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1、中考28汇编1如图，在四边ABCD中，BC=DC，BAD+BCD=180，ACBC，O是AB的中点（1） 如图1，求证：OCD=OBC（2） 如图2，E是AC上一点，连接OE并延长交AD于点F，连接BD，分别交AC、OC于点M、N，若FOC=3CBD， ，试探究线段OE和EF之间的数量关系，并证明你的结论。2ABC，ACB=90，点D在BC上，点E在AD上，CEB=90，CED=CBA，CE的延长线交AB于点F，连接DF。（1） 如图1，求证：EFD=DBE；（2） 如图2，若，DF与BE交于点G，猜想GF与DB之间的数量关系并证明。3已知，如图1，等腰直角ABC中，AC=BC，等腰直角CDE
2、中，CD=DE，ADBC，CE与AB相交于点F，AB与CD相交于点O，连接BE（1） 求证：F为CE中点；（2） 如图2，过点D作DGBE于G，连接AE交DG于点H，连接HF，请探究线段HF与BC之间的数量及位置关系，并证明你的结论。4如图在四边形ABCD中，连结BD、AC相交于F，AB=BC，AD=DE=DC，ABC+EDC=180，且。（1） 如图1，求证：ADE=2DCA；（2） 如图2，过点B作BHCD于点H，交AC于点G，连结EC交BD于点P，交BH于点Q，若，试探究线段PE与PQ之间的数量关系，并证明你的结论。5在RtABC中，ACB=90，作CHAB于点H，D、K分别为边AB、A
3、C上的点，连接CD、DK，在射线DK上取一点E，使DCE=B，且。（1） 如图，求证：CED=90；（2） 连接AE并延长交直线BC于点G，探究线段BC、BG、DH之间的数量关系，并证明你的结论。 6如图，等腰ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，点E在直线AC上，直线DE交直线BA于点F，且BDA=CDE（1） 求证：；（2） 当BAC=120时，作射线CF，在射线CF上确定一点G，使BGC=ABC，直线BG交直线AC于H，请你猜想AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系，并且证明你的猜想。7已知，ABC中，点D为AB中点，点E、F分别是射线AC、CB上的点，连接DE、EF、DF，
4、EDF=90，A=EFD（1） 求证：ACB=90；（2） 若点D关于EF的对称点为N，连接CN，过点F作FHCN交直线CN于点H，试探究CE、CN、FH三者之间的关系，并证明你的结论。8如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，AC平分BAD，ABD的角平分线交AC于点E，CBD=CAD，点A关于直线BE的对称点F在BD上，连接AF。（1） 如图，求证：BCE=2CAF；（2） 如图，过C作BD的垂线分别交BD、BE于点P、G，过E作AB的垂线交AB于点H，若BCE=4GCE，BE=3AE，试探究线段BD、CG、DF之间的数量关系，并证明你的结论。9在ABC与ADE中，点E在BC
5、边上，AG为ADE的中线，且EAG=ACB，DAG=B（1） 如图1，求证：；（2） 如图2，点F是AC中点，连接DF，AFD=DAE，连接CD并延长交AB于点K，过点D作DQBC交BK于点Q，求证：点Q为BK的中点；试探究线段BE与DQ的数量关系，并证明你的结论。10如图，ABC中，CAB=45，点D在ABC内部，ADC=135，点E在ABC外部，EA=EB，DE平分ADB（1） 如图1，求证DBA=ACD；（2） 如图2，若CBAB，猜想线段CD与AC之间的数量关系并证明。11ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，E为ABC外一点，连接DE、AE和BE，AD=DE，BEAC。（
