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1、多元函数积分学知识结构：必备基础知识 二重积分的定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域：Ds 1, Ds 2, , Ds n ，其中Ds i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个Ds i上任取一点(x i, hi), 作和：. 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作, 即.f(x, y)被积函数, f(x, y)ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和. 二重积分的几何意义如果f(x, y)0, 被积函数f(x, y)可解释为
2、曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）。性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与 D2，则。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质4 如果在D上，f（x，y）
3、= 1，s 为D的面积，则。此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。性质5：如果在D上, f (x, y)g(x, y), 则有不等式：特殊地，性质6设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有： .上述不等式是对二重积分估值的不等式。性质7（二重积分的中值定理）设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得：. 积分区域的分类（1）上下结构：平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成特点：（1）平面图形上下是两条曲线y=f上(x
4、)和y=f下(x)，左右是两条直线x=a与x=b；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是y=f下(x)，出来区域交的是y=f上(x)例：抛物线、所围成的图形解：该平面图形为上下结构：上面是曲线：； 下面是曲线：；左边是直线：；右边是直线：。 （2）左右结构：平面图形由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成。特点：（1）平面图形左右是两条曲线x=j左(y)和x=j右(y)，上下是两条直线y=d与y=c；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是x=j左(y)，出来区域交的是x=j右(y)。例：由曲线和直线所围成的图形解：该平面
5、图形为左右结构： 左边是曲线：； 右边是曲线：；上面是直线：；下面是直线：。主要考察知识点和典型例题：二重积分是定积分的扩展，是二元函数的积分，具有和定积分相似的定义和性质。从考试的角度看，主要是考查二重积分的计算，考查方法是直接给定一个二重积分，让我们选择合适的方法进行计算。二重积分的计算首先要确定坐标系，即：是在直角坐标系下还是在极坐标系下计算，两种情况往年都考过，所以都需要大家掌握。（1）当二重积分的积分区域为圆面、环面、扇面等区域时，考虑用极坐标；当被积函数含有、也要考虑极坐标。（2）其余情况一般考虑在直角坐标系下计算。考点一：利用直角坐标计算二重积分（转化为二次积分）1、上下结构区域
6、: D : j1(x)yj2(x), axb .（先后）法则：前看端点，后作平行（2）左右结构区域: D : y1(y) xy2(y), cyd（先后）法则：前看端点，后作平行典型例题 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解: 方法一. 可把D看成是上下结构区域: 1x2, 1yx . 于是. 方法二. 也可把D看成是左右结构区域: 1y2, yx2 . 于是. 【注】: (1) 若积分区域既是 上下结构区域又是左右结构区域 , 则有为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干上下结构域或左右结构域 , 则考点二： 利用极
7、坐标计算二重积分（转化为二次积分） 若积分区域可表示为：aqb, j 1(q)rj 2(q),则. 典型例题：计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为0ra , 0q 2p . 于是 . 往年真题：计算，其中为与的公共部分。 解：在极坐标系中, 闭区域D可表示为0q ，0r , 于是常微分方程知识结构：一阶微分方程二阶微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程微分方程必备基础知识 微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 我们把未知函数为一元函
8、数的微分方程称为常微分方程。常微分方程的一般形式是： 其中为自变量，是未知函数. 微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. 微分方程的解在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 微分方程的特解、通解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 可分离变量的微分方程概念设有一
9、阶微分方程,如果其右端函数能分解成，即有，则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中都是连续函数. 一阶线性微分方程的概念（1）形如 （1）的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. （一阶是指方程中导数的最高阶是一阶，线性是指和的次数都是一次）（2）当方程（1）成为 （2）这个方程称为对应于非齐次线性方程的一阶齐次线性方程. 相应地，方程（1）称为一阶非齐次线性方程. 二阶常系数齐次线性微分方程的概念方程 （*）称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构如果与是方程(*)的两个线性无关的特解，则就是方程(*)的通解，其
