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1、 毕业论文题 目：非线性方程(组)的解法比较 学 院： 数学与统计学院 姓 名： 专 业： 信息与计算科学 学 号： 24010202010 指导教师： 提交日期： 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：目 录中文摘要1英文摘要1第一章 引言2第二章 非线性方程的解法3 2.1 二分法3 2.2迭代法5 2.3 New
2、ton法6第三章 非线性方程组的解法 9 3.1牛顿法 9 3.2 最速下降法12 3.3牛顿过程及变度量法14第四章 方法的选择与总结15参考文献16致 谢17非线性方程(组)的解法比较郭亮军（天水师范学院数学与统计学院 甘肃 天水 741000）摘要: 本文主要总结求非线性方程解的一些常用方法及它们之间的优缺点，这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的精度为止.主要介绍的有二分法、迭代法、牛顿法.在总结的基础上对一些较好的方法进行改进,在文章的最后总结了各种方法的选择原则，使其能更加准确的计算非线性方程，这对以后的科学计算中有很重要的实际意义. 关键词: 非线性
3、方程; 精确解; 迭代法; 根分类号：O241.6The comparisons among the methods of nonlinear equation(s)Guo Liangjun(College of Mathematics and Statistics, Tisanshui Normal University)Abstract: In this paper, we mainly summed up some methods, such as dichotomy method, Newtons law, for solving nonlinear equations, and co
4、mpare the advantages and disadvantages between them. There is a common featrure among these methods, that is, the initial approximation root is known, then by iterative process, we find the accurate root. Base on analysis of these methods, we revise and improve the cerresponding methods. Finally, we
5、 give the principle of choosing these methods.Key words: Nonlinear equation；Accurate solution；Iterative method；Solution第一章 引言在实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0的求解问题.当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程.对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的.与线性方程组不同，除特殊情况外，求解非线性方程不能用直接法求数值解，而是要用迭代法.迭代法的基本问题是收敛性、收
6、敛速度和计算效率.对于线性方程组，若某迭代法收敛，则取任何初值都收敛.但是，对于非线性方程，不同的初值可能有不同的收敛性态，有的初值使迭代收敛，有的则不然.一般说来，为使迭代法收敛，初值应取在解的附近.我们常常会遇到非线性方程或 一般的，我们记非线性方程为非线性方程组的一般形式为其中是维实空间上的实值函数.用向量形式表示这里均是维向量.为了方便计，还是用分别表示上述向量.简记为方程的解亦称方程的根或函数的零点,根可能是实数或复数.若则称为单根；若而则称为重根； 常见的求解问题有两种：(1)要求在给定范围内的某个解.(2)要求在给定范围内的全部解.然而非线性问题，除少数情况外，一般不能不利用公式
7、求解.而要采用某种迭代解法.即构造出一近似值序列逼近真解.收敛速度一般由迭代方法所决定，方程的性态也会起一些作用.我们主要介绍非线性方程的解法.第二章 非线性方程的解法2.1二分法二分法是方程求解最直观、最简单的方法.二分法以连续函数的介值定理为基础的.由介值定理知道，若函数区间上连续，且，即和符号相反，则在内一定有实根.二分法的基本思想是：用对分区间的方法根据分点处函数的符号逐步将有限区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且仅有一根.下面简述其基本步骤. 首先记.用中点将区间等分成2个小区间和.然后分析可能存在的三种情况： 如果，则是零点，也就是方程的根. 如果，则区间内存在零点.如果，则区间
8、内存在零点. 对有根的新区间施行同样的操作，于是得到一系列非空的区间 其中每1个区间的长度都是前一区间长度的一半，最后1个区间的长度为 如果取最后1个区间的中点 作为根的近似值，则有误差估计式 对于所给精度，若取使得 则有，计算方法如图所示例：求方程在区间1，1.5内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.解：这里取a,b的中点，将区间a,b二等分，由于即同号，故在的右侧有方程的一个实根，这时令，而新的有限区间为.二分过程可如此反复下去，计算结果如下：012345611.251.251.31251.31251.31251.32031.51.51.3751.3751.34381.32811.32
9、811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242-+-+-+-我们现在预估所要的次数.令，得，即二分6次就能达到预定的精度，与实际计算结果相符.二分法的优点是算法简单，且在有限区间内收敛性总能得到保证.值得注意的是，为了求出足够精确的近似解，往往需要计算很多次函数值，是一种收敛较慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作为后面要讨论的迭代法的初始值.另一方面，二分法只使用于求一元方程的奇数重实根.在二分法中，是逐次将有根区间折半.更一般地是，从有限区间的左端点出发，按预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查所在节点上的函数值的符号，一旦
10、发现其与左端的函数值异号，则可确定一个缩小了的有限区间，其宽度等于预定的步长h.然后，再对新的有限区间，取新的更小的预定步长，继续“搜索”，直到有限区间的宽度足够小.2.2 迭代法迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解.迭代法的基本思想是一种逐次逼近.首先取一个粗糙的近似值，然后用同1个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止. 对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性和收敛速度以及误差估计.这里，主要看看解方程迭代式的构造. 对方程，在区间内，可改写成为 取，用递推公式 , 可得到序列 当时，序列有极限，且在附近连续
11、，则在式两边极限，得 即，为方程的根，所以 即 式称为迭代式，也称为迭代公式；可称为迭代函数.称求得的序列为迭代序列. 当迭代序列收敛时，称迭代收敛，否则称迭代发散.称为第次迭代误差.用迭代式求得方程近似根的方法简称为简单迭代法，也称为迭代法. 用迭代法求解方程，其迭代所产生的迭代序列是否会收敛于方程的一个根，通常与初始近似值选取范围有关，若从任何可取的初始值出发都能保证收敛，则称之为大范围收敛.但若为了保证收敛性，必须选取初始值充分接近于所要求根，则称它为局部收敛.通常，局部收敛方法比大范围收敛方法收敛的更快.因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求得接近于根的近似值，再以其作为新的初
12、始值使用局部收敛方法. 迭代法的收敛速度通常用收敛阶数来衡量.若存在实数和，使得， 则称该迭代法为阶收敛，或者说穹的收敛阶数是.若为整数，则上式，可以写成为： 的大小反映了收敛速度的快慢.2.3 Newton 法从前面迭代法，我们知道，迭代函数构造的好坏，不仅影响收敛速度，而且迭代格式有可能发散.怎样选择一个迭代函数才能保证迭代序列一定收敛呢？ 构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根.因此，如果能将非线性方程用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便.牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法. 设是方程的一个近似根，如果把在处作一阶Tayl
13、or展开，即 于是我们得到如下近似方程 设，则方程的解为 取作为原方程的新近似根，即令 ， 上式称为牛顿迭代格式.用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法. 牛顿法具有明显的几何意义.方程 是曲线上点处的切线方程.迭代格式， 就是用切线式的零点来代替曲线的零点.正因为如此，牛顿法也称为切线法. 牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的.一般来说，牛顿法对初值的要求较高，初值足够靠近时才能保证收敛.若要保证初值在较大范围内收敛，则需对加一些条件.如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些修改，即可以采用下面的迭代格式， 式中，称为下山