6、1） 如图1，求证：BED=DAB；（2） 如图2，当D为BC中点时，作DFAC于F，连接BF交DE于点H，作AKBF分别交BF、DF于点G、K，AF= 4DK，试探究线段DH和AE之间的数量关系，并证明你的结论。12ABC，点D在AB上，AD=AC，连接CD，点E、F分别在线段BC、射线CA上，EDF=ACB，点G在DF上，（1） 如图，求证：DGE=BAC；（2） 若AD=3BD，射线CG交AB于点H，探究线段DH，FA，FC之间的数量关系，并证明你的结论。13如图，在ABC中，点D在AB边上，ADC=ACB，（1） 求证：A=30；（2） 点E在线段AB上，连接CE，把射线EC绕点E顺时
7、针针旋转30，所得射线与过点C且垂直EC的直线相交于点F，取EF的中点G，连接BG并延长，交射线AC于点H，请探究线段CH、CD、BE之间的数量关系，并证明你的结论。14如图，在ABC中，ACB=90，tanABC=2，BD为AC边上的中线，点F在线段BD上，且DF=2BF，连接CF并延长，交AB边于点E（1） 求证：CEA=90；（2） 点P在线段CA上，过点P作PHCE，交线段AB于点G，交射线BD于点H，请探究线段PC、PD、GH之间的数量关系，并证明你的结论。15如图，在ABC中，BD平分ABC，交AC边于点D，CE平分ACB，交AB边于点E，BD与CE交于点F，且（1） 求证：A=6
8、0；（2） 点G在射线AF上，点H在线段AC上，GHAC，若FC=3DF，请探究线段AG、DH、EF之间的数量关系，并证明你的结论。16如图，在ABC是中，ACB=90，AC=BC，点D在射线AC上，点E在线段BD上，点F是线段AB的中点，连接EF，且（1） 求证：BEF=45；（2） 过点A作AHBD，垂足为点H，连接HC，延长FE，交HC于点G，请探究线段GE、EF、BH之间的数量关系，并证明你的结论。 17已知：正方形ABCD中，点E在射线BC上，作射线DE，其中0CDE45，过点B作DE的垂线分别交射线DC、射线DE于点F、H，作射线AE交射线DC于点G（1） 如图，求证：；（2） 作
9、射线AC交射线BF于点Q，点P是线段AG上不与点A、G重合的一点，连接CP、PQ、GH，若CPQ=GHQ+CED，探究线段PQ、PC、PG之间的数量关系，并证明你的结论。18.如图，在ABC中，ABC=120，AB=CB，BHAC于H，D是射线BH上一点，连接AD，以点A为旋转中心，将射线AD顺时针旋转，交射线BH于E，在射线AE上取一点F，连接FC，点D在AF的垂直平分线上（1） 如图1，求证：BCF=90；（2） 连接BF，取BF的中点G，连接DG，探究线段FC、DG、BH三条线段间的数量关系，并证明你的结论。19.已知ABC为等边三角形，点D为AB边的中点，点E在过B点且平行于AC的直线
10、上，点F在射线DA上，连接EF、CF、CE，EF=CF（1）如图，求证：CEF为等边三角形；（2）将线段CE沿着线段CF翻折，交过D点且平行于BC的直线于点G，请探究线段BE、DG、AB之间的数量关系，并证明你的结论。20.如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边的下方，且BCF=45，连接AF，交线段BE于点G，交BC边于点H（1）求证：AGE=45；（2）过点G作GMAN，交直线CD于点M，请探究线段BN、DM和AB之间的数量关系，并证明你的结论。1.证明：（1）过点C作CTAB于点T，CRAD，交AD延长线于点R，CRD=CTB=90设BAC=a，ACBC，ACB=90 B
11、=90 a 又O是AB的中点，OC=OB=OA，OCA= a，OCB=90 a BAD+BCD=180，B+ADC=180， ADC+CDR=180，CDR=B=90 a CD=CB，CRDCTB，CR=CT，CAR=CAB= a CAR=ACO= a ADOC，OCD+ADC=180，OBC+ADC=180，OCD=OBC（2）线段OE与EF之间的数量关系是：连接OD交AC于点H，过点D作DLAB交AC延长线于点L L=LAB=DAL，LDB=DBA，DL=DA，MDLMBA， BAD=2 a，BCD=180 CD=CB，CDB=CBD= a OC=OB，OBC=OCB=OCDOCBD，BN
12、=DN，OD=OB=OC=OA ODA=OAD=2 a ，由（1）ADOC，DOC=ODA=2 a ，BOC=OAD=2 a ，FOC=3CBD=3 a ，FOD= a ，FOD=HCO= a OFDCHO，FD=OH 设BN=7k，DM=6kMN=k，BM=8k ， DAC=OCA，AHD=CHO，HADHCO 设AD=3m， 则OA=OC=OD=2m， OCA=DAC，FEA=OEC， AEFCEO 2. 证明：（1）CED=CBA ECD=BCF ECDBCF FCD=BCE ECBDCF EFD=DBE；（2） 延长BE交AC于点H CEB=90，HCB=90，HCE+ECB=ECB+
13、CBE=90 HCE=HBC CHE= BHC HCEHBC EFD=DBE=ECH FDAC HAE=FDEFDE+EFD=CED FBG+EBD=CBA FDE=EBF HAE=EBF EHA=AHB HAEHBA HC=AH DFHC DGBCHB 同理 DG=FG 由DGBCHB得 ACB=90 设AC= 2k 则AB= 3 k 3. 证明：（1）连接DF ADBC DAO=ABC=45 又DCF=45，DAO=DCF又AOD=COB AODCOF 又AOC=DOFAOCDOF CAO=CDF=45 CFD=90，又CD=DE CF=EF（2）过C作CE的垂线交ED的延长线于K，连接K
14、A 可证EBCKAC CE=CKCKA=CEB CKD=45，即CEB+AKD=45 又DGBE DGE=90DEG+DGE=90 又DEC=45 EDG+BEC=45 AKD=GDEDHAK EH=EA HFAC， 又BC=AC 延长HF交BC于点N， HNAC，ACBC ACB=HNB=90HFBC4.证明（1）过点D作DMAB于点M，DNBC于点N DME=DNC=90ABC+EDC=180 BED+BCD=360 180= 180 BED+AED=180AED=BCD AD=DE=DC ADM=EDM ADE=2MDE DMEDNC（AAS） DM=DN MDE=NDC BD平分ABC
15、 EAD=BAD AEDADB AED=ADB=EAD AB=BD=BC ACBD BDC=BCD ACD=NDC=MDE ADE=2DCA（2） 由（1）得：ABD=CBD DE=DC DEC=DCEABD+CBD+EDC=180 DEC+DCE+EDC=180ABD=CBD=DEC=DCEBD=BC BHCD DBC=2DBH ACBD DBH+BDC=90DCF+BDC=90 DBH=DCF ADE=2DCF DCE=2DCF DCF=FCP FPC=FDCPC=DC PF=DF=AM=EM 在RtGHC中， 设GH=k 则CH=DH=3k CD=DE=CP=6k 在RtCHG中 DFC
16、=GHC=90 GCH=GCH GHCDFC EDB=EDP EPDBED QHCCFB EPD=BPC EPDBPC 5. 证明：（1）如图1，CHAB BHC=90 又ACB=90 B=ACHDCE=B DCE=ACH DCH=KCE 又 即 CEKCHDKEC=DHC=90 CED=90（2）如图2 当点D在线段BH上时，过点D作DC的垂线交CE的延长线于点M，连接AM由（1）可知DCM=ACH cosDCM=cosACH 又DCH=MCACDHCMA MAC=DHC=90 MAC+BCA=90+90=180MABCAME=GCE 又AEM=CEG AMEGCE 又 如图3 当点D在线段
17、AH上时 同理可得6. 证明：（1） 方法1：如图1，过A作DF的平行线交BC于K，AKDF，AKDE， BDA=CDE，AKC=ADB，AB=AC，B=CABDACK，BD=CK，BK=CD，AB=AC，方法2：如图2，AB=AC，B=C，ADB=FDC，BDF=CDA，BDFCDA，B=C，ADB=FDC，ABDECD，（2）BGC=BCH，GBC=CBH，GBCCBH，BHC=BCG，FBC=HCB，BHCFCB，过点A作BC的垂线，垂足是K，BAC=120，则，AKB=90， ，由（1）得， CH=3CE。 如图3，当H在AC上时，AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：3CE+AH
