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1、九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题含答案一、一元二次方程1解下列方程：（1）x23x=1 （2）（y+2）26=0【答案】(1) ;(2) 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x23x1=0，b24ac=130 （2）（y+2）2=12，或，2如图，在ABC中，AB6cm，BC7cm，ABC30，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动如果P、Q两点同时出发，经过几秒后PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后PBQ的面积等于4cm2【解析】【分析
2、】作出辅助线，过点Q作QEPB于E，即可得出SPQB=PBQE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案【详解】解：如图，过点Q作QEPB于E，则QEB90ABC30，2QEQBSPQBPBQE设经过t秒后PBQ的面积等于4cm2，则PB6t，QB2t，QEt根据题意， （6t）t4t26t+80t22，t24当t4时，2t8，87，不合题意舍去，取t2答：经过2秒后PBQ的面积等于4cm2【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去3机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为9
3、0kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？已知乙车间技
4、术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）76%75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案试题解析：（1）根据题意可得：70（160%）=28（kg）；（2）60%+1.6%（9080）=76%；设润滑用油量是x千克，则x160%+1.6%（90x）=12，整理
5、得：x265x750=0，（x75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=10（舍去），60%+1.6%（90x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%考点：一元二次方程的应用4已知关于x的一元二次方程（x3）（x4）m2=0（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为，方程的另一个根是5【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明
6、：（x3）（x4）m2=0，x27x+12m2=0，=（7）24（12m2）=1+4m2，m20，0，对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：方程的一个根是2，414+12m2=0，解得m=，原方程为x27x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为，方程的另一个根是5【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当=b2-4ac0时，方程没有实数根.5已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.（1）求k的取值范围；（2）若图象与x轴交
7、点的横坐标为，且它们的倒数之和是，求k的值.【答案】（1）k- ；（2）k=1【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式= b2-4ac的范围可求解出k的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.试题解析：（1）二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根 =b2-4ac=-（2k-1）2-41（k2+1）0解得k- ；（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0则x1+x2=2k-1，x1x2=k2+1，
8、 = ， 解得：k=-1或k= （舍去），k=16计算题 （1）先化简，再求值：（1+），其中x=2017 （2）已知方程x22x+m3=0有两个相等的实数根，求m的值【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）（1+）= = =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：方程x22x+m3=0有两个相等的实数根，=（2）241（m3）=0，解得，m=4 点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方
9、程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.7已知：关于的方程有两个不相等实数根（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值【答案】（I）kx2+（2k3)x+k3 = 0是关于x的一元二次方程由求根公式，得 或（II），而，由题意，有即（）解之，得经检验是方程（）的根，但，【解析】（1）计算=（2k-3）2-4k（k-3）=90，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的
10、重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：8某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱设该苹果每箱售价x元（40x60），每星期的销售量为y箱（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y
11、=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40x60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40x60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+78
12、0)=-10（x-59）2+3610,-100,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.9关于x的一元二次方程（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗 的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得 ， 方程总有两个实
13、数根由可化为： 得 ， 方程的两个实数根都是正整数， 的最小值为【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.10关于x的一元二次方程x22x(n1)0有两个不相等的实数根(1)求n的取值范围；(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根【答案】(1)n0；(2)x10，x22【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知 ，即可求出 的取值范围；（2）根据题意得出 的值，将其代入方程，即可求得答案.【
14、详解】(1)根据题意知， 解之得：；(2) 且为取值范围内的最小整数，则方程为，即，解得【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程 的根与的关系（当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根）是解题关键.11工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6
15、-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.12已知关于x的方程（a1）x2+2x+a10（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根【答案】（1）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：
16、当a=1时，为一元一次方程；当a1时，利用b24ac0求出a的值，再代入解方程即可【详解】（1）将x2代入方程，得，解得：a将a代入原方程得，解得：x1，x22a，方程的另一根为；（2）当a1时，方程为2x0，解得：x0.当a1时，由b24ac0得44(a1)20，解得：a2或0当a2时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21；当a0时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21综上所述，当a1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.13阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当a0，
17、b0时：（）2=a2+b0a+b2，当且仅当a=b时取等号请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x0时，x+的最小值为 当x0时，x+的最大值为 ；（2）若y=，（x1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB、COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值【答案】（1）2；2（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25【解析】【分析】（1）当x0时，按照公式a+b2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x0时，x0，0，则也可以按公式a+b2（当且仅当a=b时取等号）来计算；（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开
18、，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设SBOC=x，已知SAOB=4，SCOD=9，由三角形面积公式可知：SBOC：SCOD=SAOB：SAOD，用含x的式子表示出SAOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可【详解】（1）当x0时，x22；当x0时，x0，0x22，则x（x）2，当x0时，x的最小值为 2当x0时，x的最大值为2故答案为：2，2（2）x1，x+10，y=（x+1）525=4+5=9，y的最小值为9（3）设SBOC=x，已知SAOB=4，SCOD=9则由等高三角形可知：SBOC：SCOD=SAOB：SAOD，x：9=4：SAOD
19、，SAOD，四边形ABCD面积=4+9+x13+225当且仅当x=6时，取等号，四边形ABCD面积的最小值为25【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用14已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】（1）因为方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2得出其判别式0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值【详解】（1）方程（k1）x2+（2k3）x+k
20、+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得：k10且=12k+130，解得：k且k1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2x1+x2=0，=0，k=又k且k1，k不存在【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q15如图，在四边形中， ， ， ， ， ，动点P从点D出发，沿线段 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 上以每秒1个单位长的速度向点 运动；点P， 分别从点D，C同时出发，当点 运动到点 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）. （1）当 时，求 的面积；
21、（2）若四边形为平行四边形，求运动时间 .（3）当 为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）；（2） ；（3）或.【解析】【分析】（1）过点作于，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；（2）当四边形是平行四边形时，即，解出即可；（3）以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，分别求出t即可.【详解】解 ：（1）过点作于，则四边形为矩形.，当t=2时，则BQ=14，则=1412=84；（2）当四边形是平行四边形时，,即解得：当时，四边形是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：若，在 中，由得 解得： ；若，在 中，由得 ，即，此时， ,所以此方程无解，所以 ；若，由得 ,得 ，（不合题意，舍去）；综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.
