《初中几何辅助线——圆常用辅助线.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中几何辅助线——圆常用辅助线.doc（9页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、初中几何辅助线圆常用辅助线题型1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD证明:过O作OEAB于EO为圆心，OEABAE = BE CE = DEAC = BD练习：如图，AB为O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求O的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB是O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB,DNAB,求证：
2、 证明：（一）连结OC、ODM、N分别是AO、BO的中点OM = AO、ON = BOOA = OBOM = ONCMOA、DNOB、OC = ODRtCOMRtDONCOA = DOB（二）连结AC、OC、OD、BDM、N分别是AO、BO的中点AC = OC BD = ODOC = ODAC = BD题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M、N分别是O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：AMN = CNM证明：连结OM、ONO为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点OMAB ONCDAB = CDOM = ONOMN = ONMAMN = 90oOMN CNM = 90oONMA
3、MN =CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知O1与O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交O1、O2于A、C、D、B.求证：AC = BD证明：过O1作O1MAB于M,过O2作O2NAB于N，则O1MO2NO1P = O2PO1M = O2NAC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD = CE证明：连结OCC为弧AB的中点AOC =BOCD、E分别为OA、OB的中点，且AO = BOOD =
4、 OE = AO = BO又OC = OCODCOECCD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半.结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交O于D，求证：AC = DC证明：连结ADAB为O的直径ADP = 90o AC = PCAC = CD =AP练习：如图，在RtABC中，BCA = 90o ,以BC为直径的O交AB于E，D为AC中点，连结BD交O于F.求证：题型6.有垂直弦时
5、也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆周角练习：1.如图，O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交O于M.求证：AMD =FMC(提示：连结BM)2.如图，ABC内接于O，D、E在BC边上，且BD = CE，1 =2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在O中，ABCD，OEBC于E，求证：OE =AD证明：作直径CF，连结DF、BFCF为O的直径CDFD又CDABABDFAD = BFOEBC O为圆心 CO = FOCE = BEOE =BFO
6、E =AD题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，ABC内接于O，直线AD平分FAC，交O于E，交BC的延长线于D，求证：ABAC = ADAE证明：连结BE1 =3 2 =13 =2四边形ACBE为圆内接四边形ACD =EABEADCABAC = ADAE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，O1与O2相交于A、B，过A的直线分别交O1、O2于C、D，过B的直线分别交O1、O2于E、F.求证：CEDF证明：连结AB四边形为圆内接四边形ABF =C 同理可证：ABE =DABF ABE = 180oCD = 180oCEDF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引
7、辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P为O外一点，以OP为直径作圆交O于A、B两点，连结PA、PB.求证：PA、PB为O的切线证明：连结OA PO为直径PAO = 90oOAPAOA为O的半径PA为O的切线同理：PB也为O的切线例11如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线证明：连结OE，过O作OFCD于FOE为半径，AB为小圆的切线OEABOFCD, AB = CDOF = OECD为小圆的切线练习：如图，等腰ABC，以腰AB为直径作O交底边BC于P，PEAC于E,求证：PE是O的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在RtABC中，C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径的O切AC于E，求AD长.解：连结OE，则OEACBCACOEBC在RtABC中，AB = OE = OB = BD = 2OB = AD = ABDB = 15= 答：AD的长为.练习：如图，O的半径OAOB，点P在OB的延长线上，连结AP交O于D，过D作O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD
