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1、数列通项公式专题前言：递推公式就是用等式给出一个数列任意相邻项之间存在的规律，是对数列规律的一种呈现方式。最简单的是给出任意相邻两项之间的规律，并给出第一项的值；也有给出任意相邻三项之间的规律，并给出第一项和第二项的值。根据这样的递推公式，我们可以依次求出已知项的后一项，再后一项，还可以求出数列的通项公式。 递推公式与通项公式的相同之处都是揭示数列存在的规律；不同之处在于前者揭示的是任意相邻项之间的规律，后者揭示的是任一项与项数之间的规律。（一）整式型1.累加法2.累乘法3.构造法4.对数法（二）分式型1.倒数法2.函数不动点法 深圳金桥家教网 （三）其它类型1.特征方程法2.分段数列3.周期
2、数列4.数学归纳法5.迭代法6.含型（公式法）7.逐代法+解方程法（一）整式型1.累加法形如型，若f(n)为n的函数时，用累加法.1.（2003天津文） 已知数列an满足,证明2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：3.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案： 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.4. (2008福建文) 已知是整数组成的数列，且点在函数的图像上：（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证：5（2007北京文、理) （本小题共13分）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项
3、公式2.累乘法形如型，当f(n)为n的函数时,用累乘法.1.已知数列满足，求数列的通项公式。2.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：=.3.已知,求数列an的通项公式.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.4(2008天津理) 在数列与中，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（）求的值；（）求数列与的通项公式；3.构造法形如,其中)型，1. 已知数列中，求通项.方法1：若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,方法2：有时我们从递推关
4、系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.方法3：归纳、猜想、证明.先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同形如型1.在数列中，求通项.2.在数列中，,求通项.3.（2003天津理）设为常数，且证明对任意1，；4.（2010重庆理数）在数列中，=1，其中实数。求的通项公式；5（2008安徽文）设数列满足其中为实数，且（）求数列的通项公式（）设，,求数列的前项和；6.（2007全国理）（本小题满分12分）设数列an的首项a1 (0,1), an=
5、，n=2,3,4（1）求an的通项公式；（2）设，求证0， 用对数法. （2）p0时 用迭代法.1.设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.2. 数列中，（n2），求数列的通项公式. 答案：3.（2005江西卷）已知数列，（1）证明 （2）求数列的通项公式an（二）分式型1.倒数法形如型1. 已知数列中，求通项公式。2. (2008陕西理)已知数列的首项，求的通项公式；3.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（）证明2.函数不动点法形如型,方法：不动点法:1. 设数列an满足,求an的通项公式.2. 设数列an满足,求an的通项公式.3（20
6、07四川理）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数（）用表示；（）求证：对一切正整数，的充要条件是；（）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式我们设,由方程求得二根x,y,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为类型5来求. （三）其它类型1.相邻三项型（特征方程法）形如(其中p,q为常数)型1.数列中，若,且满足,求.2. 已知数列满足，且,且满足,求.3. 斐波那契
7、数列，求通项公式。4.已知数列且，求通项公式。5. 已知数列且，求通项公式。6.设数列满足，代入，得相除得即的等比数列，。7. (2008广东理)已知p，q是实数，,为方程的两个实根，数列满足, (n=3,4,.), (1)证明：,; (2)求数列的通项公式； (3)若求的前n项和.关于一阶线性递推数列：其通项公式的求法一般采用如下的参数法1，将递推数列转化为等比数列：对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法2：设递推公式为其特征方程为，1、 若方程有两相异根、，则2、 若方程有两等根则 其中、可由初始条件确定。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。设，则,令
8、（*）（1） 若方程组（*）有两组不同的解,则, ,由等比数列性质可得, ,由上两式消去可得.特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为其中、可由初始条件求出。（2） 若方程组（*）有两组相等的解，易证此时，则，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去（或）即得此方程的两根即为特征方程的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。2.分段数列1.(2008上海理)已知以a1为首项的数列an满足：an1当a11，
9、c1，d3时，求数列an的通项公式当0a11，c1，d3时，试用a1表示数列an的前100项的和S1002. (2008湖南理)数列 ()求并求数列的通项公式；3.（2005江西卷）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：因为以下同例1，略答案 3.周期数列形如型1. 数列满足,求数列an的通项公式.（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.分析 1：构造 转化为型解法1：
10、令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故 解法2：时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要还原成n的表达式.形如型1. 已知数列,求此数列的通项公式. 注：同上例类似，略.（1）若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.4. 数学归纳法1数列中，求数列的通项公式。5. .迭代法1数列中，求数列的通项公式。2数列中，求数列的通项公式。3数列中，求数列的通项公式。4
11、数列中，求数列的通项公式。5数列中，求数列的通项公式。6.含型（公式法）1数列中，Sn为数列的前n项和，n2时=3Sn，求数列的通项公式。2. 设数列满足()求数列的通项；（）设bn=，求数列的前n项和Sn.3.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。求数列与数列的通项公式；4(2008全国卷理)设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围5.（2007福建文)数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (nN*).(I)求数列an的通项an;(II)求数列nan的前n项和T.6.（2007重庆理）(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；7.（2010上海文数）已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.8(2008四川文) 设数列的前项和为，（）求（）证明： 是等比数列；9.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则 7.逐代法+解方程法
