风险度量的方法与应用论文初稿.doc

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1、河 北 工 业 大 学毕 业 论 文 作 者： 徐晓华 学 号： 090057 学 院： 理学院 系(专业)： 数学及应用数学 题 目： 风险度量方法与应用 指导者： 刘新为 教授 (姓 名) (专业技术职务)评阅者： (姓 名) (专业技术职务) 2013年 5 月 25 日毕业设计（论文）中文摘要风险度量方法与应用摘要： 随着金融市场的迅猛发展，金融市场出现了前所未有的波动性，金融市场的风险严重影响着金融和工商行业的生存发展，金融风险的度量日益成为金融投资的研究热点，各种风险度量的方法和模型不断出现，使风险度量从理论到实践不断走向成熟。在改革开放之后，我国的金融市场不断发展和开放，研究适合

2、我国金融市场的风险度量方法为我国的金融行业保驾护航越来越成为我国金融行业所面临的的一个重大课题。在查阅和分析大量有关风险度量方法的文献基础上，本文对于风险度量中的一般方差度量、使用半方差及负偏差这些基于方差基础上风险度量方法，也对Var和CVar结合无偏估计进行风险度量的方法进行了描述。关键词：风险度量；方法；应用 毕业设计（论文）外文摘要Title Method and application of risk measurement Abstract：With the rapid development of financial markets, financial market volat

3、ility hitherto unknown, financial market risk affect the financial and business industrys survival and development, financial risk measurement becomes a research hotspot of financial investment, various methods of risk measurement and model appear constantly, make the risk measure from theory to pra

4、ctice constantly mature. After the reform, development and opening up of Chinas financial market, the research for our country financial market risk measurement methods for our countrys financial industry to escort is increasingly becoming a major issue of Chinas financial industry faces. In the lit

5、erature consulting and analyzing lots about risk measurement method, using a variance and negative deviation based on these based on the variance risk measure, for the average variance in risk measurement, the Var and CVar combined with unbiased estimation method for risk measurement is described.Ke

6、ywords：risk measurement；method；application目 录 1 引言111 课题研究背景及研究意义112 风险度量国内外研究状况12 风险度量概述32.1 风险的含义32.2 证券市场风险的定义和特征43 风险度量方法介绍53.1 使用方差度量风险53.1.1 符号约定53.1.2 Markowitz的方差度量风险方法53.1.3 加权半方差风险度量方法63.1.4 只考虑负偏差的风险度量方法93.2 Var和CVar风险度量方法124 负偏差风险度量在证券投资中的应用20结 论25参 考 文 献26致 谢271 引言11 课题研究背景及研究意义 从20世纪七十

7、年代以来，金融行业在全球一体化的大背景下得以飞速发展，在金融行业迅猛发展的同时，金融市场出现了前所未有的波动性，金融机构和工商行业正在面临着日趋严重的金融风险的困扰。早些年的巴林银行和大和银行事件以及近些年的亚洲金融危机、欧债危机和雷曼兄弟倒闭都充分说明了金融风险对世界经济巨大的破坏性所以如何更加准确的度量金融风险成为金融机构、学术界和政府一个重要的课题。就我国而言，我国的金融业发展较晚，金融业对于风险度量的认识仍处在起步阶段。在目前我国的金融业对于风险度量的方法仍然处在使用定性的方法来粗略的估计金融风险，与国际上先进的风险度量方式还有很大差距，但是在我国经济迅速发展的大背景下，金融市场的开放

8、程度不断提高，这就需要我国的金融行业对于风险度量认识进一步的提高，对于国际上流行的风险度量方法进行全面的研究，并且设计出符合我国金融市场的风险度量模型，这对于我国金融业长远健康发展具有十分重要的意义。12 风险度量国内外研究状况在金融市场中对风险的度量研究已经成为数学实际应用的研究热点，从风险度量理论诞生到现在为止，不同或者相近的风险度量模型足有上万个，虽然风险度量作为一个单一的学术研究问题已经日趋完善，但是由于金融领域的各种不同的风险偏好、决策心里、主观因素等问题导致金融风险难以刻画，目前针对这一难题可行的解决方案是采取多维分析的框架，就是从多个角度进行风险的控制和优化，同时选取适合的权重系

