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1、1,可转化为线性的多元非线性回归模型,?,前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经济变,量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。由此建立,线性回归模型进行线性回归分析。这里所说的线性是指：（,1,）,变量的线性，变量以其原型出现在模型之中，而不是以,X,2,或,X,之类的函数形式出现在模型中；（,2,）参数的线性，因变量,Y,是,各参数的线性函数。,但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系，,根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模,型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线,性模型（,Non-linear,Model,）。,2,说,明,?,在实际
2、经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接,表现为线性关系的情况并不多见。,?,如著名的,恩格尔曲线,（,Engle curves,）表现为,幂函数曲,线,形式，类似地还有生产函数等。,?,但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学,处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线,性回归模型的理论方法。,这一部分我们要关注的是（,1,）如何将非线性模型转变为,线性模型；（,2,）转变后，偏回归系数的含义。,3,1,、非线性回归模型与变量的直接置换法,当,变量是非线性的,，,参数之间是线性时,，可,以利用变量直接代换的方法将模型线性化。,因此，关于,解释变量的非线性问题,都可以通,过变量置换变
3、成线性问题。,一、模型的类型与变换,对于以下形式的非线性方程，我们可以直接,进行变量代换转换为线性方程：,4,X,X,1,*,?,0,1,1,Y,u,X,?,?,?,?,?,0,1,Y,X,u,?,?,?,?,?,0,1,l,o,g,Y,Xu,?,?,?,?,?,0,1,l,o,g,Y,Xu,?,?,?,?,?,0,1,l,o,g,l,o,g,Y,X,u,?,?,?,?,?,令,令,X,X,?,*,X,X,log,*,?,Y,Y,log,*,?,X,X,log,*,?,Y,Y,log,*,?,令,令,令,5,?,模型特点：随着,X,无限增大，,项趋于,0,，,Y,趋于极限值。,?,分三种类型：
4、,i,i,i,X,Y,?,?,?,?,?,?,1,1,0,i,X,1,1,?,?,1,0,?,0,0,X,Y,-,?,0,?,1,0,?,0,0,X,Y,?,0,?,1,0,?,0,0,X,Y,?,0,1,2,?,?,?,平均固定成本与产出水平,菲利普斯曲线,恩格尔曲线,倒数模型的线性化：令,，原方程变为：,Y=,?,0,+,?,1,Z,i,+,?,i,i,X,z,1,?,在以上的这几类模型形式中：,（,1,）倒数模型,6,（,2,）双曲函数模型,双曲函数模型的一般形式为：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型,6,1,1,i,i,i,u,Y,X,?,?,?,?,?,*,*,1,1,i,i,
5、i,i,Y,X,Y,X,?,?,*,*,i,i,i,Y,X,u,?,?,?,?,?,7,（,2,）,多项式回归模型,多项式回归模型通常用于描述生产成本函数，其一,般形式为：,其中，,Y,表示总成本，,X,表示产出，,P,为多项式的阶,数，一般不超过四阶。,多项式回归模型中，解释变量,X,以不同幂次出现在,方程的右端。这类模型也仅存在变量非线性，因而很容,易线性化，可用,OLS,法估计模型,。,i,P,i,P,i,i,i,u,X,X,X,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,2,2,1,0,8,（,3,）,半对数模型,半对数模型指的是,应变量和解释变量中一个为对,数形式而另一个为线性的
