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1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形（1）用尺规将图1中的ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积若ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积【答案】（
2、1）作图见解析（2）证明见解析（3）62；6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可（2）根据互补三角形的定义证明即可（3）画出图形后，利用割补法求面积即可平移CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明SEFM=3SABC即可试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，ABD和ADC是互补三角形（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，AB=AE，AF=AC，BAE=CAF=90，EAF+BAC=180，AEF和ABC是两个互补三角形EAH+HAB=BAC+HAB=90，EAH=BAC，AF=AC，AH=AB，
3、在AEH和ABC中，AEHABC，SAEF=SAEH=SABC（3）边长为、的三角形如图4所示SABC=3421.53=5.5，S六边形=17+13+10+45.5=62如图3中，平移CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设ABC=x，AMCH，CHBC，AMBC，EAM=90+90x=180x，DBI=3609090x=180x，EAM=DBI，AE=BD，AEMDBI，在DBI和ABC中，DB=AB，BI=BC，DBI+ABC=180，DBI和ABC是互补三角形，SAEM=SAEF=SAFM=2，SEFM=3SABC=6考点：1、作图应用与设计，2、三角形面积2已知：如图，在
4、平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案试题解析：（1）在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB
5、中，DOEBOF（ASA）；（2）当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：DOEBOF，OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EOD=90，EFBD，四边形BFDE为菱形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定3如图，四边形是知形，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图所示.（1）求图中与的函数表达式;（2）求证:;（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得
6、y与x的函数表达式；（2）证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论；（3）分三种情况：若DEDG，则DGEDEG，若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，若DGEG，则GDEGED，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设ykx+b，由图象得：当x1时，y2，当x0时，y4，代入得：，得，y2x+4（0x2）；（2）BEx，BC2CE2x，四边形ABCD是矩形，CDAF90，CDEADF，ADFCDE，ADF+EDGCDE+EDG90，DEDF；（3）假设存在x的值，使得DEG是等腰三角形，若DEDG，则DGEDEG，四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，DGEGEB，DEGBEG，在DE
7、F和BEF中，DEFBEF（AAS），DEBEx，CE2x，在RtCDE中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，x；若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，ADBC，EHCD，四边形CDHE是平行四边形，C90，四边形CDHE是矩形，EHCD1，DHCE2x，EHDG，HGDH2x，AG2x2，EHCD，DCAB，EHAF，EHGFAG，（舍），若DGEG，则GDEGED，ADBC，GDEDEC，GEDDEC，CEDF90，CDEDFE，CDEADF，2x，x，综上，x或或【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质
8、和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键4如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：yx+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EFx轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t0）当点F1移动到点B时，求t的值；当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与APE重叠部分的面积【
9、答案】（1）EF15；（2）10；120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=10=10；F点移动到F的距离是t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在RtFNF中，=，EM=NG=15-FN=15-3t，在RtDMH中，t=4，S=(12+)11=；当点G运动到直线DE上时，在RtFPK中，=，PK=t-3，FK=3t-9，在RtPKG中，t=7，S=15（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式yk
10、x+b，将点E（30，0），点D（0，40），yx+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），EF15；（2）易求B（0，5），BF10，当点F1移动到点B时，t1010；当点H运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，在RtFNF中，=，FNt，FN3t，MHFNt，EMNG15FN153t，在RtDMH中，t4，EM3，MH4，S；当点G运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，PF3，PFt3，在RtFPK中，PKt3，FK3t9，在RtPKG中，t7，S15（157）120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式
11、，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键5在中，于点，点为边的中点，过点作，交的延长线于点，连接如图，求证：四边形是矩形；如图，当时，取的中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形）【答案】(1) 证明见解析；（2）四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形【解析】【分析】（1）由AEFCED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明ADC=90，即可推出四边形ADCF是矩形（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AG
12、DE、四边形GDCE都是平行四边形【详解】证明：，是中点，在和中，四边形是平行四边形，四边形是矩形线段、线段、线段都是的中位线，又，四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.6如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m1，将它沿EF折叠(点E.F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0n1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，
13、当(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，的值是否发生变化?说明理由.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出ADENDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在RtAED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出PDMGAM，EMPEMG由全等三角形的性质就可以得出结论.（3）如图
14、1，连接BM交EF于点Q，过点F作FKAB于点K，交BM于点O，通过证明ABMKFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是为定值（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90AB=mAD，且n=2，AB=2ADADE+EDF=90，EDF+NDF=90，ADE=NDF在ADE和NDF中，AN，ADND，ADENDF，ADENDF（ASA）.AE=NF，DE=DFFN=FC，AE=FCAB=CD，AB-AE=CD-CF. BE=DF. BE=DERtAED中，由勾股定理，得，即，AE=AD.BE=2AD-AD=.（2）如图3，延长PM交EA
