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1、,北师大版八年级下册数 学 全册优质课件,2023/3/30,等腰三角形(1),三角形的证明,2023/3/30,1.两直线被第三条直线所截,如果_相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,_相等;3._对应相等的两个三角形全等;（SAS）4._对应相等的两个三角形全等;（ASA）5._对应相等的两个三角形全等;（SSS）你能证明下面的推论吗？推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）,耐心填一填，一锤定音！,基本事实:,同位角,同位角,两边及其夹角,两角及其夹边,三边,2023/3/30,用心想一想，马到功成,推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
2、.（AAS）,已知：如图,A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.,证明：A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180）C=180(A+B)，F=180(D+E)A=D,B=E（已知）C=F（等量代换）BC=EF（已知）ABCDEF（ASA）,2023/3/30,议一议,做一做,(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来.(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?,如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.,2023/3/30,定理:等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角),已知：如图,在ABC中,AB=AC.求
3、证：B=C.,证明：取BC的中点D,连接AD.在ABD和ACD中 AB=AC,BD=CD,AD=AD ABDACD(SSS)B=C（全等三角形的对应角相等）,证法一:,等腰三角形的性质,一题多解,2023/3/30,等腰三角形的性质,已知：如图,在ABC中,AB=AC.求证：B=C.,证明：作ABC顶角A的角平分线AD.在ABD和ACD中 AB=AC,BAD=CAD,AD=AD ABDACD(SAS)B=C（全等三角形的对应角相等）,一题多解,证法二:,定理:等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角),2023/3/30,等腰三角形的性质,已知：如图,在ABC中,AB=AC.求证：B=C.,证明
4、：在ABC和ACB中 AB=AC,A=A,AC=AB,ABCACB(SAS)B=C（全等三角形的对应角相等）,一题多解,证法三:,点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。,定理:等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角),2023/3/30,想一想,在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?,推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(三线合一),2023/3/30,1.等腰三角形的两个底角相等；2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；,等腰三角形的性质,2023/3/30,2.如图,在ABD中,C是BD上
5、的一点，且ACBD，AC=BC=CD，（1）求证：ABD是等腰三角形;（2）求BAD的度数.,大胆尝试，练一练！,解：（1）ACBD，AC=BC=CD，ACB=ACD=90ACBACDAB=ADABD是等腰三角形（2）ACBD，AC=BC=CD，ACB、ACD都是等腰直角三角形B=D=45BAD=90,2023/3/30,1.通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。2.体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。,课堂小结,畅谈收获：,2023/3/30,等腰三角形(2),三角形的证明,2023/3/30,想一想,做一做,在等腰
6、三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?,作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等,我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等,2023/3/30,已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分线,例1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.,用心想一想，马到功成,求证：BD=CE,证明：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)1=ABC，2
7、=ACB，1=2 在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2 BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等),2023/3/30,已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分线,例1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.,用心想一想，马到功成,求证：BD=CE,一题多解,证明：AB=AC，ABC=ACB 3=ABC，4=ACB，3=4 在ABD和ACE中，3=4，AB=AC，A=A ABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等),2023/3/30,大胆尝试，练一练！,已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的高,1.证明:等
8、腰三角形两腰上的高相等.,求证：BD=CE,证明：AB=AC，BD、CE是高，ADB=AEC=90，在ABD和ACE中，ADBAEC，AA，ABAC，ABDACE（AAS），BD=CE,分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等,2023/3/30,大胆尝试，练一练！,已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的中线,2.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.,求证：BD=CE,分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等,证明：AB=AC，BD、CE是ABC的中线，ABAC，AE=AD，在ABD和ACE中，AE=AD，AA，ABAC，ABDACE（A
9、AS），BD=CE,2023/3/30,刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示?把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等如果是三等分、四等分结果如何呢?,想一想,做一做,2023/3/30,议一议,1在等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE吗?如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?,2023/3/30,小结,（1）在ABC中，如果A
10、B=AC，ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE.（2）在ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.,简述为：（1）在ABC中，如果AB=AC，ABD=ACE，那么BD=CE.（2）在ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.,2023/3/30,1.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.已知：如图，在ABC中，AB=BC=AC。求证：A=B=C=60.证明：在ABC中，AB=AC，B=C(等边对等角).同理：C=A，A=B=C（等量代换）.又A+B+C180（三角形内角和定理）A=B=C60.,大胆尝试，练一练！,2023/3/30
11、,随堂练习 及时巩固,如图,已知ABC和BDE都是等边三角形,求证:AE=CD,证明:,ABC和BDE都是等边三角形,AB=BC,ABC=DBE=60,BE=BD,ABECBD,AE=CD,2023/3/30,课时小结,1.等腰三角形中还有那些相等的线段？2.等边三角形有哪些性质？3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？,2023/3/30,等腰三角形(3),三角形的证明,2023/3/30,想一想,问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题 的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个
12、角所对 的边也相等？,2023/3/30,前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?,议一议,已知：在ABC中，B=C，求证：AB=AC,证明：如图，过点A作ADBC于点D则ADB=ADC在ABD与ACD中，BC，ADBADC，ADAD，ABDACD（AAS），AB=AC,分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把ABC分成两个全等的三角形,2023/3/30,定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边.),等腰三角形的判定定理：,在ABC中BC（已知），AB=AC（等角对等边）.