6、,模型。,被解释变量为对数形式的称为,对数,-,线性模型,（,log-lin,model,）。,解释变量为对数形式的称为,线性,-,对数模型,（,lin-,log,model,）。,9,?,我们先介绍对数,-,线性模型，其形式如下：,?,对数,-,线性模型中，斜率的含义是,Y,的百分比,变动，即,解释变量,X,变动一个单位引起的应,变量,Y,的百分比变动,。,?,这是因为，利用微分可以得出：,t,t,t,u,X,Y,?,?,?,1,0,ln,?,?,),1,(,1,ln,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,X,Y,d,Y,d,X,d,Y,Y,d,X,Y,d,
7、?,?,10,这表明，,系数度量的是解释变量,X,的单位变动所引起,的应变量,Y,的相对变动。,对数,-,线性方程又称增长模型，通常我们用这类估计,许多变量的增长率。如果,x,取“时间”,t,，即按时间顺序依,次取值为,1,，,2,，,，,T,，变量,t,的系数,?,1,度量了,ln(,Y,),随,时间向前推进产生的变化。如果,?,1,为正，则有随时间向上,增长的趋势；如果,?,1,为负，则有随时间向下的趋势，因此,t,可称为趋势变量。,例如，我们可以通过估计下面的半对数模型,得到一国,GDP,的年增长率的估计值，这里,t,为时间趋,势变量。,t,t,u,t,GDP,?,?,?,1,0,),l
8、n(,?,?,11,例：,?,求,1956-1970,年美国个人可支配收入的增长率。,X,2,:,个,人可支配收入，,X,3,:,时间变量,?,模型：,lnX,2i,=,?,1,+,?,2,t,i,+,?,i,?,求解过程,?,结果：,0000,.,0,),(,0000,.,0,0000,.,0,:,0142,.,706,57093,.,26,0298,.,390,:,9819,.,0,001591,.,0,014468,.,0,:,t,04228,.,0,6429,.,5,?,log,2,2,?,?,?,?,?,F,p,p,F,t,R,se,X,i,i,，说明,1956-,1970,年间，美
9、国个人可支配,收入每年增长,4.23%,。,比较线性趋势模型,：,X,2i,=b,2,+b,23,t,i,+,?,i,i,i,t,X,12857,.,17,7314,.,265,?,2,?,?,b,23,=17.13,，说明个人,可支配收入每年平均,增长,17,个单位。,04228,.,0,?,2,?,?,12,另外，线性,-,对数模型的形式如下：,与前面类似，我们可用微分得到,因此,这表明,t,t,t,u,X,Y,?,?,?,l,n,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,X,dX,dY,1,1,?,X,dX,dY,dX,dY,X,?,?,1,?,X,X,Y,X,Y,?,?,?,?,的相
10、对变动,的绝对变动,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,X,X,Y,1,?,上式表明，,Y,的绝对变动量等于,乘以,X,的相对变动量。,因此，线性,-,对数模型通常用于,研究解释变量的相对变动引,起的因变量的绝对变动量是多少,这类问题。,1,?,13,（,4,）双对数模型,双对数模型的应用非常广泛，其原因在于，由于回归,线是一条直线（,Y,和,X,都是对数形式），所以它的斜率为,一常数。,由于这个特殊的性质，双对数模型又称为,不变弹性模,型,。,*,1,*,（,l,n,),/,(,l,n),/,d,y,d,y,y,y,E,d,x,d,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,14,例：美
11、国咖啡需求：,1970-1980,?,美国咖啡消费（,Y,）与平均真实零售价格（,X,）,数据，（,X=,名义价格,/,食品与饮料的消费者价,格指数，,1967,年,=100,），求咖啡消费函数。,?,散点图：确定函数形式：,Y-X;lnY-lnX,?,建立模型：,lnY=,?,+,?,lnX+,?,i,?,参数估计：,15,2,.,26,F,74,.,0,R,(.049),(.015),:,se,ce,0.253lnpri,-,0.777,d,?,lndeman,2,?,?,?,咖啡需求的价格,弹性为,-0.253,16,直接置换法一般步骤,?,1,、根据有关理论或变量之间的散点图判断回归模