9、数进行风险度量。随着我国金融市场的发展，金融衍生品的出现是一个必然的趋势，怎样建立较好的适合我国国情的风险度量工具是现在急需解决的问题。为解决这一问题就需要对现存的各种风险度量方法进行了解，所以为了更好的对风险度量的模型进行了解和学习本文将主要的风险模型方法进行分类综述，依照现有的主要风险度量方法的特点及其所依赖的数学工具，风险度量可以分为基于收益分布各阶矩信息的风险度量、随机优势准则、Var、Coherent风险度量、凸风险度量和多期动态风险度量等六大类2。收益分布各阶矩信息的风险度量是在1952年Markowitz首次给出了最优组合的定量方法，即著名的的均值-方差（MV）模型，在模型中，他

10、提出了最初的投资组合的定量方法EX来表示预期收益，而用X的方差Var(X)=E(X-EX)2来度量投资组合的风险该方法3，随后关于MV模型的不同改进及其多阶段推广陆续得到完善45。朱世武等人提出用基于投资组合收益的方差协方差矩阵的特征根作为证券投资组合风险的一种度量，基于假设协方差矩阵的最大（小）特征值就是最大（小）风险相应的方差，它对应的特征向量就是最大（小）风险方向。因此利用特征值和特征向量就可能很好的反映股市收益的风险状况6。随机优势准则方法在Hardy等人7对离散情形提出优化理论后被推广到一般分布。在Arrow8等人指出假定忽视投资效果R并且由于所得税等原因使得投资效果R具有偏倚性的特

11、点，随后Lintner指出R更可能服从对数正态分布，而不是正态分布，在其基础上就产生了三阶随机优势准则（TSD）。在随机优势方法中，随机变量是通过对由它积累的分布函数递归定义得来的函数进行逐点比较得出，与期望-风险分析方法比较，随机优势是一个多准则模型，它无需在投资组合收益问题上进行假设，也不用对投资者的效用函数进行限制，所以，随机优势方法具有很广泛的适用性，能够用于多种不确定性因素的比较。这个优点使它经常被一般理论研究所使用。20世纪90年代以来Var已经成为最主要的风险度量方法和工具,Var即“在险价值”表示处于风险状态下的证券投资组合的价值。Var是在正常的市场波动下和在给定置信水平内，

12、某种金融资产或资产组合在未来一段时间内的最坏预期损失9。荣喜民等人10关于Var组合决策模型对Var进行进一步论述中，Var的计算基本是围绕着估计或模拟资产组合损失分布函数的默写特征展开的，但是金融市场的数据分布总是带有尖峰的后尾分布，为此，邹新月和吕先进11给出了尖峰和厚尾等分布下Var的新型计算公式。与传统上的风险度量相比，Var的优势在于它的理论可以用来度量含有复杂金融工具在内的多种投资组合的风险，并且它同时也是一个下方风险的度量，这些因素为Var的兴起提供了重要的作用，而Var的兴起主要还是因为其定义简单并且具有直观性。它是一个很容易让投资者和管理者接受的数字风险测量工具，但是Var也

13、存在着很大的缺陷，第一，它存在对置信水平的选取并且处理线性问题也需要假设，对历史数据的 依赖性特别强。第二，Var只能度量正常条件下的市场风险，而且其度量结果会给出许多可能的风险误导信息，甚至在某些情形下会增大系统风险。这些都是因为Var只关心损失发生的概率，并且只在意期末投资的结果，这些都会低估真正的损失。为了克服这一缺陷，许多金融数学家都对该模型进行了大量改进，由此产生了度量期内损失发生的概率和连续的Var模型。并且人们在Var的计算中还发现：它并不能衡量超过Var的损失，但是在后续的模型建立中金融数学家们对于Var的各种缺陷进行了大幅的修复，使其成为风险度量中的一种主流方法。为克服Var

