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1、九年级圆专题复习第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测1. （
2、2013武汉四月调考）在圆O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC.（1）如图1，求证：OP/BC；（2）如图2，DE切圆O于点C，若DE/AB，求tanA的值。2. （2013武汉中考）如图，已知ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是弧AB的中点，连接PA、PB、PC（1）如图，若BPC60，求证：；（2）如图，若sinBPC=,求tanPAB的值。3. （2014武汉四月调考）已知：P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B两点，点C为O上一点（1）如图1，若AC为直径，求证：OPBC；（2）如图2，若sinP=，求tanC的值4.（2014武汉中考）如图，AB是O的直径，C、P是弧AB上
3、两点，AB13，AC5(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA得长5.（2015武汉四月调考）已知：O为RtABC的外接圆，点D在边AC上，ADAO（1）如图1，若弦BEOD，求证：OD=BE；（2）如图2，点F在边BC上，BFBO，若OD2，OF3，求O的直径6.（2015武汉中考）如图，AB是O的直径，ABT=45，AT=AB（1）求证：AT是O的切线；（2）连接OT交O于点C，连接AC，求tanTAC7.（2016武汉四月调考） 已知O为ABC的外接圆，点E是ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交O于点D (1)如图1，求证
4、：BD= ED； (2)如图2,AO为O的直径，若BC= 6,sinBAC=，求OE的长8.（2016武汉中考）如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E(1) 求证：AC平分DAB；(2) 连接BE交AC于点F，若cosCAD，求的值9.（2017武汉四月调考）如图，ABCD的边AD与经过A、B、C三点的O相切(1) 求证：弧AB弧AC(2) 如图2，延长DC交O于点E，连接BE，sinE，求tanD的值 归纳：1.从知识上归纳：（1）已知三角函数求三角函数的有：（2017武汉四月调考）、（2013武汉中考）、（2014武汉四月调考）（2）已知三角函数
5、求比值的：（2016武汉中考）（2015武汉中考）（3）已知三角函数求长度：（2016武汉四月调考）（5）求三角函数：（2013武汉四月调考）、（2015武汉中考）（6）已知勾股定理求长度：（2014武汉中考）（2015武汉四月调考）2.从题型上归纳：（1）考查圆周角转到圆心角一半的位置及圆中等腰三角型有： （2014武汉四月调考）、（2016武汉四月调考）、（2013武汉中考）、（2017武汉四月调考）（2）考查1，2，三角型的有：（2015武汉中考）（3）考查垂径定理和勾股定理的有：（2014武汉中考）（4）考查旋转型相似与圆中构矩形的有：（2016武汉中考）预测：近几年的四调和中考，对圆
6、中三角函数的考查的年份占到很大的比例，单独考勾股定理的年份较少，仅仅只有2014年中考和2015年四调，其他年份都涉及三角函数，而且今年的四调更是已知三角函数求三角函数。 纵观2016年全国各地中考题对圆的考查，逐步在降低难度，主要集中在圆的第2问。而第2问主要考查学生转化、计算的能力和方程思想。 那么三角函数不管作为条件，还是结论，不管是计算还是证明，学生都知道要有直角，原处作垂直还是转化？怎么转？往哪个方向转？转了之后有什么意义？怎么打通条件和结论的连接点。这恰恰时学生的难点，也是我们教师需要传递给学生的地方。如果教师能够引导学生将第21题第（2）问考查的题型结构归纳为几个重要的熟悉的题型
7、，那么学生就非常自信，相信按照老师的指导方法一定能够做出这道题来，让考生百分百在道题上能得分，是我们老师需要研究的。 二、几种重要的题型和结构（一）圆中等腰三角形的结构及其类似结构知识储备：等腰三角形的顶角与底角之间的三角函数是可以任意切换的。只需要作底上的高和腰上的高即可。（1）已知顶角三角函数求底角三角函数，顶角半角的三角函数例1.1.如图，已知在等腰中， ，求，（2）已知底角三角函数求顶角三角函数，顶角半角的三角函数。例1.2.如图，已知在等腰中， ，求，（3）已知顶角半角的三角函数，求顶角的三角函数和底角的三角函数例1.3如图，如图，已知在等腰中，求，转化一：圆中没有等腰三角形可以观察
