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1、2014中南大学数学建模模拟赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的
2、话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 中南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 陈戈 2. 丁啸 3. 杨学 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2014 年 8 月 6 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：展馆安全保障问题摘要展馆安全保障问题直接关系到展馆的展品的安全，大多展品价值不菲，不容有失。通过建立数学模型，寻找摄像头覆
3、盖展馆面积的最优方法，从而为展馆提供摄像头按放的分配方案。展馆大致有两种布局，规则与不规则；摄像头也有两种安置方式，固定远距的和旋转近距的，通过分析不同场馆的分布的特殊性及摄像头的监视能力，分别建立模型和模型，得到摄像头覆盖面积尽可能大的方式下，摄像头分配少的最优配置方案。模型：规则展馆局部最优模型由于规则展馆中障碍物多，很难做到整体最优的方案，我们通过贪心算法【1】的思想，通过将展馆划分为8个区域，每个区域做到局部最优配置。在许多情况下，应用贪心算法能够得到整体最优解；并且在一些情况下，即使得到的不是最优解，也是一个很好的近似解。当每个局部大到最优配置时，逐个计算每个摄像头有效覆盖的地面面积
4、和墙面面积（不包括和其他摄像头重合覆盖的面积）所占该局部的百分比（可采用matlab2010b软件将图片灰度化，计算阴影区域的像素占总像素的比代替），要求在有效覆盖率达到一定比例以上时才配置一台摄像头。若一覆盖面积尽量大为最优先级，可以降低摄像头有效覆盖率的约束条件和摄像头尽量少的约束；若由于资金拮据，无法提供足够的摄像头的情况下，可以增大摄像头有效覆盖率的约束，撤掉有效覆盖率晓得摄像头，节约成本。在覆盖面积尽量大条件下，8个最优区域各摄像头分布方案（见图4.1.4.1）、以及通过Matlab2010b软件求解，得到摄像头效覆盖的地面面积和墙面面积所占该区域的百分比表（见表4.1.4.1）。在
5、拮据条件下，8个最优区域各摄像头分布方案（见图4.1.4.3），摄像头效覆盖的地面面积和墙面面积所占该区域的百分比表（见表4.1.4.3）。模型：不规则展馆局部最优模型不规则展馆模型总体思想与规则展馆模型一致，即对展馆进行区域分割并寻找局部最优解，不同处在于展馆的不规则性，分割方法发生变化（见附件3）。不规则展馆面积计算难度大，可操作性低，故采取方格法。由于方格法误差的存在，未覆盖地面面积应在占总体面积的一定比例以下才可认为是近似最优解。当资金拮据，不规则展馆摄像头重复覆盖率低，故重新进行分割（见图附件4）。出于安全性考虑，摄像头优先位置由覆盖地面优先变为覆盖墙面优先，并对墙面覆盖率进行一个估
6、算，当低于一定比例即可认为基本安全。关键字：局部最优 贪心算法 安全性 一、问题重述1.1 基本情况 展馆的平面布局相当复杂，有一些隔板会以各种角度立在房间中间或者走廊上。尽管该展厅很大，但任何两个对面墙之间的距离并不大，所以参观者不需要无谓地走很多路。所有的墙壁以及隔板都是平的。摄像机当固定摄像时能清晰分辨的距离为7.5米，当水平旋转摄像时能清晰分辨的距离为2.5米，摄像头视角大约为50度。由于这些摄像装置较大，会对展馆参观者视线形成干扰，所以展馆管理方希望这些装置安装得越少越好，并且希望摄像机尽可能装在角落处。1.2 有关信息展馆平面图（附件1）；1.3 问题提出请根据这些数据资料，利用数
7、学建模的方法，解决如下问题：1、主要任务：你们的任务是为固定或可转动摄像机设计安装位置，以期在夜晚能够提供尽可能多的覆盖面积，包括地面与墙壁展示区域。2、资金拮据问题：由于预算资金不足，不能在全馆安装足够数量的监视摄像机，试讨论这种情形下的最优安装策略，并给出相应的安全性评价。二、问题分析 展馆安全保障问题直接关系到展馆的展品安全。为此需要对展馆的场馆分布建立一个合理的配置方法，从而制订出明确的最优分配方案，不仅使展馆装有较少摄像头，而且得到尽可能大的安全性。规则展馆中障碍物多，很难做到整体最优的方案，我们通过贪心算法的思想，通过将展馆划分为8个区域，每个区域做到局部最优配置。当每个局部大到最
8、优配置时，逐个计算每个摄像头有效覆盖的地面面积和墙面面积（不包括和其他摄像头重合覆盖的面积）所占该局部的百分比，要求在有效覆盖率达到一定比例以上时才配置一台摄像头。若一覆盖面积尽量大为最优先级，可以降低摄像头有效覆盖率的约束条件和摄像头尽量少的约束；若由于资金拮据，无法提供足够的摄像头的情况下，可以增大摄像头有效覆盖率的约束，撤掉有效覆盖率晓得摄像头，节约成本。不规则展馆中障碍物少但是均以曲线形式存在，分割应本避免将同一曲线隔板分在两个不同的区域内的原则。当完成最优配置后，因不规则图形面积难以计算，不按单独区域进行计算，故统计整体未覆盖地面面积总和。当资金拮据时，首先区域分割方法应进行改变，覆