18、=AB 如图4，当H在CA延长线上时，AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：7. 证明：（1）过点D作DHAB交AC于点H，在RtAHD中 A=EFD，在RtEFD中， AD=BD ，EDF=ADH=90，EDH=FDB，EHDDFB，H=BCMH=DMF ACB=HDB=90（2）当点E在AC上时，过点N作NQBC于点Q，NPAC于点P，NPE=NQF=90，PNQ=ENF=90，PNE=QNF，PNEQNF，矩形PNQC，PN=CQ tanNCQ=tanB NCQ=B CHAB，过点E作EMCN于点M，MCE=A， ，EMH=H=ENF=90，MNEHFN 第二情况当点E在AC延长线上
19、时，同理可证：8. 证明：（1）过点C作CNBE于N，延长BE交AF于W，AC平分BAD，BE平分ABD，BAC=CAD，ABE=EBD，BEC=ABE+BAE，CBE=EBD+DBC，DBC=CAD，BC=CE，CNBE，2=1， A、F关于BE对称，BEAF于W，NCAF，BCE=2CAF（2）解： 过G作GQAB交AE于Q，DAM=MBC，3=4，AMDBMC，AMBDMC，BAM=BDC=CBD，BC=CD，BPBD，BP=PD，5=6，7=8，BHEBPG，GQAB，EQG=EAB，A、F关于BE对称，BE是AF的垂直平分线，BA=BF，BAF=BFA，设CN与BP相交于点K，BNC
20、=BPC=90，BKN=CKP，5=6=KCP，BCE= 4GCE，BC=CE，GCQ=KCP=ABE，GCQEBA， ， ，BD-DF=BF=AB，9.（1）证明：如图1，延长AG至M，使得MG=AGDG=EG，AGD=EGM ADGMEG.DAG=M，AD=EMDAG=B M=BEAG=C，AMECBA AB=AC(2)EAG=ACB，DAG=B,EAD+BAC=180,又EAD=AFD（图2）AFD+BAC=180DFABCDFCKACD:CK=CF:AC=1:2,DK=CDDQBC，KDQKCB,CD=DK,QK=BQ BC=2QD 点Q为BK的中点BE与DQ的数量关系为延长BA至R，
21、使AR=AB，连接CR、DR,EAD+BAC=180 CAR+BAC=180 EAD=CAR,EAD+CAD=CAD+CAR，即EAC=DARDAREAC,DRA=ACB 即DR=CE DQBC AQD=B,ABCDQR即DR=DQ CE=DQ，CE=10. 证明：（1）过点E分别作EFAD，EGBD，点F、G为垂足，ADE=EDB，EF=EGAE=EB，AFE=BGE=90，RtAFERtBGE，FAE=GBE AE=EB，EAB=EBA，DAB=DBA CAB=45，ADC=135，DCA+CAD=CAD+DAB=45，ACD=DAB，DBA=ACD（2） 设ED交AB于点M，DAB=DB
22、A AD=DB DE平分ADBDMA=90 AM=MB 延长ED交AC于点N，ABC=DMA=90，MNBC，AM=MB ，AN=NC，CAB=BCA=45，AND=ACB=45CND=135，CND=CDA，NCD=DCA，NDCDAC， 11. (1)证明：过点D作DMAB于M, 过点D作DNEB于N, AB=AC，1 =C, ACBE，2 =C,1分,2 =1, 1分, DM=DN,在RtADM和RtEDN中,AD=DE, DM=DN, ADMEDN, 1分, BED=DAB1分,(2) DH=AE1分,AB=AC，BD=DC，ADBC, AGB=ADB=90, 3=4,KAD=FBC,