13、,几何的三种语言,2023/3/30,练习1如图，A=36，DBC=36，C=72，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明,随堂练习,证明：答案不唯一，可找一个等腰ABC在ABC中，A=36，C=72，ABC=180-（72+36）=72C=ABC，AB=AC，ABC是等腰三角形。,2023/3/30,练习2：已知：如图，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求证：AB=AC,随堂练习,解：ADBC，（已知）1=B，（两直线平行，同位角相等）2=C，（两直线平行，内错角相等）1=2，（已知）B=C，AB=AC（等角对等边）,2023/3/30,想一想,小明说，在一个三角形中
14、，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?,我们来看一位同学的想法：如图，在ABC中，已知BC，此时AB与AC要么相等，要么不相等 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，但已知条件是BC“C=B”与已知条件“BC”相矛盾，因此 ABAC 你能理解他的推理过程吗?,2023/3/30,再例如，我们要证明ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.假设有两个角是直角，不妨设A=90，B=90，可得A+B=180，但ABC中A+B+C=180“A+B=180”与“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有两个直角,上面
15、的证法有什么共同的特点呢?,在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立我们把它叫做反证法,2023/3/30,1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角已知：ABC求证：A、B、C中不能有两个角是直角,证明：假设A、B、C中有两个角是直角，设A=B=90，则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，所以A=B=90不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角,2023/3/30,活动与探究,1.如图，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，设AB=12，AC=18，求AMN的周长.,分析：要求
16、AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口,2023/3/30,例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立,原命题成立,即这五个数中至少有下个大
17、于或等于1/5.,2023/3/30,2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?,36 90 108,活动与探究,2023/3/30,（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路,课堂小结,2023/3/30,等腰三角形(4),三角形的证明,2023/3/30,(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?(2)你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路
18、与同伴交流,想一想,分析：有一个角是60，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角,2023/3/30,定理：有一个角是60.的等腰三角形是等边 三角形,等边三角形的判定定理：,2023/3/30,求证：三个角都相等的三角形是等边三角形已知：ABC中，A=B=C求证：ABC是等边三角形证明：A=B，BC=AC(等角对等边)又A=C，BC=AB(等角对等边)AB=BC=CA，即ABC是等边三角形,随堂练习,2023/3/30,等边三角形的性质和判定：,2023/3/30,用含30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由 由此你能想到，
19、在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?,做一做,2023/3/30,定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半,已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB,证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD,ACB=90ACD=90 AC=AC，ABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的对应边相等)ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)BC=BD=AB,2023/3/30,等腰三角形的底角为15腰长为2a，求腰上的高,例题,已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB
20、=15,CD是腰AB上的高；求：CD的长.,解：ABC=ACB=15 DAC=ABC+ACB=15+15=30 CD=AC=2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半),2023/3/30,一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题你能举个例子吗?例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”但有些命题“反过来”就不成立例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立,想一想,2023/3/30,已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=AB求证：BAC
21、=30,证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等边三角形B=60在RtABC中，BAC=30,2023/3/30,试一试,命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30”是真命题吗？如果是，请你证明它,是真命题，证明如下：,2023/3/30,解：DEAC，BCAC，A=30，,BC=AB，DE=AD,又AD=AB，,DE=AD=1.85（m）,BC=3.7（m）,答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.
