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1、题 目：齿轮传动的优化设计专 业：机械设计制造及其自动化 学 生： （签名） 指导教师： （签名） 摘要介绍了在visual Basic中调用Matlab优化工具箱中的函数，进行单级圆柱齿轮减速器优化设计的方法。通过具体算例，表明该方法简单有效，编程量小，并较好地达到了优化目的，能够应用到工程实际中去。关键词：齿轮减速器；Matlab优化工具箱；优化设计AbstractThis paper describes how to call functions in Matlab tool box with Visual Basic environmen to perform optimal desi
2、gn of singlestage cylindrical gear reducerThe optimal design way is simple，effective and is able to deliver relatively satisfactory optimization results witll lower programming work，and therefore can be used in actual product designKeywords： gear reducer；Visual Basic；Madab optimization tool box；00ti
3、mal design目录1绪 论31.1问题的提出3111引言3112齿轮传动常见的故障及形成的原因31.2发展现状31.3研究方案31.3.1研究目标31.3.2研究内容31.3.3研究思路32 课题研究基础32.1齿轮传动32.1.1齿轮传动的类型32.1.2齿轮传动设计准则32.1.3齿轮传动类型32.2结构优化32.2.1结构优化的概念及其意义32.2.2数学模型32.2.3算法的要求32.2.4 结构优化方法的发展及其现状32.2.5结构优化研究的前景33 数学模型的建立33.1优化设计数学模型的建立33.1.1目标函数的建立33.1.2约束条件的确定33.2 设计实例及优化程序设计
4、33.2.1确定优化设计数学模型33.2.2优化设计程序设计33.3 优化结果33.4结束语3结论3致 谢3参考文献291绪 论1.1问题的提出111引言 齿轮传动具有结构紧凑，传动比准确、传递动力大、效率高、使用寿命长、工作可靠和维修方便等特点，所以在传递运动和动力方面得到了广泛的应用。但是齿轮传动也有明显的缺点，如制造、安装精度高，生产成本高，加上特有的啮合传动方式，造成了两个突出的问题：一是振动、噪声较其他传动方式大；二是当其制造工艺、材质、热处理、装配和使用等因素未达到设计状态时的要求，常常导致诱发机器发生故障的重要原因。112齿轮传动常见的故障及形成的原因 1） 由制造误差引起的故障
5、 制造齿轮时通常会产生偏心、周节误差，基节误差、齿形误差等几种典型误差。产生这些误差的原因很多，有来自机床运动的误差；切削刀具的误差；刀具、工件、机床系统安装调试不当的误差；夹具的误差和热处理内应力引起的齿轮变形等等。当齿轮的这些误差较大时，会引起齿轮传动中忽慢忽快的微惯性干扰转动，使齿轮副啮合时产生冲击、振动，引起较大噪声。 2) 由装配误差引起的故障 由于装配技术和装配方法等原因，通常在装配齿轮时会造成“一端接触、一端悬空”的装配误差；齿轮轴的直线性偏差（同轴度、对中性误差）及齿轮的不平衡等。一端接触或齿轮轴的直线性偏差会造成齿轮承受负荷不均，造成个别轮齿负荷过重引起局部早期磨损，严重时甚
6、至引起轮齿断裂。齿轮的不平衡，将引起冲击振动和噪声。 3) 由运行中产生的故障 （1）轮齿的断裂 齿轮传动时，主动齿轮的作用力和从动齿轮的反作用力都通过接触点分别作用在对方轮齿上，最危险的情况是某一瞬间接触点位于轮齿的齿顶部，此时，轮齿如同一个悬臂梁，受载后轮齿根部产生的弯曲应力为最大，若因突然过载或冲击过载，很容易在齿根处产生过负荷断裂。即使不存在冲击过载的受力工况，当轮齿在交变载荷作用下产生的交变应力集中现象，也易产生疲劳裂纹，并逐步扩展，致使轮齿在齿根处产生疲劳断裂。另外由于制造、安装的误差，淬火裂纹、磨削裂纹的损伤和严重磨损后齿厚过分减薄时，在轮齿的任意部位也可能会产生断裂。 （2）齿