9、盖优先等级也应改变，墙面优先于隔板优先于地面，以此原则进行局部摄像头最优的调配。 综合上述两种展馆的配置，即得到摄像头配置的明确分配方案。三、模型假设（1）规则展馆分块区域之间互不影响。（2）两种摄像头设置方式的成本相同。（3）墙面面积覆盖率用覆盖墙面的长度代替。（4）一个角落允许装多个固定的摄像头。（5）资金拮据情况下，过道不在相关安全性考虑范围之内。四、符号说明：规则展馆i区域地面的总面积。： 规则展馆i区域墙壁的总长度。：规则展馆i区域第j个固定式摄像头。：规则展馆i区域第j个旋转式摄像头。：规则展馆i区域第j个固定式摄像头覆盖的有效地面面积。：规则展馆i区域第j个固定式摄像头覆盖的有效
10、墙面长度。: 规则展馆i区域第j个旋转式摄像头覆盖的有效地面面积。：规则展馆i区域第j个旋转式摄像头覆盖的有效墙面长度。:规则展馆i区域第j个固定式摄像头有效地面面积覆盖率。：规则展馆i区域第j个固定式摄像头有效墙面长度覆盖率。：规则展馆i区域第j个旋转式摄像头有效地面面积覆盖率。: 规则展馆i区域第j个旋转式摄像头有效墙面长度覆盖率。： 不规则展馆第i个固定式摄像头。：不规则展馆第i个旋转式摄像头。： 不规则展馆有效地面面积覆盖率。： 不规则展馆有效墙面长度覆盖率。a ： 不规则展馆固定式摄像头数量b ： 不规则展馆旋装式摄像头数量x ： 不规则展馆固定式摄像头所覆盖面积（资金拮据下为墙面长
11、度）y ： 不规则展馆旋转式摄像头所覆盖面积（资金拮据下为墙面长度）Z ： 不规则展馆摄像头覆盖的有效地面面积L ： 不规则展馆摄像头覆盖的有效墙面长度 ： 不规则展馆地面未覆盖率五、模型的建立与求解5.1 规则展馆局部最优模型局部分配如下图5.1所示：区域一两种摄像机最优配置规则展馆区域二两种摄像机最优配置两种摄像机最优配置图5.1 规则展馆分配原理图给规则展馆安置摄像头时，以区域为单位，遵循增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。由前面的定义可知安全与否主要体现在地面面积覆盖率、墙面覆盖率两个方面。增加展馆最优配置，即实现学展馆覆盖率达、摄像头少，故我们建立局部最优代替整体最优的模型。5.
12、1.1 模型的准备 有效覆盖率定义：摄像头有效覆盖的地面面积和墙面面积（不包括和其他摄像头重合覆盖的面积）所占该局部的百分比Matlab2010b计算像素方法（代码见附录1）：1、 先用imread（c.jpg）将图片c转化成灰度图；2、 然后分别计算出黑白像素的个数；3、 黑色除以黑白像素总和即为覆盖率；4、有效地面面积覆盖率：有效墙面覆盖率： 有效地面面积覆盖率：有效墙面覆盖率：5.1.2 模型的建立 ：覆盖面积尽量大约束条件:：资金拮据约束条件:5.1.3 模型的化简 Step1：计算出摄像头覆盖的有效地面面积和有效墙面长度； Step2：计算有效地面面积覆盖率和有效墙面覆盖率。其中计算
13、覆盖面积可以采用matlab2010b软件将该矩形图片转化成灰度图：若区域为矩形，计算黑色阴影区域的像素占总图片像素的百分比即为有效地面覆盖率；若计算区域不是规则形状，可以用画图软件处理一下，先将未覆盖区域填充为黑色，其余都用橡皮擦擦掉，计算出其黑像素为n，然后再将区域以外的也填充为黑色，计算出白像素为m，则=n/（n+m）*100% Step3：根据约束条件删除部分摄像头；5.1.4 模型的求解 Step1：用法CAD软件初步画出覆盖面积最优的平面配置图，见图5.1.4.1图5.1.4.1 Step2：运用Excel统计各摄像头覆盖率的的数据（见附件2）得到表5.1.4表5.1.4.1各摄像
14、头有效覆盖率统计表摄像头编号（%）（%）79.1661.7123.8225.882.879.512.87045.5433.7227.4827.3113.6215.449.5419.6160.1142.4219.1533.337.09013.6224.2432.2811.6723.9029.3623,2122,481.704.1113.3612.821.804.3538.9346.4356.2051.0438.9032.9047.0135.2613.2926.0071.7068.7527.3631.2533.3328.1350.8350.0015.2821.88Step3：根据盖面积尽量大约束条
15、件:，删除相应摄像头的表5.4.1.2及图5.4.1.2表5.1.4.2各摄像头有效覆盖率统计表摄像头编号（%）（%）79.1661.7123.8225.882.879.512.87045.5433.7227.4827.3113.6215.449.5419.6160.1142.4219.1533.337.09013.6224.2432.2811.6723.9029.3623,2122,481.704.1113.3612.821.804.3538.9346.4356.2051.0438.9032.9047.0135.2613.2926.0071.7068.7527.3631.2533.3328.
