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1、与三角函数有关的几何题例1、如图3，直线经过O上的点，并且，O交直线于，连接（1）求证：直线是O的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，O的半径为3，求的长析解：（1）证明：如图6，连接，是O的切线（2）BC2=BDBE是直径，又，又，BC2=BDBE.（3），设，则又BC2=BDBE，（2x）2=x(x+6解之，得，2 、 已知：如图， 是 O 的直径， , 切 O 于点 垂足为 交 O 于点 （1）求证：;（2）若, 求的长3、如图，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，BOE=60，cosC=，BC=2（1）求A的度数；（2）求证：B
2、C是O的切线；（3）求MD的长度分析：（1）根据三角函数的知识即可得出A的度数（2）要证BC是O的切线，只要证明ABBC即可（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度解答：（1）解：BOE=60，A=BOE=30（2）证明：在ABC中，cosC=，C=60又A=30，ABC=90，ABBCBC是O的切线（3）解：点M是的中点，OMAE在RtABC中，BC=2，AB=BCtan60=2=6OA=3，OD=OA=，MD=点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可4、如图，已知RtABC和RtEBC，B=
3、90以边AC上的点O为圆心、OA为半径的O与EC相切，D为切点，ADBC（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）求证：E=ACB；（3）若AD=1，求BC的长分析：（1）若O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点（2）由（1）知ODEC，则ODA、E同为ADE的余角，因此E=ODA=OAD，而ADBC，可得OAD=ACB，等量代换后即可证得E=ACB（3）由（2）证得E=ACB，即tanE=tanDAC=，那么BC=AB；由于ADBC，易证得EADEBC，可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，
4、进而可得到BC的值解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）（2）证明：连接ODADBC，B=90，EAD=90E+EDA=90，即E=90EDA又圆O与EC相切于D点，ODECEDA+ODA=90，即ODA=90EDAE=ODA；又OD=OA，DAC=ODA，DAC=E）ADBC，DAC=ACB，E=ACB（3）解：RtDEA中，tanE=，又tanE=tanDAC=，AD=1，EA= RtABC中，tanACB=，又DAC=ACB，tanACB=tanDAC=，可设AB=，BC=2x，ADBC，RtEADRtEBC =，即x=1，BC=2x=2
5、 点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O点的位置，是解答此题的关键5、如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DEAC，垂足为E（1）求证：点D是BC的中点；（2）判断DE与O的位置关系，并证明你的结论；（3）如果O的直径为9，cosB=，求DE的长分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；（2）相切连接OD，证明ODDE即可根据三角形中位线定理证明；（3）由已知可求BD，即CD的长；又B=C，在CDE中求DE的长解答：（1）证明：连接ADAB为直径，ADBCAB=AC，D是BC的中点；（2）DE是O
6、的切线证明：连接ODBD=DC，OB=OA，ODACACDE，ODDEDE是O的切线（3）解：AB=9，cosB=，BD=3CD=3AB=AC，B=C，cosC=在CDE中，CE=1，DE=点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大6、如图以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作O的切线交AC边于点E（1）求证：DEAC；（2）若ABC=30，求tanBCO的值分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出ODAC，根据切线的性质可证明DEOD，进而得证（2）过O作OFBD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、C
7、F的长，根据三角函数的定义求解解答：（1）证明：连接ODO为AB中点，D为BC中点，ODACDE为O的切线，DEODDEAC（2）解：过O作OFBD，则BF=FD在RtBFO中，B=30，OF=OB，BF=OBBD=DC，BF=FD，FC=3BF=OB在RtOFC中，tanBCO=点评：本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性7、如图，在等腰梯形ABCD中，ADBCO是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E过E作EHAB，垂足为H已知O与AB边相切，切点为F（1）求证：OEAB；（2）求证：EH=AB；（3）若，求的值分析
8、：（1）判断出B=OEC，根据同位角相等得出OEAB；（2）连接OF，求出EH=OF=DC=AB（3）求出EHBDEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，B=C，OE=OC，OEC=C，B=OEC，OEAB（2）证明：连接OFO与AB切于点F，OFAB，EHAB，OFEH，又OEAB，四边形OEHF为平行四边形，EH=OF，OF=CD=AB，EH=AB（3）解：连接DECD是直径，DEC=90，则DEC=EHB，又B=C，EHBDEC，=，=，设BH=k，则BE=4k，EH=k，CD=2EH=2k，=点评：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性
9、质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题8、如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E（1）求证：直线EF是O的切线；（2）求sinE的值分析：（1）求证直线EF是O的切线，只要连接OD证明ODEF即可；（2）根据E=CBG，可以把求sinE的值得问题转化为求sinCBG，进而转化为求RtBCG中，两边的比的问题解答：（1）证明：方法1：连接OD、CDBC是直径，CDABAC=BCD是AB的中点O为CB的中点，ODACDFAC，ODEFEF是O的切线
10、方法2：因为AC=BC，所以A=ABC，因为ADF=EDB（对顶角），OB=OD，所以DBO=BDO，所以A+ADF=EDB+BDO=90EF是O的切线（2）解：连BGBC是直径，BGC=90CD=8ABCD=2SABC=ACBG，BG=CG=BGAC，DFAC，BGEFE=CBG，sinE=sinCBG=点评：考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证垂直即可9、如图9，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tanOCB=.（1） 求B点的坐标和k的值；（2） 若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出AOB的面积S与x的函数关系式；（3） 探索：1 当点A运动到什么位置时，AOB的面积是；2 在成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.图9【答案】解：（1）y= kx-1与y轴相交于点C， OC=1tanOCB= OB=B点坐标为：把B点坐标为：代入y= kx-1得 k=2（2）S = y=kx-1 S = S =（3）当S =时，=x=1，y=2x-1=1A点坐标为（1，1）时，AOB的面积为存在.满足条件的所有P点坐标为：P1(1,0, P2(2,0, P3(,0, P4(,0. 12分
