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1、第四章,平面向量、数系的扩充,与复数的引入,目录,第,1,课时,向量的概念及线性运算,目录,2014,高考导航,考纲展示,备考指南,1.,了解向量的实际背景,.,2.,理解平面向量的概念,，,理解两个向量相,等的含义,.,3.,理解向量的几何表示,.,4.,掌握向量加法、减法的运算,，,并理解其,几何意义,.,5.,掌握向量数乘的运算及其几何意义,，,理,解两个向量共线的含义,.,6.,了解向量线性运算的性质及其几何意义,.,1.,平面向量的线性运算是,考查重点,.,2.,共线向量定理的理解和,应用是重点,，,也是难点,.,3.,题型以选择题、填空题,为主,，,常与解析几何相联,系,.,本节目
2、录,教,材,回,顾,夯,实,双,基,考,点,探,究,讲,练,互,动,名,师,讲,坛,精,彩,呈,现,知,能,演,练,轻,松,闯,关,目录,教材回顾夯实双基,基础梳理,1.,向量的有关概念,(1),向量：既有,_,又有,_,的量向量的大小叫做向量,的,_,(,或模,),(2),零向量：长度为,0,的向量，其方向是,_,的,(3),单位向量：长度等于,_,的向量,(4),平行向量：方向,_,的非零向量,(5),相等向量：长度,_,且方向,_,的向量,(6),相反向量：长度,_,且方向,_,的向量,大小,方向,长度,任意,1,个单位长度,相同或相反,相等,相同,相等,相反,目录,2.,向量的加法与减
3、法,(1),加法,法则：服从三角形法则和平行四边形法则,性质：,a,b,_,(,交换律,),；,(,a,b,),c,a,(,b,c,)(,结合律,),；,a,0,0,a,a,.,(2),减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则,b,a,目录,3.,实数与向量的积,(1)|,a,|,|,|,a,|.,(2),当,_,时,a,与,a,的方向相同；当,_,时,a,与,a,的方,向相反；当,0,时，,a,0.,(3),运算律：设,，,R,，则：,(,a,),_,；,(,),a,_,；,(,a,b,),_,4.,两个向量共线定理,向量,b,与非零向量,a,共线的充要条件是有且只有一个实数,，使,得,_
4、,0,0,(,),a,a,a,a,b,b,a,目录,思考探究,如何用向量法证明三点,A,、,B,、,C,共线？,提示：,首先求出,AB,、,AC,，,然后证明,AB,AC,(,R),，,即,AB,与,AC,共线即可,目录,课前热身,1.,设,a,0,，,b,0,分别是与,a,，,b,同向的单位向量，则下列结论中,正确的是,(,),A,a,0,b,0,B,a,0,b,0,1,C,|,a,0,|,|,b,0,|,2,D,|,a,0,b,0,|,2,解析：选,C.,因为是单位向量,，,所以,|,a,0,|,1,，,|,b,0,|,1.,目录,2.,已知,O,，,A,，,B,是平面上的三个点，直线,A
5、B,上有一点,C,，,满足,2,AC,CB,0,，则,OC,等于,(,),A,2,OA,OB,B,OA,2,OB,C.,2,3,OA,1,3,OB,D,1,3,OA,2,3,OB,答案：,A,目录,3.,如图所示，在平行四边形,ABCD,中，下列结论中错误的是,(,),A.,AB,DC,B.,AD,AB,AC,C.,AB,AD,BD,D.,AD,CB,0,解析：选,C.A,显然正确，由平行四边形法则知,B,正确,C,中,AB,AD,DB,，所以错误,D,中,AD,CB,AD,DA,0.,目录,4.,已知,|,a,|,1,，,|,b,|,2,，,a,b,，则,等于,_,解析：因为,a,b,，所以
6、,|,a,|,|,|,|,b,|,，即,1,2,|,|,，所以,1,2,.,答案：,1,2,目录,5.,若,a,“向东走,8,km,”,，,b,“向北走,8,km,”,，则,|,a,b,|,_,；,a,b,的方向是,_,解析：根据向量加法的几何意义，,|,a,b,|,表示以,8 km,为边长,的正方形的对角线长，,|,a,b,|,8,2,，,a,b,的方向是东北方向,答案：,8,2,东北方向,目录,考点探究讲练互动,例,1,考点突破,考点,1,平面向量的基本概念,有向线段就是向量，向量就是有向线段；,向量,a,与向量,b,平行，则,a,与,b,的方向相同或相反；,向量,AB,与向量,CD,共线