14、（在险值）风险度量违背分散投资减小风险这一基本缺陷，Coherent风险度量应运而生。在给定概率空间（，F，P）和此概率空间上的一个实值随机变量X，它可以代表某个资产或投资组合未来的不确定性收益或现金流12。但由于该方法的局限性，并未得到广泛应用。由于Coherent风险度量所对应的的四条公理的局限性，该种风险度量方法并没有在金融界得到广泛应用。正是在这种情况下，凸风险度量的框架被独立的建构，将Coherent风险度量中的次可加性和正齐次用较弱的凸性来表示。作为金融风险管理的一个有力工具，凸风险度量正受到越来越多的重视2。Liithi和Doege在凸分析的模型下探讨了凸风险度量的初等结构，并且

15、从投资组合的最优化角度提出了相应系数的强对偶关系，并且这一关系对解决凸风险度量中的非光滑的凸投资组合的新型有效近似算法提供了很大帮助。在金融市场中，信息是瞬息万变的，静态风险度量无法将动态信息纳入到度量模型。考虑到金融活动随时间的推移而发生变化，所以越来越多的学者试图在动态框架下研究金融度量的方法。而在Var和CV-ar成为主流，则越来越多的通过对Var的优化达到动态分析为目的。通过时变波动模型将静态的Var和CV-ar扩展到静态情形13。Delbean14和Artznerde15分别利用动态规划思想，从单期的Coherent风险度量出发，定义了多期风险度量序列，并给出了其最有型准则。2 风险

16、度量概述2.1 风险的含义对于风险的定义大致有两种表述方式：一种将风险描述为一种不确定性；另一种则将风险定义为一种表现损失的不确定性。金融行业之中的风险就是其中损失的不确定性，即在决策过程中，因为存在多种不确性因素的存在，最终的决策结果可能会出现对于决策者不利结果的可能性以及不确定的损失程度，这其中包括损失概率、可能损失数量和损失波动性三个方面。根据风险的三个主要方面可以分析出风险具有客观性、隶属性、时限性、相对性以及潜在性和多面性。客观性是指风险是实在存在的，是不以人的意志为转移的，只能够避免而不能够消除。隶属性就是指风险具有主体性，只能根据当时特定的主体进行分先的测定，并且针对特定个体的风

17、险测定对于其他个体并不一定适用。时限性就是指在不同时间上的风险的风险大小是不同的，对与风险的监控要根据时间的变化进行，而不是一成不变。风险的相对性就是指风险的大小是依靠人的预期目标进行评定的，而不是具有明确的客观标准。风险的潜在性是指风险无法进行准确预测的，是一种潜在的可能性。风险的多面性就表明不同人看待风险的看法是不同的。2.2 证券市场风险的定义和特征证券市场的风险是金融市场风险的一部分，其具有金融市场风险的本质属性和一般特征。但是证券市场的风险也具有自己的特点。证券市场的风险研究主要目的是为了获得证券市场的最大收益率，分析对象是证券市场的收益率和相对应的证券收益率特征。金融学家和数学家对

18、于证券风险的定义存在两种不同的看法：一种是不确定会产生风险，证券价格的波动是由于证券市场存在许多不确定因素，从而造成证券收益的不确定性，而方差可以有效的对证券价格的波动性进行度量，同时上方偏差只能起到辅助度量的作用，真正能够度量风险的是下方差。另一种观点认为风险是投资者的证券投资组合中资产可能发生损失的概率，证券价格的波动会增加证券投资者损失的可能性，证券投资风险也就随之产生，在这一观点下，度量风险就是度量投资者的损失，投资者的损失指的是投资者实际的收益和期望收益之间的差值，这种度量方法主要在半方差、Var等风险度量方法中作为计量指标。证券投资组合所面对的市场风险也属于一般性风险，所以证券市场

19、的风险也具有一般系统性风险所具有的本质属性：损失概率、可能损失数量和损失的不确定性，但是证券投资收益的波动性要明显高于一般风险，这种高波动性是指在盈利和亏损两个区间内频繁波动，而不仅仅是在单独的一个区间内变动。证券收益的波动性越大所代表的证券投资的风险就越大，这是因为风险的大小取决于风险波动的幅度，假如证券收益仅仅是频率很大但是幅度很小，这是不会有加大的风险的。金融家和数学家使用方差度量风险就是出于对证券收益的波动性的考虑，虽然这并不全面但是仍然在一定程度上计量风险，而日后对于风险度量的完善，主要就是提出能够更有效的度量证券收益的风险度量方法。3 风险度量方法介绍3.1 使用方差度量风险3.1

