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1、三角形易错点8:直角三角形的性质与判定,特别注意的两条性质:直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.易错题9:如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC1,CE3,H是AF的中点,则CH的长为( )A.2.5 B. C. D.2错解:D正解:B赏析:本题由于不能准确找到直角三角形并利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质而造成错解. 正确的解法是:如图,连接AC、CF,在正方形ABCD和正方形CEFG中,BC1,CE3,由勾股定理或三角函数可得AC,CF3,又ACDFCG45,ACF90,在RtACF中,由勾股定理,得AF
2、2,又H是AF的中点,CHAF2.不善于添加辅助线来求解问题也是造成错解的主要原因之一. 易错点9:勾股定理及其逆定理的综合应用,在运用勾股定理及其逆定理计算或证明有关问题时面积法的运用.易错题10:如图,矩形ABCD中,AB3,BC4,点E是BC边上一点,连接AE,把B沿AE折叠,使点B落在点B处,当CEB为直角三角形时,BE的长为_.错解:3正解:3或 赏析:本题只考虑了BEC90的一种情况而造成错解.本题应分三种情况讨论求解:当BEC90时,如图1,BEB90,又由折叠可得BEABEA,BEABEA45,ABE、ABE均为等腰直角三角形,四边形ABEB为正方形,点B落在AD上,BE3;当
3、EBC90时,如图2,由折叠可得BABE90,点B恰好落在AC上,ABAB3,在RtABC中,由勾股定理得AC5,CBACAB532,由折叠得BEBE,设BEBEx,则ECBCBE4x,在RtEBC中,由勾股定理得x222(4x)2,解得xBE;当ECB90时,则点B落在CD上,则BCABCA45,这与已知四边形ABCD为矩形相矛盾,此种情况不存在.故BE的长为3或. 易错点11:锐角三角函数的定义以及运用特殊角的三角函数值的计算易出错.易错题12:如图是以ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CDAB于点D.已知cosACD,BC4,则AC的长为( )A.1 B. C.3 D
4、.错解:B正解:D赏析:本题主要对锐角的三种三角函数正弦、余弦及正切的概念理解不清造成错解.如图,在RtABC中,C90,ABc,ACb,BCa,则sinA,cosA,tanA.本题正确的解法是:AB是半圆O的直径,ACB90,又CDAB,AACD90,AB90,ACDB,cosACDcosB,在RtABC中,cosB,解得AB,在RtABC中,由勾股定理得AC.(也可用B的正弦或正切求解)易错点12:解直角三角形的应用,特别要注意通过作辅助线将图形转化为直角三角形的方法.易错题13:为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米,宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘
5、成45角,那么这个路段最多可以划出_个这样的停车位.(1.4)错解:18正解:17赏析:本题可能对题意没有理解清楚,不知怎样求每个车位所占路段长而导致错解,也可能是计算出错导致错解.正确的解法是:首先计算右侧第一个车位所占路段长:如图1,由题意,得ACB、EDB均为等腰直角三角形,在EDB中,cosEBD,BDBE cosEBD2.21.11.41.54,同理,CBAB cosABC52.51.43.5,CDCBBD1.543.55.04(米),即第一个车位所占路段长;再计算每增加一个车位所需路段长:如图2,由题意,得ABC为等腰直角三角形,cosCAB,AB2.22.21.43.08(米),
6、即每增加一个车位所需路段长;接下来,可设可以划出x个车位,由题意,得5.043.08(x1)56,解得x17.5,x取最大整数,x17.注意:本题结果取近似值时应采用去尾法,只舍不入,这也是造成本题错解的可能原因之一.易错点13:相似三角形的性质,三角形相似的判定.易错题14:如图,在直角三角形ABC中,C90,其内部放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为( )A.5 B.6 C.7 D.8错解:A正解:C赏析:本题图形中,相似三角形比较多,由于不能准确找出哪两个相似三角形来求解,从而造成错解.本题应找出能够用3,4,x或含x的式子表示出三边的两个相似三角形,然后利用相似三角形的性质
7、来求解,如图,C90,CFGCGF90,又EFG90,DFECFG90,DFECGF,又FGHM,CGFGMH,DFEGMH,又DEGGHM90,DFEGMH,,DE3,GHx4,FEx3,MH4,化简得x27x0,x10,x27,x0,x7.易错点14:相似三角形面积之比等于相似比的平方. 易错题15:如图,平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等,则_.错解: 正解:赏析:本题可能以为相似三角形的面积之比等于相似比而造成错解,相似三角形的面积之比等于相似比的平方.正确的解法应是:SADES四边形DBCE,设SADEx,则S四边形DBCEx,SABCxx2x,又DEBC,ADEABC
