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1、房屋贷款中的数学建模问题1 引言 1.1 研究背景及意义随着人类社会的进步，计算机在近50年以来得到了迅猛的发展和普及，数学作为一门有着悠久历史的基础学科，结合计算机技术，应用范围也从传统的工程技术、自然科学等领域，拓展到现今的生物、医学、经济、金融等新的领域。数学与计算机结合，构成了当代一门新的技术手段即“数学技术”，这一技术，以其悠久的发展历史，完善的思想体系，广泛的应用范围，成为当今世界在解决许多高新技术问题的重要手段。通过分析实际生活中的问题，发现其内在的数学规律，抽象成数学模型，并且用数学语言表述出来即是数学建模。数学建模经过几十年的发展普及，现已经以其强大的功能和实用性，广泛的应用
2、与经济，医疗，会计的领域。数学建模是运用数学知识解决实际问题的主要的方法。我国的个人住房贷款制度自1998年开始以来，先后经历了“提租补贴”、“新筹资金”、“出售公房”、以及1994年国务院通过的“房改决定”。当前居民获得个人住房，不再是依靠单位的分房制度，而是需要在房产交易中，用现金进行购买。大多数家庭在购买商品房时，由于房屋的价值量大，无法一次性筹组房款。如果等到购房者储蓄齐备房款，少则要10多年，多则要几十年。这种消费模式，在当今时代显然是背离潮流的，同时也不符合当今，通过房地产市场，拉动内需，促进国民经济又好又快发展的政策要求。住房贷款即由金融机构参与，银行替购房者先行支付剩余购房款，
3、购房者按照合同规定，在规定期限内向银行支付还款，购房者可以提前获得住房。根据房地产担保公司的最新公布的数据显示，在一线城市，北京，上海，广州，深圳，居民在购买新房时，选择通过向银行申请房屋贷款的，已经达到七成。住房贷款已经和居民的日常生活紧密联系在一起。1.2 国内外研究现状1.2.1国外研究现状房屋贷款最早出现在19世纪的英国，经过近一个世纪的发展、普及，到20世纪初，已经成为西方国家一种重要的金融工具。国外在这方面的研究起步较早，发展时间比较长，现在已经比较成熟。西方国家相继拥有了自身的完善金融系统，在经济，社会制度，金融体系等方面的不同之处，并没有影响各国在主营业务住房抵押贷款上的统一。
4、国外对个人住房贷款的研究比较深入，国外建立的个人征信，双担保体系，经过实践的验证，在预防房屋贷款违约风险控制上，能够大幅度降低住房贷款的风险，这些国际上的先进的研究成果，经过实践的证明是可行的。我国可以借鉴此经验，进一步规范，改善房地产金融市场，降低银行不良资产贷款率。1.2.2国内研究现状房屋贷款在风险，利息，市场等优势，在我国的各大银行的认定中，都是被认为是优质的资产，各大银行信贷部门办理业务时，也是优先安排该业务的办理。国内对于房屋贷款问题研究相对较晚，结合中国的实际情况，国内学者近几年也取得了许多研究成果，在这里列出以下几点成果。蒋秀莲、宋言、 刘文（2007） 利用Excel的PMT
5、函数，对住房贷款中不同种类的投资选择途径，总和各方面的权衡，从而为在投资决策活动中提供依据。Excel是一种应用广泛的电子表格软件，在财务处理、固定资产核算、项目投资决策、财务分析等方面，有着广泛的应用，也为购房贷款中的决策问题提供了一类方法。柳菁（2009）根据具体购房贷款案例通过对基本贷款模型的拓展，分别讨论等额本息，等额累进还款法的优劣，得出贷款方式的选择不仅受到银行的贷款利率，贷款年限等因素的影响，还取决于贷款人的收入状况。陆燕宏 鲁欣（2008）根据住房贷款的风险小，不良贷款率低的优势，进行了证券化可行性研究，住房贷款问题的研究，带开了一个新的研究方向。我国虽然在房屋贷款问题研究方面
6、相对较晚，但这些研究都是根据我国的基本国情，研究方法多种多样，并逐渐形成适合自己的研究体系。2问题的提出小李是一名小区保安，每月收入每月工资有3000元，妻子是一家体育用品公司的文员，每月收入也有3000元，2011年5月，夫妻俩花了60万元买了一套郊区房，在银行办理了按揭贷款的业务，根据相关贷款条例，支付20万的首付款，还款年限10年，每月需要支付银行的本金利息和为4500元。贷款初期，夫妻俩通过节省各项开支，勉强按月支付还款。2012年3月，小李妻子怀孕，辞职回家待产，家庭收入去了一半，平时的支出却增加了。2012年11月，妻子成功产下一名男孩，婴儿的奶粉及日常生活用品的开销，使得小李不得
7、不多做一份兼职，但即使是这样，每月依然要借钱偿还银行的贷款。小李最终成为了“负翁”。生活中，像小李这样的人肯定不会少。选择向银行申请房贷，就意味着，在接下来的几年或几十年内都要每月偿还银行的一千多甚至几千的月供。 年轻夫妻还需要考虑赡养老人，小孩的教育，各种生活医疗保险等开支，其他方面的开支被压缩。日常生活中的任何一个以外的事件，都有可能给这样一个家庭带来重重一击！如何选择一款之和自己的还款方式，才能避免像案列中小李那样最终成为“负翁”，是很多购房者急需面对的问题。本文将通过数学建模的思想，建立月还款额与还款利息总和的模型，通过具体的案例，计算分析，月还款额和还款利息总和在两种还款方式中的特性
8、及差异，为不同类型的购房者提供适合的还款方式建议。3定义及符号说明3.1概念说明上世纪八十年代，我国的第一笔个人住房贷款发放以来，经过30年的发展，改善，逐渐形成了以委托贷款，自营贷款，组合贷款三种方案为主的贷款方式。在这三种方案中，又以自营贷款最为常用。所谓自营贷款即商业贷款，申请人向银行申请，银行对申请人进行资格审核，通过审核，银行按约定的时间，发放贷款。商业贷款的申请条件较其它两种方案，要求较低，更加容易通过审核。在还款方式上各大银行为吸引客户，制定了多种方式，等额递增（减）法、等比递增（减）法、按周（双周、三周）还本付息还款、等额本息还款、等额本金还款法等等。在这些贷款方式中又以等额本
9、息，等额本金两种还款方式，最为常用，本文所探究的就是这两种还款方式的特点。表1是自2011年以来，个人住房贷款利率历年变动情况表1 2011年以来住房贷款年利率变动表贷款种类与年利率2011772012.7.62014.11.222015.5.111-5年 5年1-5年 5年1-5年 5年1-5年 5年商业贷款年利率/%6.657.056.156.556.006.155.505.65公积金贷款年利率/%4.454.904.004.503.754.253.253.753.2术语及符号说明1.总贷款额（A）：银行为申请人支付给房地产开发商的总金。受国家政策的调控，放款金额一般不会低于房屋市场价值的
10、六五折。2. 还款总利息（T）：还款结束，累计支付银行利息的总和。3.年利率（r）：银行规定的一年的贷款利率。4.月利率（C）：月利率等于年利率/125：月还款额（Xn）：每月支付给银行的还款6. 还款次数（B）：还款次数=12*贷款年限7.第n个月本金还款（Yn），贷款年限（m） 还款次数（B） 4构建房屋贷款中的数学模型4.1 模型的假设（1）购房者在还款期限内，不会出现意外事件，失去收入来源，购房者能够按照购房贷款合同签订的条款按约还款。（2）利率保持不变（3）贷款人在每个月的月末，按约支付银行当月的本金及当月产生的利息部分。（4）按复利计算利息4.2 模型的建立 4.2.1 两种贷款方
11、式还款的基本原理在等额本息和等额本金两种还款方式中，无论哪种还款方式，都有一个共同的特点，即每月的还款额（月供），包含两个部分：本金还款和利息还款月还款额 = 当月本金+当月利息 当月剩余本金上月剩余本金 当月本金还款 当月利息 上月剩余本金 * 月利率 4.2.2 月还款额及利息总和模型等额本息还款等额本息还款是指将本金和还款利息总和平均分配到每个还款月，即每月的还款额是固定的。通过基本还贷模型的思路，可将等额本息还款方式的方法带入其中。第一个月：当月的本金为全部贷款额，因此当月利息还款额=A*C 当月本金还款额 ：Y1=第一个月还款额第一个月的利息=XA*C剩余本金=总贷款额第一个月本金还
12、款额A（XA*C）A*（1C）X第二个月：当月利息还款额上月剩余本金*月利率（A*（1C）X）*C 当月本金还款额 Y2=第二个月还款额第二个月的利息X（A*（1C）X）*C剩余本金=第一个月剩余本金第二个月本金还款额A*（1C）X（XA*（1十C）X）*C） A*（1C）XX（A*（1CX）*C A*（1C）*（1C）X（1C）*X A*（1C）2X（1C）*X第三个月：当月利息还款额第二个月剩余本金*月利率（A*（1十C）2一X（1C）*X）*C 当月本金还款额 Y3 = 第三个月还款额第三个月的利息X（A*（1十C）2X（1十C）*X）*C 剩余本金第二个月剩余本金第三个月的本金还款额
13、A*（1C）2一X（1C）*X（X（A*（1C）2X（1C）*X）*C）A*（1C）2X（1C）*X（X（A*（1C）2*CX（1C）*X）*C）A*（1C）2*（1C）（X十X（1C）*X*（1C）=A*（1 + C）3X十（1C）*X（1十C）2*X 上式可以分成两个部分第一部分：A*（1C）3第二部分：X（1C）*X（1C）2*XX*1（1C）（1C）2剩余本金中的第一部分 总贷款额 *（1十月利率）的n次方，（其中n还款月数）剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（1月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数n。推广到任意月份：第n月的剩余本金=A*（1C）n X*Sn（S