20、.1 符号约定 假设n种不同的证券进行投资，设n种证券为。这n种证券所具有的投资收益率为的取值具有不确定性，可以被视为随机变量。令的期望值是，标准差是。第种证券在假设的证券组合中占据的比例是。在证券组合中的第种证券和第种证券的回报率的下方差是。3.1.2 Markowitz的方差度量风险方法（1） 理论准备 定义方差协方差矩阵：方差-协方差矩阵。定义证券组合：，。定义回报期望为：（2）建立风险度量方程 Markowitz认为风险就是投资收益的不确定性，这种不确定性可以使用方差或者协方差可以进行度量。Markowitz提出的风险度量的测度为：这就是最早使用的方差度量风险的方法，早期的风险度量方法

21、是嵌入到投资组合的最优解的函数当中，根据在最优组合中寻找最小风险下的最大收益，在证券组合收益方程中，风险度量只是作为求最优解的一个过程，并没有非常详细的研究体系，但是由于这种方法对于风险的度量准确不高，并不能准确的反映证券投资组合的风险，所以在后期的发展中有人提出了使用半方差对风险进行度量。 3.1.3 加权半方差风险度量方法（1）理论准备： 上下半方差：在方法的前期准备中需要的假设是一个随机变量，则为该随机变量的期望，令，分别为：，。上面两式为随机变量的下半方差和上半方差，可以分别简单记为：。 上下标准差为：，上、下半方差分别表示随机变量对于随机变量的左、右偏离程度。协方差定义：设存在两个随

22、机变量，的协方差为，方差为，半方差为。其表达式为：，上面两方程分别为随机变量的下半协方差与上半协方差，记为，同时可以得到：时间定义：间顺序为，时间间隔为。根据时间定义对收益率公式进行修正：收益率公式：。将收益率按相邻三个时间单位为一组进行数据修正，按照，得到修正后的收益率设为，同时用R表示其收益率的期望，其期望的估计为。（2）建立风险度量方程根据在投资组合中得到的收益率，对收益的方差进行估计得到：为的方差；为的标准差。在证券投资组合中，每种证券的收益率，经过修正的到一组样本值。每种证券的收益率定义为，得到：其中称为第种和第种证券的协方差的估计值。设有种证券，这些证券所对应的的证券收益率分别为。

23、这些证券收益所对应的期望为对应的标准差为，第种和第种证券的协方差为。同时令，用来表示投资组合的比例向量。用表示投资组合，用表示证券组合期望。用表示方差。记，使用来度量相对低于的离散程度，也就是用来度量风险。使用对于高于的投资收益进行度量。同时引入作为作为表示投资者对于风险偏好的相关系数，使用半方差加权思想，令加权半方差风险度量函数为：在时，越靠近1取值，这就意味着证券投资者的风险偏好类型为风险厌恶型，越靠近0取值表示证券投资者为风险偏好型。在不同的值下进行求解，可以得到投资和风险之间的依存规律。在加权半方差风险度量函数0时，这意味着证券投资组合组合的投资者在此时的的条件下，对于投资组合的风险程

24、度的偏好小于受益程度。这样就假设在预期收益给定的情况下，投资组合的风险度量模型为： 利用Lagrange函数得到：其中分别为Lagrange乘子。得到：若重新定义，假定：，。在上式中，。将上面方程带入Lagrange函数，解得：同时得到：则为风险度量方程。该模型在实际应用中相比于一般的方差法，半方差所计算的风险比方差法更加精确为投资者提供了一种相对简便但是精确度相对较高的风险度量方法。但是这种方法也存在一定的缺陷，其缺陷在于方法中对于上半方差的度量，在实际的分先度量中上半方差对于风险的度量并不起到关键性的作用，在半方差的度量中虽然使用了权重的方法减少上半方差对于最终的风险度量结果的影响，但是权