14、因子.因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法. 如图所示对牛顿法的改进牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算之外，还要计算的值.如果比较复杂，计算的工作量就可能比较大.为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数.通常用如下几种方法： (1) 割线法.如果用 代替，则得到割线法的迭代格式为 (2) 拟牛顿法.如果用 代替，则得到拟牛顿法的迭代格式为 (3) Steffenson法.如果用 代替，则得到拟牛顿法的迭代格式为第三章 非 线 性 方 程 组 的 解 法非线性方程组的向量形式可表示为，解法： 1. 几乎不可能用直接法. 2. 线性化，迭代逼近,牛顿法. 3. 最优化，求函数
15、极小值,下降法.3.1牛顿法 为方便，用二维情形来讨论: 假定（3-1）的解,且存在一阶偏导数，设,这里,作线性函数（Taylor 展开，取一阶精度）在内用线性函数（3-2）代替非线性方程组(3-1)中的f1,f2, 从而,如果在中矩阵（称Jacobi矩阵） 非奇异，则可解出称为向量函数的矩阵，从而 于是 非线性方程组（3-1）的牛顿迭代公式n维情形可以如下表示例：用牛顿法求方程组 的近似解解：设初始近似解为再算故因此得 故 重复上述过程故再重复做一次，得故，且由此例可得：（1）当矩阵非奇，且初值，充分小，则迭代式（3-5）收敛，且收敛速度阶为2.（2）初始要求高，即很小，可能出现病态.（3）
16、计算的逆矩阵工作量大.为克服上述三个缺点，改进（3-5）的迭代式.牛顿法的改进改进 带松弛因子的牛顿迭代格式改善了对初始值近似程度的要求,(3-5)中引入了松弛因子,有而的选取满足改进2 修正牛顿法尽可能减少矩阵求逆次数,一种简单的办法是每次使用同一个Jacobi矩阵的逆，但大大影响收敛速度，另一种办法是若干次迭代后求一个矩阵逆.令它减少了矩阵求逆，又保证了收敛，换一个角度看，如果说它的求逆次数与牛顿法相同(k次)，则它的收敛阶为m+1.3.2 最速下降法极值化方法是解非线性方程组的主要方法，如何极值化，比如求解等价于求解 的零极值点,求解(3-9)的极值点也是一个无约束的最优化问题，求解最优
17、化问题，通常采用下降法,一般描述如下：设是无约束问题局部极小点，是的初始估计，即有其中称为的剃度.显然，剃度方向是函数增加最块的方向.下降法的迭代步骤.最速下降法取，因此其中为步长因子，它的取法有讨论与改进优点： . 程序简单，每步迭代计算量少，存储省. . 对于不太好的初始点x0，往往也能收敛.缺点：最速下降法是名不符实的，一般来说，它只有线性的收敛速度,究其原因，只是局部下降的最快的方向，从整体看这个方向并非最好. 若 则 一般来说，开始几步下降速度较快，但越靠近极小值点越慢.改进思想：1.前几步用最速下降法，后改用法.2.法其中3.3 牛顿过程及变度量法Newton-Raphson 迭代
18、把函数在第次近似解附近进行Taylor展开： 求之极小点即这就是迭代格式.第四章 方法的选择与总结1.原则：（1）有效性（2）运算量（3）存储量2.非线性代数方程（1）二分法具有良好的有效性（2）二次插值和有理插值运算量少（3）一般采用组合方法3.对于非线性方程组，一般采用最优化方法.有几种组合方法可以利用，选择方法强烈依赖于问题，它也是一种艺术.参考文献：1 张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，1999.2 卢刚.线性代数（第二版）M.北京：高等教育出版社，2005.3 白峰杉.数值计算引论M.北京：高等教育出版社，2004.4 徐良藏.求解非线性方程迭代法之研究D.
19、浙江大学,2001.5 夏季,黄正良.一个求非线性方程实根的新方法J.西南工学院学报,1995(03):50-54.6 蔡春.一类非线性方程组的改进牛顿算法J.北京联合大学学报,2002,(04):15-19.7 王宝东.一类非线性发展方程精确解的构造方法D.大连理工大学,2006.8 刘慧,张立杰.解非线性方程组的一种新的Newton型迭代法J.新疆工学院学报, 1997,(03):8-10.9 王宗木.一个改进的非线性方程求解的迭代方法J.安徽建筑工业学院学报, 1996,(04):28-30.10 吴忠麟,吴新元.解非线性方程的一个非线性迭代法J.高等学校计算数学学报, 1995,(04):23-27.11 赵华敏,陈开周.解多元非线性方程组的一个非线性迭代法J.西安公路交通大学学报, 2001,(02):19-21.致谢本文是在梁茂林老师精心指导和大力支持下完成的. 梁茂林老师以其严谨求实的治学态度、兢兢业业、孜孜以求的工作作风给了我深深的启迪.同时，在此次毕业写作过程中我也学到了许多关于非线性方程方面的知识，实验技能有了一定的提高. 另外，我还要特别感谢对我论文写作提出宝贵意见的同学和朋友.他们为我完成这篇论文提供了巨大的帮助.最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢.