12、型形式。,?,2,、根据模型本身特点对模型或数据进行变量变换，使变,换后的模型或数据具有线性回归模型形式。,?,3,、对变换后的线性模型进行拟合，并进行回归检验。,?,4,、对检验符合要求的模型用原变量写出回归模型，并用,于预测或控制，对检验不符合要求的模型重新拟合，直,到符合要求为止。,17,2,、非线性回归模型与变量的间接置换,?,在某些经济问题中，经济变量之间的非线,性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形,式，需要,先通过函数形式的变形后,再进行变量,代换，转化为线性形式，这种置换方法称为间,接置换法。,?,进行变量间接代换应用最广泛的模型就是,指数模型与幂函数模型。,18,（,1,）
13、指数函数模型,指数函数模型的一般形式为,对上式两边取对数得到,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型；,i,i,b,X,u,i,Y,A,e,?,?,l,n,l,n,i,i,i,Y,A,b,X,u,?,?,?,*,l,n,l,n,i,i,Y,Y,A,?,?,?,*,i,i,i,Y,b,X,u,?,?,?,?,0,0,，,b,a,0,0,，,b,a,19,（,2,）幂函数模型,幂函数模型的一般形式为：,对上式两边取对数得到：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型：,1,2,1,2,k,i,u,i,i,i,k,i,YA,X,X,X,e,?,?,?,?,L,1,1,22,l,n,l,n,l,nl,n
14、,l,n,i,i,i,k,k,i,i,Y,A,X,X,X,u,?,?,?,?,?,?,L,*,*,*,*,0,1,1,2,2,l,n,l,n,l,n,l,n,l,n,i,i,i,i,i,k,i,k,i,Y,Y,A,X,X,X,X,X,X,?,?,?,?,?,L,*,*,*,*,0,1,1,2,2,i,i,i,k,k,i,i,Y,X,X,X,u,?,?,?,?,?,?,?,L,20,?,幂函数模型常用于人口增长、产值或利润,增长、劳动生产率以及就业等问题。这类,模型的一般形式为：,u,b,e,aX,Y,?,1,0,b,a,1,0,0,b,a,0,，,0,b,a,21,以柯布,道格拉斯（,Cobb
15、,Douglas,）生产函数,模型,为例,下表列出了,1955-1974,年间墨西哥的产出,Y,（用国内生,产总值,GDP,度量，以,1960,年不变价格计算，单位为百万,比索）、劳动投入,X,2,（用总就业人数度量，单位为千人,）以及资本投入,X,3,（用固定资本度量，以,1960,年不变价格,计算，单位业百万比索）的数据，试用回归分析法解释在,墨西哥国内生产总值产出中，各要素的贡献及其产出特点,。,例题：,?,?,?,e,L,AK,Q,?,22,表,墨西哥的实际,GDP,、就业人数和实际固定资本,年份,GDP,就业人数,固定资产,1955,1956,1957,1958,1959,1960,
16、1961,1962,1963,1964,1965,1966,1967,1968,1969,1970,1971,1972,1973,1974,114043,120410,129187,134705,139960,150511,157897,165286,178491,199457,212323,226977,241194,260881,277498,296530,306712,329030,354057,374977,8310,8529,8738,8952,9171,9569,9527,9662,10334,10981,11746,11521,11540,12066,12297,12955,13
17、338,13738,15924,14154,182113,193749,205192,215130,225021,237026,248897,260661,275466,295378,315715,337642,363599,391847,422382,455049,484677,520533,561531,609825,23,解：根据所提供的数据，运用,Eviews4.1,回归,输出结果如下：,p,e,n,d,e,n,t,V,a,r,i,a,b,l,e,:,L,N,Y,M,e,t,h,o,d,:,L,e,a,s,t,S,q,u,a,r,e,s,D,a,t,e,:,0,3,/,2,5,/,0,
