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1、 函数的单调性及典型习题太和六中 李文芳一、函数的单调性1、定义：（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是减函数，如图（2）注意：单调性定义中的x1、x2有什么特征：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间2、巩固概念：1、 根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)能否推出x1x2)2、 我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律，你有什么发现没有？3、 如果将增函数中的“当时，都有”改为
2、当时，都有结论是否一样呢？4、 定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。判断题：已知因为，所以函数是增函数若函数满足则函数在区间上为增函数若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不
3、能用特殊值说明问题。函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数例1、证明函数在（0，+）是减函数练习1：证明函数在上是增函数（2）单调区间如果函数yf（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做yf（x）的单调区间熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性1函数yf（x）与函数yf（x）的单调性相反2当f（x）恒为正或恒为负时，函数y与yf（x）的单调性相反3在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等3判断函数单调性的方法（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如
4、一次函数，二次函数的单 调性均可直接说出（3）图象法例2、设函数f（x）lg,试判断f（x）的单调性，并给出证明例3、求下列函数的增区间与减区间(1)y|x22x3|例4、函数f(x)ax2(3a1)xa2在1，上是增函数，求实数a的取值范围例5、已知二次函数yf(x)(xR)的图像是一条开口向下且对称轴为x3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)例6、 函数f (x)| x | 和g (x)x (2x )的递增区间依次是 ( )A. B. C. D.例7、已知a、b是常数且a0, f (x), 且, 并使方程有等根.(1) 求f (x )的解析式;(2) 是否存在实数m、n, 使f
5、(x )的定义域和值域分别为和?同步训练：一、选择题1下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是Ay|x21| By Cy2x2x1 Dy|x|12如果奇函数f（x）在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间7，3上是A. 增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为53若函数解析式为yf（x），则下列判断正确的是 A、若f（x）在（,0）和（0，）上均是增函数，则f（x）在（,0）（0,）上也是增函数 B、若f（x）在（,0）和（0，）上均是减函数，则f（x）在（，0）（0，）上也是减函数 C、若f（x）是偶函数，且在（0，）上是增函数，则f（
6、x）在（，0）上也是增函数 D、若f（x）是奇函数，且在（0，）上是增函数，则f（x）在（,0）上是增函数二、填空题4已知函数yx22x1在区间3，a上是增函数，则a的取值范围是_5设函数yf（x）是定义在（1，1）上的增函数，则函数yf（x21）的单调递减区间是_6若函数yax,y在（0，）上都是减函数，则函数yax2bx在（0,）上是_（填单调性）三、 解答题7 已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）0，又g（x）f（x） c（c为常数）在a,b（ab上是单调递减函数，判断并证明g（x）在b,a上的增减性课后巩固：1、利用函数单调性定义证明函数f(x)x31在(，)上是减函数2、.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。（1）求证：； （2）证明：时恒有；（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围。