8、,.易错点15:相似与全等的综合运用;相似与锐角三角函数的综合运用.易错题16:如图,矩形ABCD中,AB3,AD4,E为AB上一点,AE1,M为射线AD上一动点,AMa(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M作MGEM,交直线BC于点G.(1)若M为边AD的中点,求证:EFG是等腰三角形;(2)若点G与点C重合,求线段MG的长;(3)请用含a的代数式表示EFG的面积S,并指出S的最小整数值.错解:(1)证明:如图1,四边形ABCD是矩形,AMDF90,M为边AD的中点,MAMD,在MAE和MDF中,,MAEMDF(AAS),EMFM,又MGEM,EGFG,EFG是等腰三角形;
9、【来源:21cnj*y.co*m】(2)解:如图2,AB3,AD4,AE1,AMa,BEABAE312,BCAD4,在RtEAM中,EM2AE2AM2,EM21a2,在RtEBC中,EC2BE2BC2,EC2224241620. 在RtEMC中,EM2EC2EM2,CM220(1a2)201a221a2,CM.点G与点C重合,GM.(3)如图3,AB3,AD4,AE1,AMa,MDADAM4a,在RtEAM中,EM2AE2AM2,EM.AMDF90,AMEDMF,MAEMDF,,FM,EFEM+FM+.由(2)得,MG,EFG的面积SEFMG,当a2时,S最小,为S. 正解:(1)证明:如图1
10、,四边形ABCD是矩形,AMDF90,M为边AD的中点,MAMD,在MAE和MDF中,,MAEMDF(ASA),EMFM,又MGEM,EGFG,EFG是等腰三角形;(2)解:如图2,AB3,AD4,AE1,AMa,BEABAE312,BCAD4,在RtEAM中,EM2AE2AM2,EM21a2,在RtEBC中,EC2BE2BC2,EC2224241620. 在RtEMC中,EM2EC2EM2,CM220(1a2)201a219a2,CM.点G与点C重合,GM.(3)如图4,过点M作MNBC于点N,AB3,AD4,AE1,AMa,MDADAM4a,在RtEAM中,EM2AE2AM2,EM.AMD
11、F90,AMEDMF,MAEMDF,,FM,EFEM+FM+.ADBC,MGNDMG,AMEAEM90,AMEDMG90,AEMDMG,MGNAEM,MNGMAE90,MNGMAE,,MG,EFG的面积SEFMG,a2越大,S就越小,且S为最小整数值,当a26,即a时,S有最小整数值,为S167. 赏析:第一小题错在对全等的两种判定方法ASA和AAS没有分清楚,第二小题错在第三次运用勾股定理时出现了错误,第三小题错在把第二小题的结论拿到这里来用,因为条件变了,不能拿来用,应另求高MG的值.本题综合了全等三角形,等腰三角形,直角三角形和相似三角形的有关内容,且涉及函数的最值问题,是一道非常好的三
12、角形综合题,需要同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力.易错练1. 如图,四边形ABCD中,ADBC,DEBC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,ACD=2ACB,若DG=3,EC=1,则DE的长为( )A.2 B.2 C. D. 2.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为15米,斜面坡度为13,则斜坡AB的长为( )A.5米 B.5米 C.10米 D.30米3.如图,在ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若SDEF1,则S四边形ABFE_.4.小明坐于堤边垂钓,河堤AC的坡角为30,AC长米.钓竿AO的倾斜角是60,其长度为3米,若AO与钓鱼线OB
13、的夹角为60,求浮漂B与河堤下端C之间的距离.5.在ABC中,CAB90,ADBC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上. (1)如图1,ACAB12,EFCB于点F.求证:EFCD.(2)如图2,ACAB1,EFCE于点E.求EFEG的值. 参考答案2.C 解析:过点B作BEAD于点E,由题意得AE15,,解得BE5,在RtAEB中,由勾股定理得AB(米).SDEF1,SCBF4,又,SCDF2,SBCDSCBFSCDF246,SADBSBCD6,S四边形ABFESADBSDEF615.4.解:延长OA交BC于点D,AO的倾斜角是60,ODB60,ACD30,CAD180ODBACD90.5.解:(1)证明:ACAB12,点E为AB的中点,ACBE.CAB90,ADBC,BDAC.ADBC,EFCB,ADCEFB90,EFBCDA,EFCD.(2)解:如图3,过点E作EMBD于点M,ENAD于点N.ADBC,四边形DNEM为矩形,NEM90.又EFCE,NEGMEF,ENGEMF90,EMFENG,.ADBC,tanB,ACAB1,tanB1,B30,NAE60,sinNAE,ENAE,