22、85 m,性质运用,例如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB=7.4 cm，A=30，立柱BC、DE 要多长？,2023/3/30,直角三角形(1),三角形的证明,2023/3/30,一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC，BAC=30，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少?B1C1呢?,用心想一想，马到功成,解：在RtABC中，CAB=30，AB=10 cm，BC=0.5AB=5 cm CBlAB，B+BCBl=90 又A+B=90 BCBl=A=30 在RtACBl中，BBl=0.5BC=2
23、5 cm AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm 在RtABlC中，A=30 B1C1=0.5ABl=375cm,2023/3/30,用心想一想，马到功成,一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢?,勾股定理 在直角三角形中,两直角边的平方和 等于斜边的平方.,你会证明吗?,证明方法:数方格和割补图形的方法,你会利用公理及由其推导出的定理证明吗?,2023/3/30,勾股定理的证明,已知：如图，在ABC中，C=90，BC=a，AC=b，AB=c求证：,证明：延长CB至D，使BD=b，作EBD=A，并取BE=c，连接ED、AE(如图)，则ABCBED BDE=90，ED=a 四边形ACD
24、E是直角梯形 S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=(a+b)ABE=180一ABC一EBD=18090=90，AB=BE SABE=S梯形ACDE=SABE+SABC+SBED，即,2023/3/30,两直角边的平方和等于斜边的平方.,勾股定理,直角三角形中,在,反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论你能证明此结论吗?,2023/3/30,逆定理的证明,已知：如图，在ABC中，求证：ABC是直角三角形,证明：作RtDEF，使D=90，DE=AB，DF=AC(如图)，则.(勾股定理)DE=AB，DF=AC BC=EF
25、ABCDEF（SSS）A=D=90(全等三角形的对应角相等)因此，ABC是直角三角形,2023/3/30,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形,观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?,勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件,在前面的学习中还有类似的命题吗?,2023/3/30,在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题,互逆命题,原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!,2023/3/30,大胆
26、尝试，练一练！,说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:,(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab=0，那么a=0 b=0,解：(1)多边形是四边形原命题是真命题，而逆命题是假命题(2)同旁内角互补，两直线平行原命题与逆命题同为真命题(3)如果a=0，b=0，那么ab=0原命题是假命题，而逆命题 是真命题,2023/3/30,1.了解了勾股定理及逆定理的证明方法;,2.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立;,3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理 都有逆命题.,2023/3/30,直角三角形(2),三角形的证明,2023
27、/3/30,原命题是真命题，而且逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理,互逆定理,大胆尝试！,举例说出我们已学过的互逆定理.,2023/3/30,用心想一想，马到功成,小明在证明“等边对等角”时，通过作等腰三角形底边的高来证明。过程如下：已知：在ABC中，AB=AC求证：B=C证明：过A作ADBC，垂足为C，ADB=ADC=90 又AB=AC，AD=AD，ABDACD B=C（全等三角形的对应角相等）你同意他的作法吗？,2023/3/30,小颖说：推理过程有问题他在证明ABDACD时，用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”而我们在前面
28、学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的 如图所示：在 ABD和ABC中，AB=AB，B=B，AC=AD，但ABD与ABC不全等,2023/3/30,小刚说：小颖这里说的B是锐角，如果B是直角，即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等的我认为小明同学的证明无误,已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求证：RtABCRtABC,证明：在RtABC中，AC2=AB2BC2(勾股定理)又在Rt A B C中，A C 2=AB2BC2(勾股定理)AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC(SSS),2
29、023/3/30,定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示,直角三角形全等的判定定理,2023/3/30,判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,开拓创新 试一试,2023/3/30,放开手脚 做一做,你能用三角尺平分一个已知角吗?,如图，在已知AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交
30、于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线,2023/3/30,议一议,如图，已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件?把它们分别写出来,从添加角来说，可以添加CBA=DAB或CAB=DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD,2023/3/30,议一议,如图，已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件?把它们分别写出来,若OA=OB，则ACBBDA,证明：在RtACO和RtBDO中AO=BO，ACB=BDA=90AOC=BOD(对顶角相等)，ACOBDO(AAS)AC=BD又AB=AB，ACBBDA(HL),如果把刚才添加的条件“OA=OB”改
31、写成“OC=OD”，也可以使ACBBDA,2023/3/30,如图，在ABC和ABC中，CD，CD分别分别是高，并且AC=AC，CD=CDACB=ACB求证：ABCABC,用心想一想，马到功成,证明：CD、CD分别是ABC和ABC的高ADC=ADC=90在RtADC和RtADC中，AC=AC，CD=CD，RtADCRtADC(HL)A=A(全等三角形的对应角相等)在ABC和ABC中，A=A，AC=AC，ACB=ACB，ABCABC(ASA),2023/3/30,线段的垂直平分线(1),三角形的证明,2023/3/30,用心想一想，马到功成,如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一