23、ACB+FDC=90, ADF+FDC =90,ACB=ADF, ADKBCF, , 1分,tanACB=,DK=DF, K为DF中点, 1分,延长ED交AC延长线于P，作DQFC交BF于Q, 设DK=a, AF=4a,DF=2a, AD=,FDC=DAF, ,FC=a,DQFC,DQ=CF=a,BD=DC, BED=P, EDB=CDP,EBDPCD, DE=AD=DP, DFAC,AF=FP=4a ,AD=DP=,AE=2DF=4a, CP =3a, 1分,DQFC, ,DH=a, DH=AE1分12. 证明：（1）， AD=AC 又EDG=ACB，EDGBCA， DGE=BAC（2）如图
24、2，当点F在AC上时，过点B作AC的垂线，点P为垂足，设AB=8k，则由得AP=7k，AD=3DB，AC=AD=6k，PC=k，在RtABP内 AB=8k，AP=7k，在RtBCP内，PC=k，BC=4k，BD=2k，又CBD=ABC，CBDABC，DCB=A，设EG交CD于点O，由DCB=A=DGE GOD=EOC，GODCOE，又COG=EOD，CGOEDO，GCD=GED，由（1）EDGBCA得GED=ABC，GCD=ABC，CHD=BHC，CHDBHC，设HD=3t，则CH=4t， 如图3，当点F在CA延长线上时，13. （1）证明：BC2=BDBA CBD=ABC CBDABC BD
25、C=ACB ADC=ACB ADC=BDC ADC+BDC=180ADC=BDC=90=ACB tanA= A=30（2）当点E在线段BD上时 连接BF、CG ECF=ACB=90 BCF=ACECEF=A=30 BCFACE BFC=AEC BFC+BEC=AEC+BEC=180EBF+ECF=180 EBF=90=ECF G为EF中点 CG=BG= EF=EGGCE=GEC=30，GCB=GBCGCB+GCH=GBC+H GCH=HCG=FH=BG BH=EFA+ABC=ABC+BCD=90 BCD=A=CEF=30CBG=DCE CBHDCE CD=BDCD=（BE+DE）=（BE+CH
26、）=BE+CH 即CD=BE+CH当点E在AD上时，同理可证，CD=BE-CH 14. 解：（1）过B作BMAC交CE延长线于点K K=FCD，FB K =FDC ，FB KFDC tanABC= AC=2BC BD为AC边上的中线 AD=CD=BC tanK =2=tanABC，K =ABC K +BCM=90，ABC+BCK =90，BEC=90 CEA=90（2）过点D作DNAB于点N， tanA=，设DN=a，则AN=2a ，AD=，BC=CD=AB=5a，BN=3a，tanDBN=PHCE，PGA=CEA=90，BH=GH延长GP，交BC的延长线于点R，过H作HMBC于点M，设GH=
27、m，则BH=，BC=CD，CBD=45， BM=MH=R+ABC=90，ABC+A=90，R=A，tanR=tanA=CR=2CP，RM=2HM=2，BR=33HG当点P在线段CD上时，BR=BC+CR=CD+CR=2CP+CP+PD=3CP+PD3CP+PD=3HG当点P在线段AD上时， 同理可求，3CP-PD=3H15. 解:（1）BD平分ABC，CE平分ACB CBF=ABC，BCF=ACBBFC=180-(CBF+BCF) =180-(180-A) =90+ACF CE=CD CA， FCD=ACE，FCDACECFD=A CFD+BFC=180，A+90+A=180 A=60（2）过
28、点F作FLAB，FMCB，FNAC，垂足分别为L、M、N，BD平分ABC，CE平分ACB FL=FM，FN=FM，FL=FNFAN=BAC=30，AH= BAC=60，EFD=BFC=90+BAC=120EFD+BAC=180，AEF+ADF=180AEF+FEL=180，FEL=ADF FLE=FND=90，FL=FDFLEFND，EF=FD FC=3DF，FC=3DF=3EF，过PD作DPCE于点P，设EF=FD=2a，则FC=6a，CFD=A= 60，FP=a，CP=5a，DP=，CD= CF CE=CD CA，CA= ，AD= AD=EF当点G在线段AF上时，AH+DH=EF+DH=E