25、重的选择是建立在人为的基础之上，并不是真实的反映风险度量的实际情况，所以在后续的改进中人们更加注重对于下半方差的准确度量。3.1.4 只考虑负偏差的风险度量方法（1） 理论准备负偏差定义：假设证券市场中的投资者的预期收益率为，并且实际的证券组合投资收益率为，则证券组合的证券收益的随机变量为，。显然存在正负，那么定义负的部分为负偏差随机变量，表达式为。与之相对应的就是正偏差随机变量。对于第个样本值记为，则有：。负偏差强度定义：负偏差强度就是指在证券组合投资中的损失程度的大小，在该方法中需要使用负偏差强度的最大值以及平均值。在时间段内，最大负偏差强度为，平均负偏差强度为。其中表示在时间段内的样本点

26、个数。由于最大偏差强度具有很强的不确定性，所以一般均采用平均负偏差强度进行风险度量，平均负偏差强度为：。负偏差概率：证券投资可能发生损失的可能性在该方法中被称为负偏差概率。在负偏差序列中的不为0的样本点记为，那么负偏差概率为，负偏差的均值可以表示为。负偏差的波动性：风险波动是使用证券投资组合中收益率的负偏差序列的方差进行描述，或者也可以使用投资组合收益率的标准差来进行描述，表达式为，负偏差的标准差为。负偏差的紧迫度：风险紧迫度全面的度量了风险的特征，对证券投资的准确计量起了很好的指示作用。紧迫度指的是在规定的时间内，证券投资出现损失的频繁程度，证券损失的出现次数越多则表明证券组合的风险就越大，

27、反之，则证券组合的风险就越小。当然仅仅考虑风险出现的损失次数还是仅仅不够的，还需要考虑风险损失的大小，因为仅仅是损失出现的次数很频繁但是损失数量很小，在这种情况下是不能够对风险进行有效的度量的。所以紧迫度的度量需要考虑证券损失的频繁程度以及损失程度的大小。（2） 负偏差风险度量方法的风险指标 负偏差强度的风险度量指标使用负偏差进行风险测量的方法是使用损失的可能性和损失的程度的乘积来进行表示，表达式为：。方程中为从负偏差强度入手考虑度量风险，这一指标既考虑了风险发生的可能性同时也考虑了风险可能发生的大小，又兼顾了风险波动性和波动频率。负偏差波动性风险度量指标在该指标的计算中选择使用负偏差序列的中

28、的标准差对负偏差的波动性进行描述，选取进行度量是因为比较接近的一次方，非常合适作为风险调整的辅助函数，根据投资收益的波动性越大风险就越大的特点，根据标准差对进行修正得到：，就是修正后的风险的度量指标，其中为方程的调整系数，表示波动性对于证券风险的影响程度，方程可以理解为在负偏差强度造成风险存在的同时，证券收益的波动性对现存风险的影响程度，假若那么风险就是仅仅由于负偏差强度造成的，但是由于波动性的存在则会对最终风险度量结果产生影响。对于该方程的调整系数，学术界并没有一个相对统一的标准，只能够根据投资者关注证券的关注程度进行估计，假如投资者对于证券很关注，那么就能够取得较大值，如果投资者对于证券的

29、关注度很小，那么就应该取较小的数值。那么当时，就表示投资者对于证券的波动性完全忽略，但是在一般的实际操作中为便捷计算，一般都会选择。由于中既包括了的风险度量结果，同时还包括了证券收益的波动性（由于在负偏差考虑证券投资的风险，证券收益的波动其实也是证券的损失）。所以这种风险度量方法就更加的准确了。对负偏差紧迫程度的风险度量负偏差的紧迫程度包括两个方面，证券收益的波动幅度和证券盈亏的频率，证券收益的波动性其实就是证券投资中的风险强度，由于在中已经存在证券投资的风险强度，于是证券投资的盈亏频率就成为紧迫程度参考的重点。证券投资的盈亏频率就是指在单位时间内投资者的收益在盈利和亏损之间波动的次数，为了能