32、个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?,2023/3/30,线段垂直平分线的性质：,定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点求证：PA=PB,证明：MNAB，PCA=PCB=90 AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS)；PA=PB(全等三角形的对应边相等),2023/3/30,用心想一想，马到功成,你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?,如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,当我们写出逆命题时，就想
33、到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明,2023/3/30,已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB求证：P点在AB的垂直平分线上,证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL)AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上,2023/3/30,证法二：取AB的中点C，过P,C作直线 AP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC(SSS)PCA=PCB(全等三角形的对应角相等)又PCA+PCB=180，PCA=PCB=90，即PCAB P点在AB的垂直平分线上,已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB求证：P点在AB的垂直平分线
34、上,一题多解,2023/3/30,已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB求证：P点在AB的垂直平分线上,一题多解,证法三：过P点作APB的角平分线交AB于点C AP=BP，APC=BPC，PC=PC，APCBPC(SAS)AC=BC，PCA=PCB 又PCA+PCB=180PCA=PCB=90 P点在线段AB的垂直平分线上,2023/3/30,线段垂直平分线的判定：,定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,2023/3/30,想一想，做一做,已知：如图 1-18，在 ABC 中，AB=AC，O 是 ABC 内一点，且 OB=OC.,求证：直线 AO 垂直平分线段BC,
35、证明：延长AO交BC于点D，在ABO和ACO中，ABAC，AOAO，OBOC，ABOACO（SSS），BAO=CAO，AB=AC，AOBCBD=CD.即直线 AO 垂直平分线段BC,2023/3/30,课堂小结,畅谈收获：,一、线段垂直平分线的性质定理二、线段垂直平分线的判定定理 三、用尺规作线段的垂直平分线,2023/3/30,线段的垂直平分线(2),三角形的证明,2023/3/30,习题17的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?,用心想一想，马到功成,发现：三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等,2023/3/30,放开手脚 做一做
36、,剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流,2023/3/30,证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.,用心想一想，马到功成,已知：在ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.求证：O点在AC的垂直平分线上,证明：连接AO，BO，CO 点P在线段AB的垂直平分线上，OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)同理OB=OCOA=OC O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O,2023/3/30,定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，
37、并且这一点到三个顶点的距离相等。,三角形三边的垂直平分线的性质定理,2023/3/30,议一议,(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?,已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：ABC，使BC=a，BC边上的高为h,这样的三角形有无数多个观察还可以发现这些三角形不都全等,2023/3/30,议一议,(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?,这样的等腰三角形也有无数多个根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和
38、底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形 如图所示，这些三角形不都全等,2023/3/30,议一议,(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?,这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?,2023/3/30,放开手脚 做一做,已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1作BC=a；2作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；3以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4连接AB、AC ABC就是所求作的三角形,2023/3/30,
39、课内拓展延伸,求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段,已知：线段a求作：等腰直角三角形ABC使BC=a,作法：1作线段BC=a2作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D3在L上作线段DA，使DA=DB4连接AB，ACABC为所求的等腰直角三角形,2023/3/30,角平分线(1),三角形的证明,2023/3/30,还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?,用心想一想,角平分线上的点到角两边的距离相等,2023/3/30,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E求证：PD=PE,放开手脚 做一做,证明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=9
40、0，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等),2023/3/30,角平分线的性质定理,角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,2023/3/30,如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上,你能写出这个定理的逆命题吗?,用心想一想，马到功成,这个命题是假命题角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点,角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上,这是一个真命题吗?,2023/3/30,已知：在AOB内部有一点P，且PDOA，PEOB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在AOB的角平分线上,用