29、F当点G在AF延长线上时，同理，-DH=EF16. 解:（1）ACB=90，AC=BC A=45 点F是AB的中点，AB=2BF 2BF2=BE BD，ABBF=BE BD EBF=ABD，EBFABD BEF=A=45（2）连接FH、FC，作CMCH，交BH于点M，AHBD，AHB=ACB=90HDA=CDB，HAC=MBCF是AB中点，HF=CF=AB，HCM=ACB=90，HCA=BCM，又AC=BC，HACMBC，CH=CMCHM=FEB=HEG=45，FGCH，EG=HG=GC=CH=HM，HM =EG 连接CE，则CE=HE，HCE=45，ECM=FCB=45，ECF=MCBCEF
30、=90+45=135，CMB=180-CMH=135CEF =CMB，CEFCMB，BM=EF当点D在线段AC上时，BH=HM+BM，BH =EF+EG当点D在AC延长线上时, 同理可求，BH=EF-EG方法二(提示) 作FNBH，EF=FN=AH=BMBM=EFBH=EF+EG17. 证明：（1）如图1，正方形ABCD中，AB=BC=DC，BCD=90，BHDE BHE=90，CBF+DEB=90，又CDE+DEB=90，CBF=CDE，CBFCDECF=CE，CDAB， ，（2）当点F在线段DC上时（如图2）连接DQ，连接QG并延长交DE于点N，由CQFAQB得 ，即又QAG=CAE，AQ
31、GACE，AQG=ACE 图2 QGCE CQG为等腰直角三角形 BC=CD BCQ=DCQ CQ=CQ CBQCDQ CBQ=CDQCBQ=CDE CDQ=CDE 又DG=DG DGQ=DGN=90，DQGDNGQG=GN 又QHN=90，GH=QG QHG=HQG=HBCCPQ=GHQ+CED=HBC+CED=90 过点G作GMGP交CP于点M，设PC与QG的交点为O，PQG+POQ=MCG+COG=90 POQ=COG， PQG=MCG同理PGQ=MGC 又QG=CG GPQGMC PQ=CM 又当点F在线段DC延长线上时（如图3）18. 证明：（1）连接DF、DC AB=CB，BHAC
32、，点D在AF的垂直平分线上，AD=FD=DCDFC=DCE，DAC=DCA，BAC=BCA=30，又BHAC，ABH=CBH=60，DFA=30，四边形ABCF的内角和为360，DFA+DAF+BAC+BCA+ABC=240，2（DCF+DCA）=120，DCF+DCA=60，BCF=BCA+ACF=90（2）如图，延长CF、BE交于点I，过G作GJFC交BE于J，延长DG交FC于L，连接GC，由（1）得：AD=FD=DC，BCF=90，FG=BG=GC，DG垂直平分CF，DLF=BCF=90，DGBC，JDG=EBC=60，I=GJD=30，JGD=90，IC=2HC，JGIF，BGJBFI
33、，IC=IF+CF ，即 如图，同理可证19. （1）过F作FMBE于M，FNBC于N，则FMB=FNC=90，ABC为等边三角形，AB=BC=CA，ABC=ACB=BAC=60，BEAC，FBM=BAC=60，FBM=FBNFM=FNEF=CF，FMEFNC MFE=NFCMBN=FBN+FBM= 120，MFN=EFC=60CEF为等边三角形（2）CEF为等边三角形，CE=CF，ECD=BCA=60，ECB=FCA，ECBFCA，BE=AF，BCE=ACF连接CD，则CDAB，ACD=BCD=30，BCE+FCD=30 过C作CHDG于H，则BCH=CHG=90，ECF=60，ECG=2ECF=120，BCE+GCH=30 ，GCH=FCD GCHFCD，GHDF=DCCH，DGBC，HDC=BCD=30，DC=2CH，DH=DC，GH=DF，DC=BC=AB，DH=AB当当点F在线段DA上时， BE+2GH=AF+DF=AD=ABBE+2(DG-DH) =BE+2DG-2DH=BE+2DG-AB=AB，2DG +BE=