14、n为以（1C）为公比的等比数列的前n项和 根据等比数列的前n项和公式可以得出 X*SnX*（1（1C）n）（1（1十C）X*（1C）n1）C 所以，第n月的剩余本金=A*（1C）n-X*（1C）n1）C由于最后一个月本金将全部还完，所以当n等于还款次数时，剩余本金为零。 设n=B还款次数）剩余本金A*（1C）BX*（1十C）B1）C0从而得出月还款额 XnA*C*（1C）B/（1C）B1） （1）将X值带回到第n月的剩余本金公式中第n月的剩余本金=A*（1十C）nA*C*（1十C）B（1C）B1）*（1C）n1）CA*（1C）n（1C）B*（1C）n1）（1C）B1）A*（1C）B（1C）n（
15、1C）B1）第n月的利息第n1月的剩余本金*月利率A*C*（1十C）B（1C）（n1）（1C）B1）第n月的本金还款额=第n月还款额第n月的利息A*C*（1C）B（1C）B1）A*C*（1 C）B（1C）（n1）（1C）B一1）A*C*（1C）（n1）（1C）B一1） 利息总和 T 总还款额总贷款额 =X*BAA*（B*C1）*（1十C）B十1（1十C）B1） （2） 等额本金还款等额本金还款方式是指将总贷款额平均分摊到贷款期限的每个月，即每个月归还的本金是固定不变的。当月还款本金总贷款数/还款次数 当月利息上月剩余本金*月利率 总贷款数* (1-（还款月数1）/还款次数）*月利率当月还款额=
16、当月本金还款当月利息总贷款数* (1/还款次数(1（还款月数 1）/还款次数）*月利率)由等额本金定义可知，贷款额本金平均分摊到每月，每月所还本金部分固定，可以分析出，月还款额差值保持不变。月还款额差值=总贷款数/还款次数*月利率 =A/B*C (3)总利息所有利息之和总贷款数*月利息率*（还款次数(1十2十3还款次数 1)/还款次数） 其中123十还款次数1 是一个等差数列，其和为(1+还款次数1）*(还款次数1）2=还款次数*（还款次数1）2经整理后可以得出：利息总和 T 总贷款数*月利率*（还款次数+1）/2 =A*C*（B+1）/2 （4）月还款额 Xn =当月本金还款额+当月利息还款
17、额=A/B+A-(n-1)A/BC （5）5 利用MATLAB计算月还款额与利息总和等额本息 根据公式1 输入月还款额算式：function y=f1(a,b,c)y=a*c*(1+c)b/(1+c)b-1) 根据公式2 输入总利息算式：function y=f3(a,b,c)y=a*(b*c-1)*(1+c)b+1)/(1+c)b-1)某人于2015年5月11日以后，向银行申请10万元用于购买住房，按月还款，2年还清。，在表一中找出相应的利率，输入如下数据 a=100000，c=0.004583，b=24，分别求出月还款额 ：4,409.57， 利息总额：5,829.57 即申请购房贷款10
18、万元，贷款年限2年，选择等额本息还款方式，每月应向银行还款4,409.57元，利息总额5,829.57元。依此类推，分别求出贷款年限在1-30年的，月还款额，利息总额。 整理数据得到表2 表2 等额本息月还款额与利息总和对照表贷款年限月利率/月还款额/元还款总额/元利息总额/元14.5838583.68103004.143004.1424.5834409.57105829.575829.5734.5833019.59108705.258705.2544.5832325.65111631.0811631.0854.5831910.12114606.9714606.9764.7081640.821
19、18138.8418138.8474.7081444.13121307.3121307.3184.7081297.17124528.0424528.0494.7081183.34127800.7827800.78104.7081092.71131125.2531125.25114.7081018.95134501.1434501.14124.708957.83137928.1137928.11134.708906.45141405.8041405.80144.708862.70144933.8044933.80154.708825.06148511.7048511.70164.708792.3
20、9152139.0352139.03174.708763.80155815.3255815.32184.708738.61159540.0759540.07194.708716.28163312.7663312.76204.708696.39167132.8267132.82214.708678.57170999.7170999.71224.708662.55174912.8174912.81234.708648.09178871.5278871.52244.708634.98182875.2282875.22254.708623.08186923.2686923.26264.708612.2