8、是否可以转化到一个等腰三角形中，变成熟悉的题型例1.4（2014武汉四月调考）已知：P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B两点，点C为O上一点（1）如图1，若AC为直径，求证：OPBC；（2）如图2，若sinP=，求tanC的值转化二：圆中有等腰三角形根据需要作底上的高（注意证明共线）和腰上的高例1.5如图，为的直径，为的内接三角形，交于点，交的延长线于点。（1）求证：为的切线；（2）若，求的值。例1.6.如图，是的直径，点是上一动点，点是优弧的中点，连接，若点为上任意一点（不与、重合），连接，当时，求的值。转化三：圆中等腰三角形顶角的三角函数通常可以转化到圆心角的一半处例1.7（2016武
9、汉四月调考） 已知O为ABC的外接圆，点E是ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交O于点D (1)如图1，求证：BD= ED； (2)如图2,AO为O的直径，若BC= 6,sinBAC=，求OE的长例1.8如图，在中，过、三点的交于，且与相切。（1）求证：（2）若，求转化四：圆中非等腰三角形的结构中，圆周角的三角函数都可以放在圆心角的一半处例1.9（2017武汉四月调考）如图，ABCD的边AD与经过A、B、C三点的O相切(1) 求证：弧AB弧AC(2) 如图2，延长DC交O于点E，连接BE，sinE，求tanD的值 例1.10.如图，在中，D为上任意一点，若，求的值（二）切线长定理与射影图
10、结构图形结构：方法归纳：切线长定理产生对称射影图，对称射影图中，任意知道两条线段，其他线段均可求。转化手段有，相似、三角函数，面积，勾股定理例2如图，为的直径，且，点在上，交的延长线于点，为的中点，。（1）求证：为的切线。（2）点为上一点，求的值。（三）圆与1，2，的三角形等腰直角三角形的一直角边作为直径作圆都可以归为1，2，型例3.1（2015武汉中考）如图，AB是O的直径，ABT=45，AT=AB（1）求证：AT是O的切线；（2）连接OT交O于点C，连接AC，求tanTAC变式一：延长TO交于M，连接，求的值。变式二：延长TO交于M，连接，求的值变式三：连TO交于，连接，求，的值。变式四：
11、如图，是的直径，。（1）求证：是的切线；（2）若是上一点，连接，求的值。（四）母子型结构知识结构：结论：；字母比=例4.1.如图，为上一点，过、两点交于，为的切线，若，求 （五）弧（非半圆）的中点与赵州桥问题结构条件的给法：点为的中点；平分。连接交于，如果给拱高FK和跨度BE的长，可以在中用勾股定理，如果给拱高和的长，则可以在和中用双勾股列方程。例5.1.如图，平分。（1）求证：是的切线；（2）若，求的值。例5.2.四边形内接于，为的直径，（1）求证：；（2）于，交的延长线于，若，求的值（六）旋转型相似与矩形结构条件的给法：,平分（或者）点为的中点转化手段：；连接、交于点，则得矩形；连接,过点
12、作垂直于点，则得矩形；连接交于点，则可用型转化比例；连接交于点，则可用型转化比例；过点向直线作垂线则形成母子型相似。例6.1（2016武汉中考）如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E(1) 求证：AC平分DAB；(2) 连接BE交AC于点F，若cosCAD，求的值例6.2（2016南宁中考改编）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线于点.（1）求证：是的切线；（2）若，求的值。（七）半圆的中点与直角三角形内心结构条件的给法：点为半圆的中点；平分；半径为5，；点为的内心常规结论：求的长；求；求；求的半径；求证：、三点共圆。例7.1如图，为的直径，点
13、为的中点，弦交于点E，求的值。（八）方法总结和归纳：1、掌握这七种基本结构，有助于学生形成能力，增强信心。2、培养学生转化的意识。3、设未知数和运用方程思想解决计算问题。4、培养学生熟练的构造能力。三、典型例题分析例1（2013江苏）如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF（1）求CDE的度数；（2）求证：DF是O的切线；（3）若AC=2DE，求tanABD的值例2（2013四川）如图，在RtABC中，ABC=90，以CB为半径作C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE（1）求证：ABDAE
14、B；（2）当=时，求tanE；（3）在（2）的条件下，作BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求C的半径例3.（2017武汉二中5月模拟题）如图，是的外接圆，弧=弧，是的切线，交的延长线于点（1）求证：（2）若，求的值。四、配套习题训练1.如图，、为的切线，切点分别为、，为的直径，连接、。（1）求证：；（2）若，求的值2.如图，、分别切于、，、的延长线交于点，连，若，求 3.如图，内接于，为直径延长线上一点，若。（1）求证：为的切线（2）已知，求的长。4.如图，、分别与相切于、,延长交直径的延长线于点。（1）求证：；（2）若,求的值5.如图，为的直径，过点作的切线交的延长线于，连接、.（1）求证：；（2）若，求的值。
