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1、双曲线及标准方程,一、回顾,1.椭圆的第一定义是什么？2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？,y,|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）,a2=b2+c2,F(c,0)F(0,c),数 学 实 验（2）,1取一条拉链，2如图把它固定在板上的两点F1、F23 拉动拉链（M）思考拉链运动的轨迹,双曲线的标准方程双曲线动画.gsp,那么平面内与两定点的距离之差为非零常数的点的轨迹是什么呢？,平面内与两定点F1F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点F1F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距。|F1F2|=2c,双曲线的定义
2、,双曲线的标准方程双曲线动画.gsp,双曲线的一支,一条射线,1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是什么？,2、若常数2a=0,轨迹是什么?3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？,垂直平分线,练一练,一、动点P到点M（1，0）的距离与到点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是？,所以P点轨迹一条射线,二、平面内与两个定点间的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12 的点的轨迹是？,所以轨迹不存在。,PM-PN=2,|MN|=2,|PM-PN|=12,|MN|=10,相当于2a2c,相当于2a=2c,椭圆：平面内与两定点 F 1、F2的距离
3、之和等于常数(大于|F 1F2|即2a2c)的点的轨迹叫做椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。,双曲线：平面内与两定点 F 1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|，即2a2c)的点的轨迹叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。,共性：1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题；2、两者的定点都是焦点；3、两者定点间的距离都是焦距。,区别：椭圆是动点到两个定点的距离之和；双曲线是动点到两个定点的距离之差的绝对值。,求双曲线的标准方程,双曲线的标准方程双曲线的定义.gsp,仿照求椭圆的标准方程的方法，来求双曲线的标准方程。,1、建系设点
4、设M（x,y）是双曲线上的任意一点,双曲线的焦距为2c（c0）,焦点F1(-c,0),F2(c,0)常数=2a,F1,F2,M,双曲线的标准方程 1,因为,所以得,将这个方程移项后两边平方，得,整理得,双曲线的标准方程1,双曲线的标准方程1,上式两边再平方，得,整理得,由双曲线的定义可知，,2c2a,即ca,所以,令,其中,代入上式，得,两边同除以,，得,这个方程叫做双曲线的标准方程。,它所表示的双曲线的焦点在x轴上，,焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），,这里,双曲线的标准方程1,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么?,想一想,M,焦点是,a，b的意义同双曲线的标准方程1，那么只要将双曲
5、线的标准方程1的x，y互换，就可以得到它的方程。,双曲线的标准方程2,设M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c0），,那么，焦点 F1、F2的坐标分别是（0，-c）、（0，c）。,又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a。,由双曲线的定义，双曲线就是集合,因为,所以得,将这个方程移项后两边平方，得,整理得,双曲线的标准方程2,双曲线的标准方程2,上式两边再平方，得,整理得,由双曲线的定义可知，,2c2a,即ca,所以,令,其中,代入上式，得,两边同除以,，得,这个方程叫做双曲线的标准方程。,它所表示的双曲线的焦点在y轴上，,焦点是F1（0，-c）、F2（0，c），,这里
6、,双曲线的标准方程2,双曲线的标准方程2,如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标分别为F1（0，-c）、F2（0，c），a、b的意义同上，那么使得方程变为,二双曲线的标准方程1,它表示：1双曲线的焦点在x轴2焦点是F1（-C，0）、F2（C，0）3C2=a2+b2,二双曲线的标准方程2,它表示：1双曲线的焦点在y轴2焦点是F1（0，-C）、F2（0，C）3C2=a2+b2,相同处：x2、y2 的系数异号。a、b之间没有大小关系。,不同处：第一个式子x2 的系数为正，代表的是焦点在x轴上的双曲线。,第二个式子y2 的系数为正，代表的是焦点在y轴上的双曲线。,变1、焦点在x轴的双曲线时，求
7、焦点坐标,例1、如果方程 表示双曲线，求m的范围,解（m-1)(2-m)2或m1,变2、焦点在x轴的椭圆时，求焦点坐标,（m-1）0,(2-m)1且m2,m2.,(m-1)(2-m)0,m2,例2 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。,解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为,2a=6，2c=10.,a=3，c=5.,b2=52-32=16.,所以所求双曲线的标准方程是,练习,例3：已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两 点P1、P2 的坐标分别是（3，-）、（，5），求双曲线的标准方程。,解：因为双曲线的
8、焦点在y轴上，所以设双曲线的标准方程为,因为点P1、P2 在双曲线上，所以点P1、P2 的坐标适合双曲线的标准方程，将坐标代入得方程组,令m=，,令n=，,则方程组化为,解这个方程组，得,即a2=16，b2=9.,所以所求双曲线的标准方程为,本题用待定系数法来解的，得到关于待定e系数a，b的方程组是一个分式方程组，并且字母的次数是2.解这种方程组时，利用换元法可以将它化为二元一次方程组;也可以将a2，b2 作为未知数，直接化为分式方程组。,求标准方程的关键是什么？,1、中心、焦点位置定性；2、a、b 定量。,位置、大小定标准方程,X型:,Y型:,练习,1求适合下列条件的双曲线的标准方程,（1）
9、,（2）焦点(0，6),(0，6),经过点（2，5）,2已知方程 表示双曲线，求的取值范围,焦点在x轴上,（3）焦点在x轴上，经过（-，-）、（，）,练习,1（1）,（2）,2a=|4+（-5+6）2-4+（-5-6）2|,=|5-55|,=45,a=25.,又c=6，,b2=36-20=16,由已知双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为,练习,（3）x2-=1,2.解：-（m+1）（2+m）0,m-1或m-2,由题意可知，设双曲线的标准方程为,把已知两点的坐标代入,例3，证明椭圆 与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.,变:椭圆与双曲线的一个交点为P，F1是椭圆的左焦点,求|PF1|.,c2=25-9=16，且焦点在x轴上。,C2=15+1=16，且焦点在x轴上。,|PF1|+|PF2|=10,|PF1|-|PF2|=215,PF1=5+15,或PF1=5-15,A,B,o,A1,x,小结,课后作业:P108习题8.3第1题、第2题、第3题,2023年3月30日星期四,多谢合作！,