15、延长线于G，GAM=90M为AD的中点，AM=DM四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90，ABCD.GAM=PDM在GAM和PDM中，GAMPDM，AMDM，AMGDMP，GAMPDM（ASA）.MG=MP.在EMP和EMG中，PMGM，PMEGME，MEME，EMPEMG（SAS）.EG=EP.AG+AE=EP.PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不变，理由如下：如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FKAB于点K，交BM于点O，EM=EB，MEF=BEF，EFMB，即FQO=90.四边形FKBC是矩形，KF=BC，FC=KB.FKB=90，KBO+K
16、OB=90.QOF+QFO=90，QOF=KOB，KBO=OFQ.A=EKF=90，ABMKFE.即.AB=2AD=2BC，BK=CF，.的值不变考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质7如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（2，4）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由.（2）若点C在第二象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求点四边形OABC对角线O
17、B长度的取值范围.（3）若在点C的运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从X轴负半轴经过Y轴正半轴，运动至X轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长.【答案】（1）正方形（2）（3）2【解析】分析:（1）连接OB，AC，说明OBAC，OB=AC，可得四边形DEFG是正方形.（2）由四边形DEFG是菱形，可得OB=AC，当点C在y轴上时，AC=，当点C在x轴上时，AC=6, 故可得结论；（3）根据题意计算弧长即可.详解：（1）正方形，如图1，证明连接OB，AC，说明OBAC，OB=AC，可得四边形DEFG是正方形.（2）如图2，由四边形DEFG是菱形，可得OB=AC，当点C在y轴上时，AC=
18、，当点C在x轴上时，AC=6, ；（3）2.如图3，当四边形DEFG是正方形时，OBAC，且OB=AC，构造OBEACO，可得B点在以E（0，4）为圆心，2为半径的圆上运动.所以当C点从x轴负半轴到正半轴运动时，B点的运动路径为2 .图1 图2 图3点睛：本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质以及弧长的计算.灵活运用正方形的判定定理和菱形的性质运用是解题的关键.8如图，在菱形ABCD中，AB=6，ABC=60，AHBC于点H动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动过点E作EFAB，垂足为点F点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，EFG和AH
19、C的重合部分面积为S（1）CE= （含t的代数式表示）（2）求点G落在线段AC上时t的值（3）当S0时，求S与t之间的函数关系式（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在EFG内部时t的取值范围【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当t2时，S=t2+t-3；当2t3时，S=-t2+t-；（4）t【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出ABC是等边三角形，得出ACB=60，由等边三角形的性质和三角函数得出GEF=60
20、，GE=EF=BEsin60=t，证出GEC=90，由三角函数求出CE=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：当t2时，S=EFG的面积-NFN的面积，即可得出结果；当2t3时，由的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在EFG内部时，t的不等式，解不等式即可试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，四边形ABCD是菱形，BC=AB=6，CE=BC-BE=6-2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：四边形ABCD是菱形，AB=BC，ABC=60，ABC是等边三角形，ACB=60，EFG是等边三角形，GEF=60，GE=EF=BE
21、sin60=t，EFAB，BEF=90-60=30，GEB=90，GEC=90，CE=t，BE+CE=BC，2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：当t2时，如图2所示：S=EFG的面积-NFN的面积=（t）2-（-+2）2=t2+t-3，即S=t2+t-3；当2t3时，如图3所示：S=t2+t-3-（3t-6）2，即S=-t2+t-；（4）AH=ABsin60=6=3，32=，32=，t=时，点P与H重合，E与H重合，点P在EFG内部时，-（t-）2t-（2t-3）+（2t-3），解得：t；即点P在EFG内部时t的取值范围为：t考点：四边形综合题9已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y
22、轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC，BAC=90，如图1所示（1）填空：AB= ，BC= （2）将ABC绕点B逆时针旋转，当AC与x轴平行时，则点A的坐标是当旋转角为90时，得到BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式在的条件下，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？（3）将ABC向右平移到ABC的位置，点C为直线AB上的一点，请直接写出ABC扫过的图形的面积【答案】（1）：5；5；（2）（0，2）；直线BD的解析式为y=x+3；S=；（3）ABC扫过的面积为【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点
23、的坐标，利用勾股定理即可解答；（2）因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；过点C作CFOA与点F，证明AOBCFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据ACBD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90圆心角的扇形面积减去以AB为半径90圆心角的扇形面积求出答案；（3）利用平移的性质进而得出ABC扫过的图形是平行四边形的面积试题解析：（1）一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（-4，0），B（0，
24、3），AO=4，BO=3，在RtAOB中，AB=，等腰直角三角形ABC，BAC=90，BC=；（2）如图1，B（0，3），OB=3，AB=5，AO=AB-BO=5-3=2，A（0，-2）当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），如图2，过点C作CFOA与点F，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，BAO+CAF=90，OBA+BAO=90，CAF=OBA，在AOB和CFA中，AOBCFA（AAS）；OA=CF=4，OB=AF=3，OF=7，CF=4，C（-7，4）A（-4，0）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：，则直线AC解析式为y=x，将ABC绕点B逆时针
25、旋转，当旋转角为90时，得到BDE，ABD=90，CAB=90，ABD=CAB=90，ACBD，设直线BD的解析式为y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，直线BD的解析式为y=x+3；因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90圆心角的扇形面积减去以AB为半径90圆心角的扇形面积，所以可得：S=；（3）将ABC向右平移到ABC的位置，ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3：将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3，求得C的横坐标为，平行四边CAAC的面积为（7+）4=，三角形ABC的面积为55=ABC扫过的面积为：考点：几何变换综合题10（本题满分10分）如图1，已
26、知矩形纸片ABCD中，AB6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处（1）求矩形ABCD的边AD的长（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示设DPx cm，DMy cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围（3）当折痕MN的端点N在AB上时，求当PCN为等腰三角形时x的值；当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD3；（2）y=其中，0x3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股
27、定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及RtMPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQCD，根据RtNPQ的勾股定理进行求解；（4）根据RtADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据RtPBC的勾股定理可得：AD3（2）由折叠可知AMMP，在RtMPD中，y=其中，0x3.（3）当点N在AB上，x3， PC3，而PN3，NC3.PCN为等腰三角形，只可能NCNP过N点作NQCD，垂足为Q，在RtNPQ中，解得x=（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形设MPy，在RtADM中，即 y= S=考点：函数的性质、勾股定理.