30、够有效地对盈亏频率进行度量引入一个频率的指标系数，表示证券在单位时间内从盈利到亏损的次数为，并且将中的最大值记为，那么频度系数的表达式就为。的取值和所选取的单位时间有关，在不同的时间内的取值可能不同，同时也会使得的取值发生变化。所以在确定了单位时间之后也就有了准确的，那么就可以得到负偏差紧迫性的风险度量函数;,其中，根据方程可以得到指标量随着和的变化而变化，在和变大时变大，在二者变小时变小。在方程中也可以看出只是风险大小的辅助变量，能够决定风险大小的还是。的大小和很相似，也是取决于投资者的关注程度，投资者对于的关注程度越高，那么的取值就越大，反之，则越小。但是存在取值范围既。（3） 风险度量方

31、程的构造在完成风险度量的、和三个指标量的构造，根据这三个指标连就可以完成下偏差风险度量方法中度量方程的构造。假设风险度量的风险值为，根据、和三个指标量的描述可以得到：在最终得到的风险度量方程中在方程中起到了决定性作用，同时也突出了和对于证券投资风险的作用，全面的表现了证券风险的本质，可以说较好的度量了证券投资的风险。3.2 Var和CVar风险度量方法（1）符号约定由于相对于方差度量风险的方法，Var和CVAr引入了许多新的变量，所以在开始阶段首先对这些新的变量和符号进行约定。在Var和CVAr引入置信水平，而Var和CVAr即为在置信水平下的风险价值，为与置信水平相对应的分位数。在证券持有期

32、的损失为，为决策向量，且。为不确定性的随机变量，且，为对应的损失函数。为阙域值，为一种可微连续凸函数（用于直接计算CVar），同时该函数的最小值为。为证券投资组合的初始值，为证券投资组合的最小价值，为证券组合的收益率，为证券投资组合的最低收益率，表示未来预期收益率的概率函数，参数和是证券收益率的期望和波动值（在下文中有计算二者的公式），表示证券持有期长度。（2） 理论准备Var定义：Var是一种度量处在风险中的价值量，表示在一定置信水平下，在一段时间内的预期损失量，其数学表达式为：CVar概念及基本理论：CVar是指在风险损失中超出Var的均值损失量，也可以称为超值损失。CVar的定义是建立在

33、的基础之上，表示损失函数不超过的概率，表达式为：Var在置信水平的表达式为：相对于Var表示损失超过或者与数值相等的在概率下的最小损失，而CVAr则是代表证券投资组合的损失超过或者与数值相等的在概率下的平均损失，则CVar的数学表达式为：与Var的数学定义式相比可以发现，这意味着CVar比Var加入了对损失尾部的考虑，这就表示出CVar是比Var更加谨慎的一种度量风险的方法。表达式及使用：在CVar度量风险的方法中中需要引入在的函数，其相应的数学函数为：并且为可微的连续函数。表示。 可以表示函数和，则两函数使用进行表述的表达式为：根据上述函数还可以得到： 同时对所有的，都有的最小值和在中进行变

34、量取值的的最小值等价，即：由上述公式可以根据对CVar直接进行计算，而且可以不用根据Var的数学定义式对Var进行计算，因为在有上述函数得到CVAr的最小值时，可以相应的得到Var值。参数选取：在计算Var和CVar进行风险度量时时，置信水平的选取是非常重要的，而置信水平的选取需要依赖内部风险资本的需求、验证需要以及同行业之间进行比较的需要。在实际的计算中置信水平的选取无论是在Var还是CVar中，置信水平的选取一般都不会低于95%，这是因为只有在这种取值范围内才能够确保金融系统的安全有效性。置信水平的选取对于证券投资者进行判断的时间有着非常重要的意义，因为选择95%的置信水平，表示在20天的

35、Var值中，证券投资损失超过Var的天数可能是一天。如果选取99%的置信水平，则表示至少需要100天才能够对所使用的风险度量方法是否符合实际进行判断。证券持有的时间段是计算Var和CVar的时间范围，对于时间范围的选取需要考虑多种因素，其中比较主要的是：1、流动性，2.正太性，3、头寸调整，4、约束范围。根据这四种因素的不同状况对持有期进行调整，假如加以金融寸头的流动性较强，证券持有的时间可以相对缩短，相反，对于流动性较弱的金融资产，可以选择较长的持有时间。在证券组合中由于存在各种证券的组合，其流动性就主要取决于在证券组合中所占比重相对较大的头寸。Var和CVar共同具有的性质：Var和CVa