21、3191014.9791014.97274.708602.31195149.6995149.69284.708593.23199326.7199326.71294.708584.90203545.35103545.35304.708577.24207804.88107804.88等额本金根据公式3,输入月还款额差值算式：function f4=(a,b,c)y =a/b*c根据公式4,输入利息总和算式：function f5=(a,b,c)y =a*c*（b+1）/2根据公式5，输入月还款额算式：function f7=(a,b,c)y =a/b+(a-(b/12-1)a/b)c 同样的，某人
22、于2015年5月11日以后，向银行申请10万元用于购买住房，按月还款，2年还清。，在表一中找出相应的利率，输入 a=100000，c=0.004583，b=24，求出月还款额4625.00元，月还款额差值19.10元，利息总额5729.17元。依此类推，分别求出贷款年限在1-30年的，月还款额，利息总额，月还款额差值。 整理数据得到表3表3 等额本金月还款额与利息总和还款对照表贷款年限月利率/月还款额/月还款差值/元还款总额/元利息总额/元14.5838791.67/38.19102979.172979.1724.5834625.00/19.10105729.175729.1734.58332
23、36.11/12.73108479.178479.1744.5832541.67/9.55111229.1711229.1754.5832125.00/7.64113979.1713979.1764.7081859.72/ 6.54117185.4217185.4274.7081661.31/5.61120010.4220010.4284.7081512.50/4.90122835.4222835.4294.7081396.76/4.36125660.4225660.42104.7081304.17/3.92128485.4228485.42114.7081228.41/3.57131310.
24、4231310.42124.7081165.28/3.27134135.4234135.42134.7081111.86/3.02136960.4236960.42144.7081066.07/2.80139785.4239785.42154.7081026.39/2.62142610.4242610.42164.708991.67/2.45145435.4245435.42174.708961.03/2.31148260.4248260.42184.708933.80/2.18151085.4251085.42194.708909.43/2.07153910.4253910.42204.70
25、8887.50/1.96156735.4256735.42214.708867.66/1.87159560.4259560.42224.708849.62/1.78162385.4262385.42234.708833.15/1.71165210.4265210.42244.708818.06/1.63168035.4268035.42254.708804.17/1.57170860.4270860.42264.708791.35/1.51173685.4273685.42274.708779.48/1.45176510.4276510.42284.708768.45/1.40179335.4
26、279335.42294.708758.19/1.35182160.4282160.42304.708748.61/1.31184985.4284985.426 两种还款方式的分析、比较分别提取表2，表3中的利息支付总额以及首月还款额数据，整理得到表4，表5 表4 利息支付总额比较 单位（元）贷款年限支付银行利息总和等额本息等额本金差值倍数411631.0811229.17401.911.036514606.9713979.17627.801.0451031125.2528485.422639.831.0931548511.7042610.425901.281.1382067132.82567
27、35.4210397.401.1832586923.2670860.4216062.841.22730107804.8884985.4222819.461.269（注：差值=等额本息-等额本金 倍数=等额本息等额本金）表5 首月还款额比较 单位（元）贷款年限 贷款第一个月还款额等额本息等额本金差值倍数4 2325.652541.67216.021.09351910.122125.00214.881.112101092.711304.17211.461.19415825.061026.39201.331.24420696.39887.50191.111.27425623.08804.17181.