7、面磨损或划痕 轮齿在啮合传动过程中存在相对滑动，加上润滑不良、润滑油不清洁、润滑油变质、低速重载或热处理质量差等，均可造成轮齿齿面的粘着磨损、磨粒磨损、腐蚀磨损和划痕等。 （3）齿面疲劳 所谓齿面疲劳主要包括齿面点蚀与剥落。造成点蚀的原因，主要是由于轮齿工作表面产生脉动变化的接触应力引起的微观疲劳裂纹，当润滑油进入表面裂纹区后，在啮合过程中先封闭人口然后挤压。微观疲劳裂纹区内的润滑油在高压下使轮齿表面裂纹区域扩展，致使表层金属微粒从齿面上脱落，留下一个个小坑形成齿面点蚀。当轮齿表面的疲劳裂纹继续扩展到较深、较远，或使一系列小坑间材料失效而连接起来，造成大面积或大块脱落现象就形成了齿面剥落。 （
8、4）齿面塑性变形 当齿轮材料较软而传递载荷较大时，易产生齿面塑性变形。在齿面间过大的摩擦力作用下，齿面接触应力会超过材料的抗挤压屈服极限，齿面材料进入塑性状态，造成齿面金属的塑性流动。导致主动齿轮在节线附近的齿面形成凹沟，而从动齿轮在节线附近的齿面形成凸棱，从而使齿形破坏。有时还可在某些类型齿轮的从动齿面上出现“飞边毛刺”。严重时挤出的金属充满顶隙，引起剧烈振动，甚至发生弯曲或断裂，影响齿轮正常啮合传动。 1.2发展现状齿轮减速器在各行各业中十分广泛地使用着，是一种不可缺少的机械传动装置。当前减速器普遍存在着体积大、重量大，或者传动比大而机械效率过低的问题。国外的减速器，以德国、丹麦和日本处于
9、领先地位，特别在材料和制造工艺方面占据优势，减速器工作可靠性好，使用寿命长。但其传动形式仍以定轴齿轮传动为主，体积和重量问题，也未解决好。最近报导，日本住友重工研制的FA型高精度减速器，美国Alan-Newton公司研制的X-Y式减速器，在传动原理和结构上与本项目类似或相近，都为目前先进的齿轮减速器。当今的减速器是向着大功率、大传动比、小体积、高机械效率以及使用寿命长的方向发展。因此，除了不断改进材料品质、提高工艺水平外，还在传动原理和传动结构上深入探讨和创新，平动齿轮传动原理的出现就是一例。减速器与电动机的连体结构，也是大力开拓的形式，并已生产多种结构形式和多种功率型号的产品。目前，超小型的
10、减速器的研究成果尚不明显。在医疗、生物工程、机器人等领域中，微型发动机已基本研制成功，美国和荷兰近期研制的分子发动机的尺寸在纳米级范围，如能辅以纳米级的减速器，则应用前景远大。国内的减速器多以齿轮传动、蜗杆传动为主，但普遍存在着功率与重量比小，或者传动比大而机械效率过低的问题。另外，材料品质和工艺水平上还有许多弱点，特别是大型的减速器问题更突出，使用寿命不长。国内使用的大型减速器(500kw以上)，多从国外(如丹麦、德国等)进口，花去不少的外汇。60年代开始生产的少齿差传动、摆线针轮传动、谐波传动等减速器具有传动比大，体积小、机械效率高等优点。但受其传动的理论的限制，不能传递过大的功率，功率一
11、般都要小于40kw。由于在传动的理论上、工艺水平和材料品质方面没有突破，因此，没能从根本上解决传递功率大、传动比大、体积小、重量轻、机械效率高等这些基本要求。90年代初期，国内出现的三环(齿轮)减速器，是一种外平动齿轮传动的减速器，它可实现较大的传动比，传递载荷的能力也大。它的体积和重量都比定轴齿轮减速器轻，结构简单，效率亦高。由于该减速器的三轴平行结构，故使功率/体积(或重量)比值仍小。且其输入轴与输出轴不在同一轴线上，这在使（用上有许多不便。北京理工大学研制成功的内平动齿轮减速器不仅具有三环减速器的优点外，还有着大的功率/重量(或体积)比值，以及输入轴和输出轴在同一轴线上的优点，处于国内领
12、先地位。现阶段我国大型减速器仍然依靠进口，但是我们的研究水平同样在不断进步着，不断探求新的思路新的方法。下面分析一组数据据中国国际招标网统计数据显示，大型减速机第一季度的国际招标项目共四个，累计中标金额为：478.95345万美元，业主分布在辽宁、河南和上海三个省份，都是大型的机械制造工厂的必须设备。所有项目中标商均为国外制造商，有sew-eruodrive、戴维布朗、弗兰德机电传动等，集中在德国和英国，各占据半壁江山。从统计数据看来，2006年第一季度的招标项目中除了重庆一家公司参与投标外，其他的投标制造商均为外企。 产品工艺差距国内减速机与国外相比，多以齿轮传动、蜗杆传动为主，但普遍存在着
13、功率与重量比小，或者传动比大而机械效率过低的问题。另外，材料品质和工艺水平上还有许多弱点，特别是大型减速机问题更突出，使用寿命不长。国内使用的大型减速机（500kw以上），多是从国外进口，以德国、丹麦和日本处于领先地位，花去不少的外汇。由于在传动的理论上、工艺水平和材料品质方面没有突破，因此，没能从根本上解决传递功率大、传动比大、体积小、重量轻、机械效率高等这些基本要求。对于传动行业标准落后的现象也国家应该重视起来，现在的减速机标准还是1985年的标准，标准应该依照技术的更新而进行改进，与国际标准接轨。这样，国内企业生产的产品才能跟上国际的步伐，起码能够在国内的政府采购和国际招标中占据一席之地
14、。所以国内企业应该警惕起来，积极向国外引进先进的技术或加快自主研发的步伐才是上乘之选。如果在技术上还停滞不前的话，根据国家鼓励机电产品进口的政策，当进口产品能够很好的满足业主在各方面的要求的话，减速机国内生产企业国家将会面临一个更为严峻的局面由于国家采取了积极的财政措施，拉动了内需，固定资产投资力度加大，各行业的发展驶入了快车道。特别是基础建设的投资，使冶金、电力、建筑机械、建筑材料、能源等加快了发展，因此，对齿轮的需求也逐步扩大。预计随着国家对机械制造业的重视。重大装备国产化进程的加快以及城市的改造、场馆建设的工程项目的开工，减速器的市场前景看好，整个行业仍然保持快速发展态势，尤其是齿轮减速
15、器的增长将会大幅度提高，这与进口设备大多配套采用齿轮减速器有关。因此齿轮减速器的设计显得尤其重要。1.3研究方案1.3.1研究目标本课题的主要研究目标有： 1)通过学习，熟练掌握Matlab软件的使用技巧；2)了解产品的故障物理和故障模型；3)了解齿轮传动的基本知识4)掌握标准试样数学模型；5)了解优化设计的方法与步骤；1.3.2研究内容1）研究产品的故障物理和故障模型；2）齿轮减速器的优化设计1.3.3研究思路查阅资料，学习齿轮传动和优化设计的知识学习Matlab软件的基本操作技能和建立标准试样数学的方法对齿轮减速器进行建模分析，得出优化的数学模型 对计算结果进行分析评价得出结论2 课题研究
16、基础2.1齿轮传动 齿轮传动是利用两齿轮的轮齿相互啮合传递动力和运动的机械传动。按齿轮轴线的相对位置分平行轴圆柱齿轮传动、相交轴圆锥齿轮传动和交错轴螺旋齿轮传动。具有结构紧凑、效率高、寿命长等特点。 齿轮传动是指用主、从动轮轮齿直接、传递运动和动力的装置。 在所有的机械传动中，齿轮传动应用最广，可用来传递相对位置不远的两轴之间的运动和动力。齿轮传动的特点是：齿轮传动平稳，传动比精确，工作可靠、效率高、寿命长，使用的功率、速度和尺寸范围大。例如传递功率可以从很小至几十万千瓦；速度最高可达300m/s；齿轮直径可以从几毫米至二十多米。但是制造齿轮需要有专门的设备，啮合传动会产生噪声。2.1.1齿轮
17、传动的类型1）根据两轴的相对位置和轮齿的方向，可分为以下类型： (1)圆柱齿轮传动； (2)锥齿轮传动； (3)交错轴斜齿轮传动。 2）根据齿轮的工作条件，可分为： (1)开式齿轮传动式齿轮传动，齿轮暴露在外，不能保证良好的润滑。 (2)半开式齿轮传动，齿轮浸入油池，有护罩，但不封闭。 (3)闭式齿轮传动，齿轮、轴和轴承等都装在封闭箱体内，润滑条件良好，灰沙不易进入，安装精确，闭式齿轮传动有良好的工作条件，是应用最广泛的齿轮传动。2.1.2齿轮传动设计准则针对齿轮五种失效形式，应分别确立相应的设计准则。但是对于齿面磨损、塑性变形等，由于尚未建立起广为工程实际使用而且行之有效的计算方法及设计数据
18、，所以目前设计齿轮传动时，通常只按保证齿根弯曲疲劳强度及保证齿面接触疲劳强度两准则进行计算。对于高速大功率的齿轮传动（如航空发动机主传动、汽轮发电机组传动等），还要按保证齿面抗胶合能力的准则进行计算（参阅GB64131986）。至于抵抗其它失效能力，目前虽然一般不进行计算，但应采取的措施，以增强轮齿抵抗这些失效的能力。 1）闭式齿轮传动 由实践得知，在闭式齿轮传动中，通常以保证齿面接触疲劳强度为主。但对于齿面硬度很高、齿芯强度又低的齿轮（如用20、20Cr钢经渗碳后淬火的齿轮）或材质较脆的齿轮，通常则以保证齿根弯曲疲劳强度为主。如果两齿轮均为硬齿面且齿面硬度一样高时，则视具体情况而定。 功率较
19、大的传动，例如输入功率超过75kW的闭式齿轮传动，发热量大，易于导致润滑不良及轮齿胶合损伤等，为了控制温升，还应作散热能力计算。 2）开式齿轮传动 开式（半开式）齿轮传动，按理应根据保证齿面抗磨损及齿根抗折断能力两准则进行计算，但如前所述，对齿面抗磨损能力的计算方法迄今尚不够完善，故对开式（半开式）齿轮传动，目前仅以保证齿根弯曲疲劳强度作为设计准则。为了延长开式（半开式）齿轮传动的寿命，可视具体需要而将所求得的模数适当增大。 前已述之，对于齿轮的轮圈、轮辐、轮毂等部位的尺寸，通常仅作结构设计，不进行强度计算。2.1.3齿轮传动类型1)圆柱齿轮传动 用于平行轴间的传动，一般传动比单级可到8,最大
20、20，两级可到45,最大60，三级可到200，最大300。传递功率可到10万千瓦,转速可到10万转分，圆周速度可到300米/秒。单级效率为0.960.99。直齿轮传动适用于中、低速传动。斜齿轮传动运转平稳，适用于中、高速传动。人字齿轮传动适用于传递大功率和大转矩的传动。圆柱齿轮传动的啮合形式有3种:外啮合齿轮传动，由两个外齿轮相啮合，两轮的转向相反；内啮合齿轮传动，由一个内齿轮和一个小的外齿轮相啮合，两轮的转向相同；齿轮齿条传动，可将齿轮的转动变为齿条的直线移动，或者相反。 2)锥齿轮传动 用于相交轴间的传动。单级传动比可到6，最大到8，传动效率一般为0.940.98。直齿锥齿轮传动传递功率可
21、到370千瓦，圆周速度5米秒。斜齿锥齿轮传动运转平稳，齿轮承载能力较高，但制造较难，应用较少。曲线齿锥齿轮传动运转平稳，传递功率可到3700千瓦，圆周速度可到40米秒以上。 3)双曲面齿轮传动 用于交错轴间的传动。单级传动比可到10，最大到100，传递功率可到750千瓦，传动效率一般为0.90.98,圆周速度可到30米秒。由于有轴线偏置距，可以避免小齿轮悬臂安装。广泛应用于汽车和拖拉机的传动中。 4)螺旋齿轮传动 用于交错间的传动，传动比可到5，承载能力较低，磨损严重，应用很少。 5)蜗杆传动交错轴传动的主要形式，轴线交错角一般为90。蜗杆传动可获得很大的传动比，通常单级为880,用于传递运动
22、时可达1500；传递功率可达4500千瓦;蜗杆的转速可到3万转分；圆周速度可到70米秒。蜗杆传动工作平稳，传动比准确，可以自锁，但自锁时传动效率低于0.5。蜗杆传动齿面间滑动较大,发热量较多，传动效率低，通常为0.450.97。 6)圆弧齿轮传动 用凸凹圆弧做齿廓的齿轮传动。空载时两齿廓是点接触，啮合过程中接触点沿轴线方向移动,靠纵向重合度大于1来获得连续传动。特点是接触强度和承载能力高，易于形成油膜，无根切现象，齿面磨损较均匀，跑合性能好；但对中心距、切齿深和螺旋角的误差敏感性很大，故对制造和安装精度要求高。 7)摆线齿轮传动 用摆线作齿廓的齿轮传动。这种传动齿面间接触应力较小，耐磨性好，无
23、根切现象，但制造精度要求高，对中心距误差十分敏感。仅用于钟表及仪表中。 8)行星齿轮传动 具有动轴线的齿轮传动。行星齿轮传动类型很多,不同类型的性能相差很大,根据工作条件合理地选择类型是非常重要的。常用的是由太阳轮、行星轮、内齿轮和行星架组成的普通行星传动，少齿差行星齿轮传动，摆线针轮传动和谐波传动等。行星齿轮传动一般是由平行轴齿轮组合而成，具有尺寸小、重量轻的特点，输入轴和输出轴可在同一直线上。其应用愈来愈广泛。2.2结构优化2.2.1结构优化的概念及其意义现代结构优化(亦称结构综合) , 主要指数值结构优化或计算机结构优化, 其研究内容是把数学规划理论与力学分析方法结构起来, 以计算机为工
24、具, 建立一套科学的、系统的、可靠而又高效的方法和软件, 自动地改进和优化受各种条件限制的承载结构设计。传统的结构设计方法是设计人员根据经验和判断提出设计方案, 随后用力学理论对给定的方案进行分析、校核。若方案不满足约束限制, 人工调整设计变量, 重新进行分析、校核, 直到找到一个可行方案, 即满足各种条件限制的方案。这个设计过程周期长、费用高、效率低, 并且得到的结果仅是可行方案, 多数不是最优设计。传统的方法无论是分析还是设计都存在大量的简化和经验, 准确性差。科学技术的发展, 工程结构复杂性的增加及其要求的提高, 传统的设计方法已不能满足需要, 人们希望一个准确性好又有良好的设计效率的新
25、方法的出现。计算机的出现, 使这种要求成为可能, 各种计算机辅助分析、计算机辅助设计技术相继出现。其中有限元分析、优化设计是主要的基础方法。1960 年, Schmit 首先引入数学规划理论并与有限元方法结合求解多种载荷情况下弹结构的最小重量设计问题, 形成了全新的结构优化的基本思想, 意味着现代结构优化技术的开始。该概念一经出现, 很快受到了许多学者尤其是结构设计工程师的关注并开展了广泛深入的研究。随着计算机的发展, 结构分析能力和手段的不断完善, 数学寻优技术的提高, 结构优化已成为计算力学中最活跃的分支之一, 其研究已有很多综述报道 。研究的范围十分广泛, 从研究层次上看可有尺寸优化问题
26、、形状优化问题 ,及材料选择 、拓扑优化问题;从问题的复杂程度看已经从简单的桁架设计发展到梁、板、壳等多种复杂元素的结构设计; 设计变量有连续性、离散性 ;约束从最初的应力、位移发展到稳定、动力特性等。随着对工程设计概念例如可靠性、模糊等不确定性的因素的认识, 相应的优化模型也已提出, 基于可靠性概念的优化设计, 结构模糊优化 ; 目标函数有单目标、多目标等; 目前在航空航天领域考虑控制因素的结构优化问题得到了广泛的注意。结构优化软件系统的开发与基础方法研究有同样的重要性, 软件是结构优化用于实际结构的工具。航空工业首先刺激推动了结构优化的发展, 也是目前开发和应用结构优化软件的主要行业。目前
27、已有的程序系统, 如GENESIS 、ASTROS 、STAR、CATIA - EL FINI , ACCESS 、DDDU。一些大的商用有限元分析系统如MSC/ NA STRAN 也已把敏度分析及优化方法包含进去。结构优化有3 个基础, 一是计算机技术; 二是结构分析的方法; 三是数学规划的理论。计算机的技术经过几十年的发展, 无论是硬件还是软件水平都有很大提高, 而且迅速发展, 为结构分析与优化提供了越来越好的实现环境; 结构分析主要采用有限元分析方法, 有限元比结构优化略早, 但几乎是同时发展的, 但有限元方法相当完美的变分原理理论基础及其良好的数值性质使它很快地被工程界所接受, 并早已
28、广泛应用, 现已成为结构力学等领域主要的分析工具。有限元技术为结构优化提供了可靠、强大的分析手段; 数学规划为结构优化奠定了良好的数学基础, 目前严格数学规划方法能处理的变量和约束还不多, 主要是不能解决变量多、约束多这样的工程设计问题。如何把数学规划的理论应用于结构优化设计, 根据结构设计的特点提出通用性、效率及可靠性等均良好的方法正是30几年来人们追求的目标。目前结构优化已有所应用, 但仍没有被广泛接受。2.2.2数学模型数学建模是结构优化第一步, 不管优化是静力问题、动力问题还是形状、拓扑问题或者基于可靠性, 控制问题, 一般都可以非线性规划的形式表示出来。标准的非线性规划模型如下: m
29、in f(x) (X)=0, j=1, ,p (X) ,j=p+1, ,m X其中f ( X) 是目标函数, 一般取结构重量;(X) 为约束函数, 可包括物理方程、协调方程、静或动态强度、刚度限制等;X=、(1) 设计变量既可为连续的, 又可为离散的。对于工程结构设计, 变量通常是很多的。(2) 目标函数、约束函数多数情况下是连续可微的, 也有可能是非连续, 不可微的。(3) 约束函数通常是隐式的, 且具非线性性质, 对不同的问题或者同一问题不同设计点, 非线性程度都是不一样的。对每一组设计要做完全分析, 计算量通常是很大的。因此调用结构分析的次数通常是一个优化方法效率高低的重要指标。对于工程
30、结构设计、约束通常是很多的。2.2.3算法的要求一个方法的好坏, 尤其按大型、复杂工程结构应用的观点, 应按下列的几个方面衡量:(1) 可靠性(reliablity) 无论初始点在那里, 均应收敛到某一局部最优点, 这就是所谓的可靠性或称全局收敛性(global convergence) 、鲁棒性(robustness) 或稳定性(stability) 。(2) 通用性(generality) 通用性是指算法能处理等式和不等式各种约束, 并且对目标、约束函数的形式没有限制。(3) 有效性(efficiency) 算法应在较少的迭代次数内收敛, 并且在每次迭代内应有较少的计算量, 结构优化问题主
31、要以有限元分析次数衡量计算效率, 敏度分析计算量也是重要的指标。(4) 准确性(accuracy) 准确性是指算法收敛到精确的数学意义上最优点的能力。在实际应用中, 对准确性不一定要求很高, 但准确性良好的算法往往数学背景严密, 有更好的可靠性。(5) 易使用性(ease of use) 软件要面向有经验和无经验二类设计人员, 尤其是要对于结构优化理论不熟悉的人员也能较快地掌握, 这就要求算法不能有太多的人工调整的参数。上述几项要求之间有的是相互抵触, 有的是相互联系的。易于使用、精确度高的法通常可靠性也高, 效率高的方法往往损失了一定的可靠性, 反之亦然。可靠性、计算效率和通用性是结构优化方
32、法用于实际最重要的要求。2.2.4 结构优化方法的发展及其现状1)数学规划法和优化准则法1960 年, Schmit 首先给出了用数学规划方法求解多种载荷情况下弹性结构设计的数学表达, 开始了现代结构优化的新时代。在这样的表达式中, 结构优化设计成为在诸如应力、位移、频率等性态函数约束下设计变量空间中目标函数的数学极值问题, 由数学规划方法来实现极值的搜索。结构优化的数学规划方法很快得到发展和应用 。但是直接采用数学规划理论需要很多次调用函数计算, 并且随设计变量的增加而迅速增加, 因而对于实际结构的设计效率太低, 经济性很差, 使方法难于推广到工程结构设计, 在这种背景下, 出现了所谓的优化
33、准则法。1968 年, Prager等针对简单连续体问题提出了分析形式的优化准则, 后经一系列发展 。这些形式准则通常称之为所谓连续型准则(COC - Continum type OptimalityCriteria) , 这种准则往往难于应用于实际。实际结构多离散化, 即以有限元进行分析, 因此, 实用的方法应是以离散化结构为对象的优化准则, 即离散型优化准则(DOC - Discretized Optimality Criteria) 。多数情况下, 优化准则就指离散型优化准则。也是在1968 年Venkayya提出了一个离散型优化准则均匀应变能密度准则, 标志着离散优化准则得到极大重视的
34、开始, 几年内获得很大进展, 导出了应力、位移、频率、屈曲、颤振等约束条件下结构的最佳准则。这类方法基于某一设计准则, 建立一组相应的迭代公式, 按这组迭代公式修改设计, 直至收敛。70 年代, 人们把数学中最优解应满足的Kuhn Tucker 条件作为最优结构满足的准则, 使通用性得到提高, 理论性得到加强。优化准则法最突出的特点是迭代次数少, 且迭代次数对设计变量的增加不敏感, 因而具有很高的计算效率。优化准则也易于编程。所以在此期间, 用于大型结构优化的实用软件多数采用准则法。最近, Venkayya把优化准则法推广到更加一般的系统优化并提出所谓复合射线调整以确保解的可行性。优化准则法虽
35、然有较高的计算效率, 然而在建立迭代公式的过程中经常需要引入一些假设, 这些假设往往与所研究问题的特点, 如约束种类等有关, 因此方法的通用性受到限制。准则方法中, 每次迭代必须选取主动约束集合,而临界约束估计的合理与否, 直接影响收敛的速度, 这就对选取临界约束有严格的要求。准则方法本身没有解决如何识别临界约束的问题, 一般只跑用约束删除方法确定可能的临界约束。一旦临界约束的选取出现一些失误, 如有真实临界约束没被选入, 就会引起收敛过程的跳动等问题。更重要的是, 准则法的递推公式缺乏数学基础, 没有收敛性证明, 也许是引起迭代过程振荡或不收敛的原因。最近, Rozvany 和zhou把CO
36、C 理论与有限元结合起来, 提出一种所谓迭代的COC 算法, 该方法目前仅能考虑应力约束, 一个位移约束, 但计算效率很高, 求解的问题规模(设计变量可达10 万、100 万) 很大, 并且已用于几何、拓扑优化。但该方法尚难推广于任意约束的情况, 通用性仍欠佳。文献对于多位移、多应力、多载荷情况做了一些探索, 但一些假设是勉强的。这些研究使分析学派的思想向实际应用迈进一步, 并架起了分析方法与数值方法的桥梁, 具有重要意义。在准则方法发展的同时, 以数学规划为基础的结构优化方法一直没有间断, 到70 年代中期Schmit 等提出了结构优化的近似概念, 主要包括: 设计变量链化; 约束暂时删除;
37、 利用导数信息对主动约束进行Taylor 展开等, 从而使规划方法有了新的生命力。近似概念的引入, 实际上将原问题转化成为一序列近似优化问题, 通过求解近似问题来逼近原问题的解。近似问题中的目标函数和约束函数均为显函数, 故近似问题易于求解。在整个近似问题的求解过程中无须再做结构分析, 即每形成一个近似问题, 只须一次结构分析和敏度分析。故与结构优化概念引入初期, 直接用数学规划理论求解方法相比,结构分析次数大大减少, 其计算效率与准则法相当。文献中近似问题采用NEW2SUMT 法, 该方法是由罚函数(SUMT) 改进而来。对于SUMT 法, 要求在整个寻优过程中, 设计须处于可行域, 这在实
38、际过程中往往不易实现。而NEWSUMT 法将SUMT 法中罚函数光滑地延伸到非可行域, 且保持原罚函数的最小值, 故这种方法允许有非可行的设计点, 并能引导非可行设计返回到可行域。近似概念的提出大大改进了规划方法的计算效率, 达到了结构分析次数与准则法同等的程度, 但却保持了更好的通用性和更严密的数学基础。数学规划方法与优化准则方法的统一的主要标志是对偶法的出现。Fleury 和Sander在原有最佳准则方法的基础上, 提出了广义最佳准则以及用对偶公式求解结构优化问题, 并研究了准则法和规划方法的关系。接着Schmit 和Fleury提出了近似概念和对偶方法结合的算法, 进一步提高了规划法的效
39、率。上述几项工作把数学规划法和优化准则法联系并统一起来。钱令希等利用Kuhn - Tucker 条件建立了修改设计变量的迭代关系, 用二次规划方法求解拉格朗日乘子也是一种准则法和规划法结合起来的混合方法。对偶方法对于准则法使其系统化、理论化, 对于近似概念提高了求解近似子问题的计算效率, 它使原来相对立的二种方法统一起来, 因而, 具有重要的意义。对偶方法将设计变量空间的寻优过程转化为对偶变量空间寻优, 它要求目标函数和约束函数是变量可分离的形式, 且为凸问题, 可分离性使设计变量和对偶变量有显式关系, 凸性是对偶方法本身所要求的。由于对偶变量少, 且约束简单, 所以易于求解。近似概念, 特别
40、是如何提高近似函数的精度问题是结构优化研究的重要方向。夏人伟等利用目标函数约束函数二阶Taylor 展开构造近似函数, 并利用对偶方法求解近似问题, 该方法提高了近似函数的精度, 但完全的二阶敏度矩阵计算是费时的。该文对于应力、位移约束, 其二阶敏度分析采用了该作者在文献 提出的简化算法, 仅保留二阶敏度矩阵对角项, 并可利用一阶敏度简单算出, 这样该方法的效率就更高了。此后, 该作者又提出基于二次规划理论的准解析法 , 该方法通过目标函数的二阶Taylor 展开及约束函数的线性展开, 建立原结构优化问题的近似问题, 导出了其对偶问题的准解析式, 因而省去了对偶空间的寻优过程。Fleury也利
41、用了二阶信息建立了可用对偶方法求解的近似问题, 该方法线化约束函数, 目标函数用拉格朗日函数的非完全二阶近似, 该方法吸收了序列二次规划(SQP) 的思想, 又保留变量可分离的形式, 因而可以用对偶方法更有效地处理近似问题。在采用近似概念时, 迭代过程有时会出现振荡, 主要原因是近似的精度不够。从数学意义说, Taylor 展开只能在展开点邻域内才有效, 现象及理论分析都要求对变量变化施一限制即移动限制(movelimit) , 移动限制的确定往往是经验性的, 近似精度高低决定着是放宽还是加紧限制。约束近似的进展之一就是发现对某些结构(如杆- 膜结构) 倒变量展开往往比正变量展开得到更好的精度
42、, 尤其对于位移约束, 这样的近似精度相当高。但对于某些约束, 比如局部屈曲, 这种近似并不令人满意, 往往引起收敛过程振荡。针对这个现象, Starnes 和Haftka首先提出了保守近似(conservative approximation) 的思想, 以确保迭代过程中, 中间解尽量向可行域靠近, 这从另一个方面减少了迭代振荡的可能, 放宽了移动限制, 往往也加速了收敛。保守近似的具体做法是根据约束函数对某一变量的导数正负决定约束对该变量或其逆变量做Taylor 展开。这个思想由Fleury 、Svan2berg等发展和拓广。Fleury 等把混合变量展开的思想用于全部函数即目标函数和约束
