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1、中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ABC60，G是DF的中点，连接GC、GE（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB10，BF4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GE、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明注意G的两端点D、E所在的直线DCFE【解答】（1）延长EG交CD于点H 易证明CHGCEG，则GE类似的
2、为什么要延长CG呢，可以延长EG吗？（2）延长CG交AB于点I，易证明BCEFIE，则CEI是等边三角形，GEGC，且GEGC为什么是证明BCEFIE你理解吗？（3）你能写出解题思路和过程吗？【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AEAF，DAEBAF.（1）求证：CECF；（2）若ABC120，点G是线段AF的中点，连接DG、EG，求证：DGEG.【解答】（1）证明ABEADF即可；（2）延长DG与AB相交于点H，连接HE，证明HBEEFD即可为什么为什么为什么？【例3】如图，在凹四边形ABCD中，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF
3、延长线于G点，CD交EF于H点，求证：BGECHE.【解答】可以取AC中点吗？取BD中点可证，如图所示：角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形_【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分BAD交BC边于E，EFAE交边CD于F点，交AD边于H，延长BA到G点，使AGCF，连接GF.若BC7，DF3，EH3AE，则GF的长为_.【解答】延长FE、AB交于点I，易得CECF，BABE，设CEx，则BACD3x，BE7x，3x7x，x2，ABBE5，AE，作AJBC，连接AC，求得GFAC3手拉手模型【条件】OAOB，OCOD，AOBCOD【结论】OACOBD，AEB
4、AOBCOD（即都是旋转角）；OE平分AED 【例5】（2014重庆市A卷）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且，连接BE过点C作CFBE，垂足是F，连接OF，则OF的长为_【答案】模型很重要，对吗？ 【例6】如图，ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D，点E在AC边上，连接BE，AGBE于F，交BC于点G，求DFG【答案】45注意挖掘模型成立的条件 【例7】（2014重庆B卷）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BEDG，连接EG，CFEG交EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH若BH8，则FG_这个图
5、包括两个经典模型，哪两个呢？【答案】5 邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD中，ABAD，BADBCDABCADC180【结论】AC平分BCD 【模型2】【条件】如图，四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90【结论】 ACBACD45； BCCDAC _【例8】如图，矩形ABCD中，AB6，AD5，G为CD中点，DEDG，FGBE于F，则DF为_.【答案】这个图包括两个经典模型，哪两个呢？ 【例9】如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使BM1，连接AM，过点B作BNAM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连结ON，则ON的长为_. 【答案】【例10】如
6、图，正方形ABCD的面积为64，BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，则DG的长为_.【答案】44模型又来了！ 半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD中，ABAD，BADBCDABCADC180，EAFBAD， 点E在直线BC上，点F在直线CD上【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足EAF45，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N【结论】BEDFEF； ；AHAB；BM2DN2MN2；ANMDNFBEMAEFBNADAM（由AO：AHAO：AB1：可得到ANM和AEF相似比为1：
7、）；AOMADF；AONABE；AEN为等腰直角三角形，AEN45，AFM为等腰直角三角形，AFM45；A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆【模型2变形】【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是CB、DC延长线上的点，且满足EAF45【结论】BEEFDF【模型2变形】【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是BC、CD延长线上的点，且满足EAF45【结论】DFEFBE【例11】如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线
8、EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q.若AQ12，BP3，则PG_.【解答】连接AE，题目中有一线三等角模型和半角模型设ACx，由BPCCEQ得， 3/（x）x/（x12），解得x12设PGy，由AG2BP2PG2得32(123x)2x2，解得x5【例12】如图，在菱形ABCD中，ABBD，点E、F在AB、AD上，且AEDF连接BF与DE交于点G，连接CG与BD交于点H，若CG1，则S四边形BCDQ_【解答】一线三等角模型【条件】EDFBC，且DEDF【结论】BDECFD【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB3，GC4，连接EF、FG、GE
9、恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为_.【解答】如图，构造一线三等角模型，EFHFGI则BCBFCFHFBHFICIGIBHHECI弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形【例14】如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点F在DE的延长线上，AFAB，AC与FD交于点G，FAB的平分线交FG于点H，过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I.若AH3AI，FH2，则DG_【解答】【例15】如图，ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D，点E是AC中点，连接BE，作AGBE于F，交BC于点G，连接EG，求证：AGEGBE【解答】过点C作CHAC交AG的延长
10、线于点H，易证考查弦图模型，为什么不作CHAG？最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值【解答】，点线为最短记住是往外旋60，那为什么不是绕着H点呢？【例17】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AEDF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值为_【解答】如图，取AB中点P，连接PH、P
11、D，易证PHPD-PH即DH怎样才能找到这样的P点：实际上是某个圆的圆心【例18】如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，BEF沿直线EF翻折到，连接，最短为_【解答】4哪个点是圆心？应该将圆心与哪个点相连？用谁减去谁呢？【例19】如图1，ABCD中，AEBC于E，AEAD，EGAB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF（1）若BE2EC，AB，求AD的长；（2）求证：EGBGFC；（3）如图2，若AF，EF2，点M是线段AG上一动点，连接ME，将GME沿ME翻折到，连接，试求当取得最小值时GM的长图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示为什
12、么这样做辅助线？还有其他方法吗？（3）当DG最小时D、E、三点共线为什么为什么为什么？自己去算吧！解得课后练习题【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积【解答】【练习2】 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABBCCD，点M，N分别在AD，CD上，MBNABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想； 问题2：如图2，在四边形ABCD中，ABBC，ABCADC180，点M，N分别在DA，CD延长线，若MBNABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM
13、，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想， 并给予证明。 【解答】问题一方法一：如图所示方法二：如图所示问题二方法一： 方法二：【练习3】已知：如图1，正方形ABCD中，为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1） 求证：EGCG且EGCG；（2） 将图1中BEF绕B逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3） 将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ 【解答】（1） 略（2） 方法一：如图所示方法二：如图所示（3）方法一：方法二：