7、，则,A,、,B,、,C,、,D,四点共线；,如果,a,b,，,b,c,，那么,a,c,.,以上命题中正确的个数为,(,),A,1,B,2,C,3,D,0,目录,【解析】,不正确,，,向量可以用有向线段表示,，,但向量不,是有向线段,，,有向线段也不是向量；,不正确,，,若,a,与,b,中有一个为零向量,，,零向量的方向是不确,定的,，,故两向量方向不一定相同或相反；,不正确,，,共线向量所在的直线可以重合,，,也可以平行；,不正确,，,如果,b,0,时,，,则,a,与,c,不一定共线,所以应选,D.,【答案】,D,目录,【题后感悟】,准确理解向量的基本概念是解决这类题目的,关键共线向量即为平
8、行向量,，,非零向量平行具有传递性,，,两个向量方向相同或相反就是共线向量,，,与向量长度无,关两个向量方向相同且长度相等,，,才是相等向量共线向,量和相等向量均与向量起点无关,目录,跟踪训练,1.,给出下列命题：,(1),两个具有公共终点的向量，一定是共线向量,(2),两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小,(3),a,0(,为实数,),，则,必为零,(4),，,为实数，若,a,b,，则,a,与,b,共线,其中错误命题的个数为,(,),A,1,B,2,C,3,D,4,目录,解析,:,选,C.(1),错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点,.,(2),正确因为向量既有大小,，,又有方向,
9、，,故它们不能比较大,小,，,但它们的模均为实数,，,故可以比较大小,(3),错误当,a,0,时,，,不论,为何值,，,a,0.,(4),错误当,0,时,，,a,b,此时,a,与,b,可以是任意向量,目录,例,2,考点,2,平面向量的线性运算,如图，,正方形,ABCD,中，,点,E,是,DC,的中点，,点,F,是,BC,的一个三等分点，那么,EF,(,),A.,1,2,AB,1,3,AD,B.,1,4,AB,1,2,AD,C.,1,3,AB,1,2,DA,D.,1,2,AB,2,3,AD,目录,【解析】,在,CEF,中，有,EF,EC,CF,.,因为点,E,为,DC,的中点，,所以,EC,1,
10、2,DC,.,因为点,F,为,BC,的一个三等分点，,所,以,CF,2,3,CB,.,所以,EF,1,2,DC,2,3,CB,1,2,AB,2,3,DA,1,2,AB,2,3,AD,，故选,D.,【答案】,D,目录,【方法提炼】,三角形法则和平行四边形法则是向量线性运,算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三,角形法则；在,ABC,中，当,M,为,BC,中点时，,AM,1,2,(,AB,AC,),应作为公式记住,目录,跟踪训练,2.,在,ABC,中，,AB,c,，,AC,b,，若点,D,满足,BD,2,DC,，则,AD,(,),A.,2,3,b,1,3,c,B.,5,3,c,2,3
11、,b,C.,2,3,b,1,3,c,D.,1,3,b,2,3,c,解析：选,A.,BD,2,DC,，,AD,AB,2(,AC,AD,),，,3,AD,2,AC,AB,，,AD,2,3,AC,1,3,AB,2,3,b,1,3,c.,目录,例,3,考点,3,平面向量共线定理的应用,已知非零向量,e,1,，,e,2,不共线,(1),如果,AB,e,1,e,2,，,BC,2,e,1,8,e,2,，,CD,3(,e,1,e,2,),，,求证：,A,、,B,、,D,三点共线；,(2),欲使,ke,1,e,2,和,e,1,ke,2,共线，试确定实数,k,的值,目录,【解】,(1),证明：,AB,e,1,e,
12、2,，,BD,BC,CD,2,e,1,8,e,2,3,e,1,3,e,2,5(,e,1,e,2,),5,AB,，,AB,与,BD,共线，且有公共点,B,，,A,、,B,、,D,三点共线,(2),ke,1,e,2,与,e,1,ke,2,共线，,存在,，使,ke,1,e,2,(,e,1,ke,2,),，,则,(,k,),e,1,(,k,1),e,2,.,由于,e,1,与,e,2,不共线，,只能有,?,?,?,?,?,k,0,，,k,1,0,，,k,1.,目录,【名师点评】,(1),向量共线是指存在实数,使两向量能互相表示,.,(2),向量共线的充要条件中,，,通常只有非零向量才能表示与之共,线的其
13、他向量,，,要注意待定系数法和方程思想的运用,(3),证明三点共线问题,，,可用向量共线来解决,，,但应注意向量共,线与三点共线的区别与联系,，,当两向量共线且有公共点时,，,才,能得出三点共线,目录,跟踪训练,3.,已知向量,a,2,e,1,3,e,2,，,b,2,e,1,3,e,2,，其中,e,1,、,e,2,不共,线，向量,c,2,e,1,9,e,2,.,问是否存在这样的实数,、,，使向,量,d,a,b,与,c,共线？,解：,d,(2,e,1,3,e,2,),(2,e,1,3,e,2,),(2,2,),e,1,(,3,3,),e,2,，,要使,d,与,c,共线，则应有实数,k,，使,d,