36、r都具有平移不变性、正齐次性、单调可加性和对称性。A 平移不变性：假设存在一个固定的常数，存在：B 正齐次性：假设有任意正数存在，那么有：C 单调可加性：存在任意非降也可以是非增函数和，假如复合函数和有意义，那么下列表达式成立：D 对称性：Var和CVar的对称性可以直接表述为：Var在一般分布下的计算方法及其在正态分布下的计算方法假设存在一个证券组合，该证券投资组合在投资者的证券持有期结束之后的价值为，那么在置信水平确定的情况下，证券投资组合的最低价值是，那么可以得到Var为：从上式可以发现，想要计算Var只要得到证券组合的最小值即可，也可以根据最低收益率得到Var。有因为Var的最小值可以

37、通过收益率的概率公式得出：并且这一求Var的证券组合的最小值的表达式适合各种分布。以正态分布下的Var对上式进行验证，假设Var服从正态分布，那么有：在置信水平确定之后，则相对应的分位数也确定下来，可以根据上式得到：假若置信水平取值为95%，那么就为1.65。根据上式可以得到。同时引入证券的持有时间，可以得到与持有时间相关联的Var为：从Var的计算函数中可以发现决定Var的三个要素分别为收益率的分布特征、证券持有时间长短以及置信水平的大小。估计在Var及CVar中的应用首先了解三种优良的估计：最小无偏估计、线性估计和线性同变估计。A 最小无偏估计：假设是可以估计的参数，如果是的无偏估计，并且

38、对于中存在一个估计，则有：于是就是的最小无偏估计。 B 线性无偏估计：假设是的线性无偏估计，假如的线性无偏估计中存在，并且有：就可以称是最好的线性无偏估计。C 线性同变估计：假设是的某种变换下的同变估计。同时其样本为并且参数的样本估计是线性函数，对于同变估计有：成立。那么就有的最好线性同变估计是。（3） 使用估计对Var和CVar风险进行度量使用无偏估计对Var和CVar风险进行度量假设样本服从指数分布，那么得到为完备的。同时假设是的完备充分的统计量，并且存在可估计的参数，可以得到最小无偏估计是存在的，并且对于是处处唯一的。根据样本分布密度得到：令 ，代入上式进行化简得到：为上述函数的参数空间

39、，又因为是充分完备的统计量，那么可以得到，参数的无偏估计为：在上式的基础上给出Var和CVar的置信水平，分别得到Var和CVar的风险度量估计为：使用线性无偏估计对Var和CVar风险进行度量在进行风险度量之前首先需要引入Gauss-Markov模型，在模型中，利用已知正定矩阵G对模型进行转化，假设存在阶矩阵满足，同时取，将上式均带入Gauss-Markov模型，可以得到：；则将Gauss-Markov模型转化为另一种Gauss-Markov模型。并且根据Gauss-Markov模型的最小二乘估计得到的二乘估计为：并且根据Gauss-Markov模型的性质可以得到在Y满秩的情况下可以得到是的

40、唯一线性无偏估计，同时在的情况下，存在是唯一的线性无偏估计。假设存在个服从并且从小到大顺序排列的样本，将样本根据，转化为服从分布，得到：同时由于之间存在：，将该方程使用矩阵的形式进行表达可以得到：；在服从分布的样本，其期望和平方差的线性无偏估计为：其相应的协方差矩阵表达式为：将方程带入Var和CVar的理论表达式：得到Var和CVar的风险度量表达式：使用线性同变估计度量Var和CVar风险假设样本服从分布，和的线性同变估计分别为和，同时引进参数函数。假设的线性同变估计为，将样本带入，得到，同时得到方程：带入可以得到：由于在（2）中已经求得和，并且令置信水平为，其对应的分位数为。带入上方程得到