16、1350.8350.0015.2821.88图5.1.4.2Step4：根据资金拮据约束条件:，删除相应摄像头的表5.4.1.3及图5.4.1.3表5.1.4.3各摄像头有效覆盖率统计表摄像头编号（%）（%）79.1661.7123.8225.8845.5433.7227.4827.3113.6215.449.5419.6160.1142.4219.1533.3313.6224.2432.2811.6723.9029.3623,2122,4813.3612.821.804.3538.9346.4356.2051.0438.9032.9047.0135.2613.2926.0071.7068.7
17、527.3631.2533.3328.1350.8350.0015.2821.88图5.1.4.3在相同方法计算下平面布局如图5.1.4.4： 图5.1.4.4其地面和墙面覆盖率均为100%5.2 不规则展馆局部最优模型 展馆整体可得到 Z=ax+by 5.2.1模型的建立 Step 1：区域分割（见附件3），资金拮据条件下区域分割（见附件4） 图5.2.1.1图5.2.1.2对于各个区域Z1=ax1+by1 ，Z2=ax2+by2 ，Z3=ax3+by3 ，Z4=ax4+by4 ，Z5=ax5+by5资金拮据条件下L1=ax1+by1 ，L2=ax2+by2 ，L3=ax3+by3 ，L4=
18、ax4+by4 Step 2：局部最优处理（见图5.2.1.1），资金拮据条件局部最优处理（见图5.2.1.2）通过局部分割处理，覆盖面积Z= Z1 +Z2 +Z3 +Z4 +Z5 资金拮据条件下覆盖长度L= L1 +L2 +L3 +L4建立模型 MaxZ= maxZ1 +maxZ2 +maxZ3 +maxZ4 +maxZ5资金拮据条件下为 MaxL= maxL1 +maxL2 +maxL3 +maxL45.2.2模型求解与结果估算未覆盖面积及总面积：阴影面积即为未覆盖的地面面积，由matlab2010b计算灰度像素可知阴影面积大致为3100个像素，总面积为994000个像素。故未覆盖率： 在
19、误差范围内2.18%的未覆盖率可认为地面已大致覆盖。资金拮据条件下：未覆盖长度为7.42个单位长度，总长度为69.28个单位长度。故未覆盖率=100%10.7%。六、给展馆的建议1、根据自身情况合理选择配置方式；2、在选择好配置方式后，尽量在未覆盖区域不放展品，进一步提高展馆安全性；3、可以适当改变展馆布局，使得展馆分布适于摄像头的监控范围；七、模型安全性评价与推广 7.1模型评价由两种模型可知，第一种模型适用于规则区域，第二种针对不规则区域。两种模型各有优缺点，模型一较模型二容易设计。通过观察两种模型地面面积的覆盖率和墙面的覆盖率，在不考虑资金拮据的情况下，其覆盖率均能达到95%以上，但模型
20、一由于区域多，摄像头数明显多于模型二；在资金拮据，以安全为主的情况下，模型一根据有效覆盖率指标减少摄像头，模型二通过变换配置，在过道等影响安全性不大的地方不设置摄像头来减少数量，其最后覆盖率也均在90%，所以安全性应该是不错的。7.2模型推广模型一由于分配的区域较多，而区域之间互不影响，所以整体的摄像头数量较多。可以考虑重新分割，分割的区域面积较大，数量较少，这样会是的在不降低覆盖率的前提下，减少摄像头的数量，节省成本。八、参考文献：1 盛国选，贪心算法应用研究， 2014.8.6；2 蒋启源、谢金星、叶俊 编著，数学模型，北京：高等教育出版社，20011.1；3 马莉 编著，MATLAB数学实验与建模，清华大学出版社，2010.13 马莉 编著，MATLAB语言实用教程，清华大学出版社，2010.1九、附录：附录1 用计算灰度图像素的方法计算矩形区域内黑色阴影部分面积百分比的matlab程序a=imread(c.jpg);sum1=0;sum2=0;for i=1:size(a,1)for j=1:size(a,2)if a(i,j)=0sum1=sum1+1;%黑色像素数else sum2=sum2+1;%白色像素数endendendareas=sum1/(sum1+sum2)