28、091.29130577.24748.61171.371.297（注：差值=等额本金-等额本息 倍数=等额本金等额本息）分析：由表4可以发现：（1） 贷款年限为4年的时候，等额本息支付利息是等额本金支付利息的1.036倍，贷款年限增长达30年时，这一比例上涨到1.269倍即等额本息还款在同等情况下比等额本金还款要多，并且他们之间的比值也会随着贷款年限的增加而逐渐增加。（2） 随着贷款年限的增加，等额本息还款支付的利息总额，从11631.08元增长到107804.88元，等额本金还款的利息总额从11229.17元增长到84985.42元。可见，无论哪种还款方式，随着贷款年限的增长，支付利息总和也
29、会逐渐增加。（3） 由表5可知，等额本金首月还款额比等额本息还款额要多，并且随着贷款年限的增加，倍数从1.093倍增长到1.297倍。7 实例应用某购房者打算在2015年7月申请个人住房商业贷款10万元，但不知选择哪种还款方式，请依据论文分析结果，给出购房贷款建议。根据表4，表5以及分析结果，可以给出如下购房贷款建议： (1)如果目前经济条件良好， 收入较高，可以选择等额本金还款法，减少利息支出。(2)如果收入稳定，经济条件不允许前期投入过大，可以选择等额本息还款方式，减少还款初期压力。（3）如果收入一般，但是还款初期可用资金较多，但未来几年由于赡养老人，医疗，子女教育等原因，使收入大幅分流的
30、贷款人，可以选择等额本金还款法，既可以节省利息支出，也可以减轻未来的还款压力。8 结语本文是在学习分析目前国内外研究现状的基础上，总结其中的优势和不足之处，结合当今房屋贷款的实际情况，提出自己的研究方法：首先对个人住房有关规定做了简单介绍，并且给出了由中国人民银行给出的自2011年以来历年的贷款利率。在模型建立前，提出了如在贷款期限内，贷款利率不变等一系列假设，确保模型建立的严谨性。接着分别对等额本息，等额本金两种还款方式的月还款额，利息还款总和的模型分别进行推导，求解。根据推导出的模型，编辑MATLAB表达式 ，运用数学软件MATLAB，计算整理出月还款额，还款利息总和1-30年的对照表，清
31、晰，明了。随机提取4、5、10、15、20、25、30年贷款年限的月还款额，利息总和数据，根据表中的数据，分析比较了两种还款方式的优劣，最后由实际案例，给不同购房贷款者提出建议。通过以上研究，个人觉得，对于那些需要办理银行贷款的贷款人而言，一定要分析自己目前的经济情况，以及未来的收入预期，未来是否存在因子女教育支出，赡养老人，医疗保险等出使得每月收入大量分流情况等一系列问题，一定要量力而行。 参考文献1 辛玲.浅析我国个人住房抵押贷款的风险控制J,西部金融，2010，（6）11-12.2 刘春兰. 对我国住房抵押贷款的分析 J . 经济问题, 2005,（5）5-6.3 张学山, 李路, 江开
32、忠. 购房贷款的优化问题 J . 上海工程大学技术学报, 2005,(4) 11-13.4 李济民, 李化民. 影响住房贷款月还款额各变量的特性探讨 J .重庆建筑大学学报, 2004.（2） 4-5.5 范红雷.我国商业银行个人住房抵押贷款风险及防范J，改革与开发，2008.（8）31-32.6 郭春红.我国商业银行个人住房抵押贷款风险分析与防范J，致富时代： 下半月，2009，（12）：13-15.7 彭海啸.商业银行个人住房抵押贷款风险及其防范，现代商业，2008，（17）： 19-19.8 奎多费拉利,张清勇. 欧洲、意大利和托斯卡纳住房及有关问题的统计证据概览J. 财贸经济. 200
33、8,(03) 17-17.9 孙玉栋,杜云涛. 我国房地产保有环节现行税制的问题及其改革J. 财贸经济. 2008,(02) 8-8.10 董方军,曹红辉,王军. 美国次级房屋贷款危机对我国的影响及若干建议J. 经济研究参考. 2008,(20) 3-3.11 Introduction to MATLAB. Dalian Jiaotong University, 2009 session of the graduation project (thesis) Foreign Language Translation 2009，（3） 12-13.致 谢本文是在毕公平老师的指导下完成的，论文初期老
34、师给我提供了大量的参考文献，让我广泛阅读，系统的了解课题以及课题相关的知识，了解该课题的目前国内外研究现状以及研究的主要方法手段，通过阅读分析比较各类文献，以及自己利用互联网搜集的文献，确定了自己课题的研究的具体方向，所要利用的数学知识，以及相关的数学工具。在论文的写作过程中，经常与老师通过各种方式沟通，交流，不断地完善自己的思路，提高论文书写水平。遇到问题，老师总能够像知心姐姐一样，帮我细心分析问题的关键，意见解决问题的思路，指导我一步一步，脚踏实地的解决一个个问题。同时，我还要感谢四年来陪伴我成长的班主任，王卫东老师，辅导员李帅老师，以及全体数信学院的师生。感谢大家对我的包容，最后再一次感谢毕老师对我的悉心教导，在接下来的工作中，祝愿南昌航空大学数学与信息科学学院越办越好，各位老师，桃李满天下。