41、：为简化方程记，由（2）中，可以利用A、B、C值将上述方程进行同类型简化得到的一般形式为：线性同变估计的均分误差为： = =将上式中的作为未知数，对求导并领导数为0，解得时，误差取得最小值，那么的最佳线性同变估计为：将方程带入Var和CVar的理论表达式：最终得到Var和CVar的风险为：4 负偏差风险度量在证券投资中的应用风险度量方法的出现将深入的研究主要是为了在金融市场上为投资者获取最大的收益服务的，金融学者和数学家不断的将度量风险的方法进行更新和完善，就是为了减少风险对于投资者造成的资产损失，本章节主要针对负偏差风险度量方法在证券投资组合的实际应用进行介绍，对风险度量方法在实际中的应用进

42、行一定程度的了解。 在3.1的第3部分我们在考虑负偏差时针对四个不同的指标量得到了四个不同的度量风险的指标这四个量分别代表考虑负偏差强度、负偏差波动、负偏差紧迫程度和将三个因素一同包括的风险度量。下文将对这四个风险度量测度在证券组合的实际应用进行介绍。（1） 先关变量定义假设证券组合中有个证券，并且每种证券的投资比例可以用来表示，并且。证券投资的收益率可以假定为，并且。在假设的单位时间内存在个时间点，并且在证券组合中的第证券在第个时间点的收益率用来表示，同时证券组合在第个时间点可以表示为，则相应的证券组合的收益率可以表示为。将投资者的目标收益率假定为，相应的经过调整后的收益率为，根据样本值可以

43、得到，。如果投资者对证券的收益率水平的期望是，就有。令，可以得到证券组合的收益约束为。（2）负偏差风险度量的应用在建立能够求得证券投资组合的最小损失序列的均值的方程组后，在使用期望约束得到使用作为风险测度的证券组合收益率在负偏差取得最小均值时的取值，即： 由上式可以得出：根据上式引入，上述方程组将转变为： 根据该方程可以解出证券投资组合中损失序列的均值的最小值，以及的最优解。为提高方程解的准确性，可以引入证券投资组合的期望约束，得到新的方程组：可以使用该方程组得到在相应风险条件下的证券组的最最优收益率和证券组合比例。使用作为风险度量的测度也就是考察风险度量波动性，就是使证券组合中的损失序列的标

44、准差最小从而达到求得最优的证券组合的目的。为求得证券组合最优组合时的标准差，可以建立如下方程组：根据上式可以得出，将变量带入上述方程组，可以得到如下方程：虽然根据该方程组可以得到证券组合损失序列的标准差的最小值，同时得到证券组合的中证券的投资比例，但是该方程组并没有考虑证券组合的盈亏频率，在引入证券组合的的盈亏频率之前，需要引入使标准差达到最小时的权重系数，将原方程引入权重系数之后改造为：在引入盈亏频率之后，令证券组合中的第种证券的的权数是，在第种证券的盈亏频率相对较小的情况下对证券的权数加以限制，使用对加以限制，并且满足，那么上述方程经过在考虑之后的得到的新的方程组为：在该方程组中体现了，和

45、三中因素证券组合风险的影响，同时可以求得在最小风险下的证券投资组合。在将考虑证券收益的波动频率之后，可以加入期望的约束条件对方程组进行进一步的优化，假如期望收益率约束之后的方程组为：使用上述方程组可以求得在最小风险的情况下证券组合获取收益的最佳证券投资组合。结 论 风险度量金融行业有着十分重要的作用，对于风险的度量是保证金融行业正常运转和发展的重要基石，所以有效的对各种风险进行度量是十分必要的。所以本文在对大量参考文献进行阅读和总结的基础之上，对于风险度量中的一般方差度量、使用半方差及负偏差这些基于方差基础上风险度量方法，也对Var和CVar结合无偏估计进行风险度量的方法进行了描述，同时选取了负偏差风险度量发法在证券组合投资中的应用进行了描述，当然风险度量中还有众多的度量方法并且金融学家和数学家还在对新的风险度量方法进行研究和改进，希望这些新的风险度量方法能够十分有效的应用到相关领域为我国金融行业的发展做贡献。 参 考 文 献1刘嘉明. 金融风险度量方法和应用研究D.重庆大学,2009.2王懿,陈志平,杨立. 金融市场风险度量方法的发展J. 工程数学学报,2012,(01):1-22.3Markowitz H M.Portfolio selectionJ