43、函数全体的近似, 称凸线化(CONL IN - CONvex L INearization) 方法。Svanberg提出移动渐近线方法MMA (Method of Moving Asympotic) , MMA 采用更一般的中间变量 = 1/ ( - ) 或 = 1/ ( -) , 这里和是迭代过程中需不断调整的参数。目标函数或约束函数以何种中间变量展开, 要根据函数对相应原变量导数的正负确定。MMA 是CONL IN 的推广, CONL IN 是MMA 的特例。MMA 和CONL IN 近似子问题都是变量可分离的凸问题, 都采用了对偶方法求解。CONL IN 已用于连接体形状优化及桁架结构的
44、几何优化问题 。Samaoui等利用二阶信息确定MMA 中的和 , 使 、确定较为系统化。Nguyen 等对CONL IN 做了理论上的分析, Longo提出了理论上更严格的保守近似方法。保守近似使中间设计点趋于可行, 这对工程设计中有重要的价值, 但保守近似未必能提供更接近于原约束准确的近似, 这在Haftka的研究中已有所证明。近似函数的近似精度与中间变量的选取有密切关系, 合适的中间变量能有效地改善近似的精度。中间变量有逆变量、混合变量或指数形式具有自适应能力的变量等。对梁、板等结构, 采用逆截面特性(面积及各种主惯性矩) 为中间变量,能得到很好的位移近似质量。周明、夏人伟针对梁、板等复
45、杂结构提出了广义中间变量思想, 使位移、应力、屈曲约束等都能得到良好的近似。该广义中间变量采用截面特性及一些细节尺寸变量的算式。选取合适的中间函数间接近似原函数也是提高近似质量的一种途径。节点力与应力相比对设计变量较为不敏感, 首先近似节点力再间接计算应力能使应力约束或局部屈曲约束得到更好的近似精度。Vanderplaats 与其合作者提出了这种思想, 并且把其应用于杆系、梁系、壳结构的尺寸优化, 以及杆系、连续体的形状优化, 取得很好的效果。对于梁系等复杂结构的优化问题, 采用广义中间变量近似约束, 在细节尺寸变量空间对近似问题寻优这种处理方法能有效地降低结构分析次数, 且保持通用性。多数函
46、数的近似是基于一点函数值、一阶导数、部分二阶导数信息进行展开, 基于二点或多点信息的近似也有不少研究。Haftka从多点逼近的角度出发, 利用约束函数在二点或三点的数值及一阶导数, 通过投影关系引入Hermite 插值多项式, 导出了基于二点和三点的约束函数逼近多项式。但是多点的Hermite 插值多项式的阶数或最高指数随着点数的增加而明显增大, 其非线性程度往往比原函数高。黄季墀等提出了一种含自适应能力的结构综合方法, 利用约束函数在当前设计点上的数值及对设计变量的导数值, 且考虑其在前一阶段设计点上的相应信息, 由所谓的预报公式确定适当的变量空间,在该变量空间中对约束函数进行一阶Taylo
47、r 展开。黄海等把上述两种思想综合起来,构造了类似Hermite 插值多项式的近似约束函数, 并提供可以调整近似函数最高指数的参数, 该参数的确定借助于文献的方法, 使所构成的显式近似函数的非线性程度与真实函数的非线性程度相符, 且其在已知设计点的函数值及导数与原函数对应值相等。一般认为, 具有显式的近似问题求解可用各种优化器不难完成。但当变量很多时, 计算量仍是很大的。针对该问题, 周明等提出了二级近似概念, 即把近似问题进一步近似, 产生一个变量可分离的凸问题, 用效率很高的对偶方法求该凸问题。黄海等把多点逼近与二级近似结合起来, 得到了效率很高的结构优化方法。近似概念基本假设是序列近似子问题的解收敛于原问题的解, 但这一点是难于保证的, 必须十分小心的选择移动限制(move limit) 。近似概念技术删去了严格数学规划方法总是采用的一维线性寻优过程, 线性搜索事实上是很多优化方法收敛的基础。基于这种考虑, 以Arora 为代表的一批学者认为, 近似概念是不可靠的, 他们采用更严格的处理方法, 称之为严格的数学规划方法以区别于数学规划方法中的近似概念。程耿东等采用粗糙线性搜索,