14、kc,，,即,(2,2,),e,1,(,3,3,),e,2,2,ke,1,9,ke,2,，,即,?,?,?,?,?,2,2,2,k,，,3,3,9,k,，,得,2,.,故存在这样的实数,、,，,只要,2,，就能使,d,与,c,共线,目录,方法感悟,1.,共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相,同或相反当然向量所在的直线可以平行，也可以重合其,中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义实际,上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相,同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等这,样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不,一定是相等向量，而相等向量一定是
15、共线向量,目录,2.,向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系,相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多,记忆一些有关的结论,3.,对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置,(,共线,或不共线,),与向量等式之间所建立的对应关系用向量共线定,理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题但是向量平,行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况也,就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量,满足向量等式,b,a,，再结合条件或图形有无公共点证明几何,位置,目录,破解平面向量中的新定义问题,(2012,高考广东卷,),对任意两个非零的平面向量,和,定义,若两个
16、非零的平面向量,a,，,b,满足,a,与,b,的夹角,?,?,?,?,4,，,2,，且,a,b,和,b,a,都在集合,中,则,a,b,(,),A.,5,2,B.,3,2,C,1,D.,1,2,名师讲坛精彩呈现,例,1,2,难题易解,?,?,?,?,?,?,n,2,|,n,Z,目录,抓信息,破难点,定义,等式右边是数量积运算，从而可知,是实数；,由于,a,b,和,b,a,都在集合,n,2,|,n,Z,，,可设两数为,n,2,，,m,2,，,两式相乘，可判断,1,4,mn,的范围,1,2,目录,【解析】,a,b,a,b,b,2,|,a,|,b,|,|,b,|,2,cos,|,a,|,|,b,|,c
17、os,，,b,a,|,b,|,|,a,|,cos,.,因为,|,a,|,0,，,|,b,|,0,，,0,cos,2,2,，,且,a,b,、,b,a,?,?,?,?,?,?,n,2,|,n,Z,，,所以,|,a,|,|,b,|,cos,n,2,，,|,b,|,|,a,|,cos,m,2,，,其中,m,、,n,N,*,，,两式相乘，,得,m,n,4,cos,2,.,因为,0,cos,2,2,，所以,0,cos,2,1,2,，得,到,0,m,n,2,，故,m,n,1,，即,a,b,1,2,，故选,D.,【答案】,D,目录,【方法提炼】,解答这类问题,，,首先需要分析新定义的特,点,，,把新定义所叙述
18、的问题的本质弄清楚,，,然后应用到具体,的解题过程之中,，,这是破解新定义信息题难点的关键所在,目录,跟踪训练,4.(2013,泰安十校联考,),定义平面向量之间的一种运算“”,如下：对任意的,a,(,m,，,n,),，,b,(,p,，,q,),令,a,b,mq,np,，,下面说法错误的是,(,),A,若,a,与,b,共线，则,a,b,0,B,a,b,b,a,C,对任意的,R,，有,(,a,),b,(,a,b,),D,(,a,b,),2,(,a,b,),2,|,a,|,2,|,b,|,2,解析：选,B.,a,b,mq,np,，,b,a,pn,qm,，,只有当,mq,np,0,时,，,a,b,b,a,，,故,B,错误,目录,知能演练轻松闯关,目录,本部分内容讲解结束,按,ESC,键退出全屏播放,