18、3,T,i,m,e,:,2,1,:,4,3,S,a,m,p,l,e,:,1,9,5,5,1,9,7,4,I,n,c,l,u,d,e,d,o,b,s,e,r,v,a,t,i,o,n,s,:,2,0,V,a,r,i,a,b,l,e,C,o,e,f,f,i,c,i,e,n,t,S,t,d,.,E,r,r,o,r,t,-,S,t,a,t,i,s,t,i,c,P,r,o,b,.,C,-,1,.,6,5,2,3,7,9,0,.,6,0,6,1,7,5,-,2,.,7,2,5,9,1,0,0,.,0,1,4,4,L,N,X,2,0,.,3,3,9,6,9,4,0,.,1,8,5,6,8,7,1,.,8,2,
19、9,3,8,3,0,.,0,8,4,9,L,N,X,3,0,.,8,4,6,0,2,3,0,.,0,9,3,3,5,0,9,.,0,6,2,9,1,1,0,.,0,0,0,0,R,-,s,q,u,a,r,e,d,0,.,9,9,5,0,8,1,M,e,a,n,d,e,p,e,n,d,e,n,t,v,a,r,1,2,.,2,2,6,0,5,A,d,j,u,s,t,e,d,R,-,s,q,u,a,r,e,d,0,.,9,9,4,5,0,2,S,.,D,.,d,e,p,e,n,d,e,n,t,v,a,r,0,.,3,8,1,4,9,7,S,.,E,.,o,f,r,e,g,r,e,s,s,i,o,n,
20、0,.,0,2,8,2,8,8,A,k,a,i,k,e,i,n,f,o,c,r,i,t,e,r,i,o,n,-,4,.,1,5,5,2,9,8,S,u,m,s,q,u,a,r,e,d,r,e,s,i,d,0,.,0,1,3,6,0,3,S,c,h,w,a,r,z,c,r,i,t,e,r,i,o,n,-,4,.,0,0,5,9,3,8,L,o,g,l,i,k,e,l,i,h,o,o,d,4,4,.,5,5,2,9,8,F,-,s,t,a,t,i,s,t,i,c,1,7,1,9,.,3,6,5,24,回归方程为,：,t=(-2.73)(1.83)(9.06),p=(0.0144*)(0.085)(
21、0.000*),R,2,=0.995,F=1719.365,对回归方程解释如下：,斜率系数,0.3397,表示产出对劳动报酬的弹性，即表明在,资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，,平均产出将增加,0.3397,个百分点。同样地，在劳动投入保持,不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增,加,0.8640,个百分点。两个弹性系数相对为规模报酬参数，其,数值等于,1.1857,，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的,（如果数值等于,1,，属于规模报酬不变；小于,1,，则属于规模,报酬递减）。,L,K,Y,ln,8460,.,0,ln,3397,.,0,6524,.,1,?
22、,ln,?,?,?,?,25,虽然资本对产出的影响看似大于劳动力对产出的影响,，但根据单边检验的结果，这两个系数各自均是统计显著,的（这是用单边检验，因为我们预期劳动力和资本对产出,影响都是正向的）估计的,F,值也是高度相关的（因为,p,值,几乎为零），因此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出,无影响。,R,2,值为,0.995,，表明劳动力和资本（对数）解释了大,约,99.5%,的产出（对数）的变动，说明了模型很好地拟合,了样本数据。,26,3,、复杂函数模型与级数展开法,例如，著名的,CES,生产函数将产出量,Q,与投,入要素（,）之间的关系描述为如下的复杂函数,形式：,方程两边取对数后，得
23、到,：,K,L,?,?,?,?,?,?,e,L,K,A,Q,1,),(,2,1,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,2,1,1,L,K,Ln,LnA,LnQ,27,?,将式中,在,处展开泰勒级数，取关于的线性项，即,得到一个线性近似式。,如取,0,阶、,1,阶、,2,阶项，可得,L,n,K,L,(,),?,?,?,?,1,2,?,?,?,?,?,0,2,2,1,2,1,ln,2,1,ln,ln,ln,ln,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,K,m,L,m,K,m,A,Y,?,?,?,?,?,28,