10、中是任意常数. 二阶常系数齐次线性微分方程特征方程（就是把换成，换成，换成得到的方程）方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出. 二阶常系数非齐次线性微分方程的概念二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程 （*）称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构（非齐次的通解齐次的通解非齐次的特解）定理 设是方程(*)的一个特解，而是其对应的齐次方程(*)的通解，则 就是二阶非齐次线性微分方程(*)的通解.主要考察知识点和典型例题：考点一：可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量, 将方程写
11、成g(y)dy =f(x)dx的形式；第二步 两端积分:, 设积分后得G(y)=F(x)+C；第三步 求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=F(x)或x=Y(y)G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解。典型例题 求微分方程的通解.解 (1)分离变量得(2)两端积分得 (3)从而,记则得到题设方程的通解 往年真题：微分方程的通解为_。解：分离变量：两边积分：，所以：考点二： 一阶线性微分方程1、齐次线性方程的解法 齐次线性方程是变量可分离方程. 分离变量后得, 两边积分, 得, 或, 这就是齐次线性方程的通解（
12、积分中不再加任意常数）. 2、 非齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的通解为：, 或. 注：非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 典型例题 求下列微分方程满足所给初始条件的特解. 解 将方程标准化为于是由初始条件得 故所求特解为往年真题：求的通解解 于是所求通解为考点三： 二阶常系数齐次线性微分方程的通解求解步骤求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步骤为: 第一步 写出微分方程的特征方程：r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2. 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 典型例题 求微分方程y-
13、2y-3y=0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 其根r1=-1, r2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x. 往年真题：求方程的通解.解 所给微分方程的特征方程为其根是两个不相等的实根，因此所求通解为考点四、 二阶常系数非齐次线性微分方程f(x)=Pm(x)elx 型特解得确定方法：当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如 (8.4)的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.典型例题 求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.
14、解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x, l=2). （1）与所给方程对应的齐次方程为：y-5y+6y=0, 它的特征方程为：r2-5r +6=0. 特征方程有两个实根r1=2, r2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2e3x . （2）由于l=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得-2b0x+2b0-b1=x. 比较两端x同次幂的系数, 得 , 由此求得, b1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为. （3）从而所给方程的通解为. 无穷级数知识点睛
15、知识结构：必备基础知识无穷级数的概念做级数的一般项.级数的部分和：级数敛散性定义：（级数是否收敛就看部分和极限是否存在）级数收敛的必要条件：正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数几个特殊级数的敛散性交错级数：交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的。一般项级数：是指级数的各项可以是正数、负数或零，幂级数形式是：的级数称为幂级数，其中常数a0,a1,a2,an,叫做幂级数的系数. 收敛半径与收敛区间泰勒级数麦克劳林级数在泰勒级数中取x0=0,得此级数称为f（x）的麦克劳林级数。常用的展开式公式主要考察知识点和典型例题：（2）综合规划环境影响篇章或者说明的内容。考点一、正项级数的判敛法作为
16、一般性掌握1、2、 建设项目环境影响评价技术服务机构（以下简称“环评机构”）应当按照建设项目环境影响评价资质管理办法的规定申请建设项目环境影响评价资质（以下简称“环评资质”），经国家环境保护部审查合格，取得建设项目环境影响评价资质证书后，方可在环评证书规定的资质等级和评价和范围内从事环境影响评价技术服务。比较判别法（大收敛、小收敛，小发散、大发散）2、比较审敛法的极限形式定理（比较审敛法的极限形式）（2）生产、储存危险化学品（包括使用长输管道输送危险化学品）的建设项目；3、比值判别法定理（比值审敛法,达朗贝尔判别法）根据工程、系统生命周期和评价的目的，安全评价分为三类：安全预评价、安全验收评价
17、、安全现状评价。根据比值审敛法可知所给级数收敛.考点二、交错级数的判敛法定理（莱布尼茨定理）2.辨识与分析危险、有害因素报告内容有：建设项目基本情况、建设项目所在地自然环境社会环境简况、环境质量状况、主要环境保护目标、评价适用标准、工程内容及规模、与本项目有关的原有污染情况及主要环境问题、建设项目工程分析、项目主要污染物产生及预计排放情况、环境影响分析、建设项目拟采取的防治措施及预期治理效果、结论与建议等。考点三、一般项级数的判敛法（绝对收敛与条件收敛）绝对收敛与条件收敛（2）规划编制机关在报送审批专项规划草案时，将环境影响报告书一并附送。说明：判断一个级数绝对收敛还是条件收敛，就是把级数的每一项先加绝对值再进行判断！典型例题的收敛半径与收敛区间。发现规划存在重大环境问题的，审查时应当提出不予通过环境影响报告书的意见；大纲要求考点五、函数展开成幂级数（主要是指展开成麦克劳林级数）1、直接法（五）建设项目环境影响评价文件的审批2、间接展开法:
