力。根据前文2.2节的方法以及Si
41、lling在中的计算公式可以确定临界伸长率为：（4.4）4.2.3 表面修正系数本文中的本构模型（2.16）是基于质点的整个材料范围完整的假设上的。然而对于接近于模型边界的材料点，这一假设并不适用。因此，在模型自由表面附近的材料会有刚度削减。因此，我们引入表面修正系数来描述模型的表面。参考Erkan Oterku的分析，表面修正系数通过计算两个不同材料点受和方向单向拉伸荷载作用下的应变能密度得到。模型中有两种材料点：位于模型边界附近的材料点有一个不完整的材料范围（见图4.3）；远离模型边界的材料点有一个完整的材料范围（见图4.4）。根据荷载条件下的位梯度，应变能密度可以表示为：（4.5）其中表
42、示材料点的材料范围，表示材料点与间键的应变能密度。方向的应变能密度也可根据其方向的拉力来计算。因此我们可以将应变能密度表示为： （4.6）对于材料范围完整的材料点，其应变能密度不需要考虑方向，计算时可以将材料范围分解为正方形的材料点子域，将子域的边长定为，假设每个子域中的位移场都为常数（见图4.5）。因此，这一类材料点材料范围内的能量密度可以表示为：（4.7）而对于在材料范围以外的材料点对应变能密度没有影响。图4.3 材料范围不完整的材料点图4.4 远离外表面的材料点，荷载方向的修正系数可以定义为自由表面附近材料点的应变能密度与远离自由表面材料点应变能密度的比值，即：（4.8）考虑到相对位置向
43、量的方向，以及修正系数一般在不同的两个材料点会有不同，故两点间的修正系数可以取平均值：（4.9）综上所述由此可以得到材料的表面修正系数：（4.10）在考虑表面影响之后，近场动力学运动方程可以改写成：（4.11）图4.5 远离自由表面材料点的分解图另外，Florin Bobaru通过分析证明了缩小材料范围可以减小材料的表面效应，而通过改变在表面附近的点的微模量函数可以消除表面效应，但这样做会导致计算精度的下降。对于某些特定尺度的问题，譬如原子尺度，表面效应事实上是一种物理现象，而在对宏观结构的实际计算中，用一个小的材料范围可以有效地处理表面效应。4.3 本章小结本章首先对本文所研究的近场动力学模
44、型进行了阐述，随后构造了模型中两点间对应的力函数的形式。在近场动力学中，力函数主要由微模量和临界伸长率描述，另外，由于模型存在表面效应，且表面效应对计算结果的收敛影响很大，故在本章中也对模型进行了表面修正，得到了可以通过第3章的程序实现的近场动力学计算模型。第5章 矩形单层无厚度板分析本章使用近场动力学方法对具体的算例进行了分析。首先，用近场动力学方法分析了矩形单层无厚度板受单向拉伸荷载时的变形过程，随后在5.3节用基于有限单元法的ANSYS软件对同样的问题进行了计算和分析，并将计算结果进行对比。5.1 计算模型按照本文的分析方法，对复合材料矩形单层无厚度板在拉伸荷载下的变形进行了模拟。矩形板
45、长，宽，内部颗粒的半径为。将板离散为正方形晶格的节点，节点间距为，模型中共有10000个节点。根据文献中的研究结果及建议，材料范围取，荷载条件为在板的两端加上大小为500N，方向相反的均布拉拔荷载。模型简图见图5.1。图5.1 计算模型简图PD方法需要将时间步长控制在较小的范围内才能进行稳定的迭代计算，根据本文2.3节的方法估算时间步长。板中内部材料为铝，密度为，室温下材料的性能为：弹性模量，面内泊松比；外部材料为氧化铝，密度为，室温下材料的性能为：弹性模量，面内泊松比。5.2 基于近场动力学方法的计算结果本节将使用第3章编写的近场动力学程序来模拟材料的变形过程，并在每个设定的时间步输出计算结
46、果，包括位移、加速度、速度、合力等。并使用ParaView软件来对计算结果进行后处理，可以的到以下的图：(a) X方向的位移图(b) Y方向的位移图由模型X方向的位移图（图5.2（a）可以得到在单向拉伸荷载作用下材料在X方向的变形情况，由图可见，模型的变形基本是对称的，最大变形发生在材料模型受力的两侧并向材料中部递减，且在材料的界面处变形也会发生突变；Y方向的变形（图5.2（b）由模型的四个角向中间递减，且变形在材料界面处会产生集中的现象，这意味基底材料的受力侧和材料界面处都更容易发生较大的变形而产生裂纹或损伤。(c) X方向合力图(d) Y方向合力图图5.2 基于近场动力学方法结果显示图板的应力分析：根据X方向的应力分布（图5.2（c）和Y方向的应力分布（图5.2（d）可以观察到，在两种材料的界面处模型会发生一定程度的应力集中，故相比于模型的其他部分的材料点，材料界面附近处的材料点间对应的“键”更容易产生断裂，这也意味着材料界面处容易发生分层的现象。5.3 基于有限单元法的计算结果本节使用ANSYS软件来对算例进行建模，选用了4节点PLANE单元，根据模型所受荷载的性质以及建立模型方便的需要