41、心想一想，马到功成,证明：PDOA，PEOB，PDO=PEO=90在RtODP和RtOEP中OP=OP，PD=PERtODP RtOEP(HL)1=2(全等三角形对应角相等),2023/3/30,例题：在 ABC 中，BAC=60，点 D 在 BC 上，AD=10，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF，求 DE 的长.,解：DE AB，DF AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，AD平分BAC（在一个角的内部，到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又 BAC=60，BAD=30.在Rt ADE中，AED=90，AD=10，DE=2 AD=2 10=5（在直角三角形
42、中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角 边等于斜边的一半）.,2023/3/30,角平分线的判定定理,在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上,2023/3/30,课堂小结,畅谈收获：,(一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等(二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上(三)用尺规作角平分线,2023/3/30,角平分线(2),三角形的证明,2023/3/30,三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?,用心想一想，马到功成,发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点这一点到三角形三边的距离相等,2023/3/30
43、,放开手脚 做一做,剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流,2023/3/30,用心想一想，马到功成,证明：三角形三条角平分线相交于一点,已知：如图，设ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在BAC的角平分线上,证明：过P点作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足BM是ABC的角平分线,点P在BM上PD=PE同理：PE=PFPD=PF点P在BAC的平分线上ABC的三条角平分线相交于点P,2023/3/30,定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等,三角形角平分线的性质定理,2023/3
44、/30,比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理,2023/3/30,如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？,开拓创新 试一试,满足条件共4个,2023/3/30,例1如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD,用心想一想，马到功成,(1)解：AD是ABC的角平分线，C=90，DEABDE=CD=4cmAC=BC B=BAC(等边对等角)C=90，B=90=45BDE=9045=45BE=DE(等角
45、对等边)在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+)cm,2023/3/30,例1如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD,用心想一想，马到功成,(2)证明：由(1)的求解过程可知，RtACDRtAED(HL)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD,2023/3/30,不等关系,2023/3/30,地球上海洋的面积大于陆地的面积，铅球的质量比篮球的质量大,情景引入,利用相等关系可以解决许多问题，利用不等关系同样可以解决许多问题。在我们的生活中，不
46、等关系更为普遍。,2023/3/30,、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：,新知探究,(1)要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？,2023/3/30,、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：,新知探究,(2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？,2023/3/30,、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：,新知探究,(3)当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？,2023/3/30,、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：,新知探究,(4)当l=
47、12时，正方形和圆的面积哪个大？,2023/3/30,、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：,新知探究,(5)你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。,2023/3/30,、通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算它的树龄。通常以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年约增加3cm，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？(只列关系式),设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4m，得,新知探究,2023/3/30,合作交流,、观察下列关系式，你有什么发现？,由不等号连接而成,2023/3/30,新知归纳,不等式的定义：,一般地
48、，用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式。,2023/3/30,范例讲解,例1、用适当的符号表示下列关系：(1)x的3倍与8的和比x的5倍小；(2)x2是非负数；(3)地球上海洋的面积大于陆地面积；(4)老师的年龄不超过你的年龄的2倍。,解：,2023/3/30,1、用适当的符号表示下列不等式：(1)a是非负数；(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；(3)x与17的和比它的5倍小。,巩固练习,2023/3/30,2、从1、3、5、7、9中任取两个数就组成一组数，写出其中两数之和小于10的所有数组。,巩固练习,2023/3/30,合作交流,、请你设计不同的实际背景来表示下列不等式：(
49、1)(2),2023/3/30,新知归纳,“、”的意义：,(1)“”：a不小于(不低过)b表示为ab，,a为非负数表示为a0；,(2)“”：a不大于(不高过)b表示为ab，,a为非正数表示为a0。,2023/3/30,范例讲解,例2、甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：,现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式。,原料,维生素及价格,2023/3/30,3、甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：,巩固练习,在例2的条件下，如果
50、还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的另一个不等式吗？,原料,维生素及价格,2023/3/30,4、在通过桥洞时，我们往往会看到如图(1)所示的标志，这是限制车高的标志。你知道通过该桥洞的车高x(m)的范围吗？在通过桥面时，我们往往会看到如图(2)所示的标志，这是限制车重的标志。你知道通过该桥面的车重y(t)的范围吗？,巩固练习,2023/3/30,课堂小结,1、不等式的定义：,一般地，用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式。,2、“、”的意义：,(1)“”：a不小于(不低过)b表示为ab，,a为非负数表示为a0；,(2)“”：a不大于(
