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1、椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四 边形问题1向量的数量积问题记点是轴上的一点，是直线：（不经过椭圆的顶点）和椭圆的两个交点，则计算过程可分为以下三步： I写出向量的坐标（末初），并将表示成的形式 II联立直线和椭圆，得出，；联立，得，则， III将，代入式中，得到，将转化为含的式子 其中I、II两步可以互换顺序同理，若点，则特殊情况：当为原点时，基础练习：请按照以下条件作答1已知斜率为的直线经过点与椭圆交于两点，（1）若点为原点，请写出关于斜率的关系式；（2）已知点，请写出关于斜率的关系式；2若斜率为的直线经过点与椭圆交于两点（注意），（1
2、）若点为原点，请写出关于斜率的关系式；（2）若点，请写出关于斜率的关系式；（3）若点，请写出关于斜率的关系式；1.1 求向量数量积的问题（给出点的坐标）例1：已知椭圆：，直线经过的右焦点与椭圆交于两点，点（1）写出关于直线的斜率的关系式；（）（2）若，求直线的方程；（）（3）若，求的值；（，） （4）求的取值范围；（）（5）若，求的取值范围；（，）（6）记分别为椭圆的左右顶点， 若，求直线的方程；（） 求的取值范围（）练习1.11已知椭圆的离心率，若直线：与椭圆恒有两个不同的交点且，求的取值范围2已知椭圆的左焦点为，设分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点.，若，求的值1.2
3、动点分析问题（直线过椭圆顶点的问题）以经过椭圆的左顶点为例设：且过点与椭圆交于点，联立，得，得，即点动点分析问题的过程如下： I分析问题中涉及的动点； II按难易程度，通过联立的方法用直线斜率表示出问题中所涉及的动点坐标； III按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率表示出来； IV将向量的数量积运用含的式子表示出来例2：如图，椭圆：，记为椭圆的左右顶点，点为椭圆的上顶点，直线经过点与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与相交于点当点异于点时（1）记为直线的斜率，用表示点的坐标；（）（2）用表示出的斜率；（）（3）用表示出点的坐标；（）（4）用表示出、的坐标，并求（， ）练习1.2：1已
4、知椭圆:，若为椭圆的右焦点，经过椭圆的上顶点的直线与椭圆另一个交点为，且满足（1）用直线的斜率表示点的坐标；（2）用含的式子表示的坐标，同时表示出的坐标；（3）用含的式子表示，构建方程；（4）解出的值，写出直线的方程. 2已知椭圆若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接交椭圆于点，证明：为定值（1）记直线的斜率为，用含的式子表示出点的坐标；（2）用含的式子表示出点的坐标；（3）用含的式子分别表示出、的坐标；（4）证明为定值3已知椭圆，点，设直线过点与椭圆交于另一点，点在线段的垂直平分线上，且，求的值（1）设直线的斜率为，用含的式子表示点的坐标；（2）用含的式子表示出的中点坐标，并写出的中垂线
5、方程；（3）用含的式子表示出点的坐标；（4）用含的式子分别表示出，；（5）运用，求直线的方程，并求出点的坐标2数量积问题的延伸垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题记点是轴上的一点，是直线：和椭圆的两个交点，由之前的讨论可知，若，则例3：如图，记为椭圆的上顶点，为椭圆的两焦点，分别为的中点，是面积为的直角三角形（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程练习2.11已知椭圆：，分别为椭圆的左、右焦点，若过点的直线与椭圆 相交于两点，且，求直线的方程2已知椭圆：，短轴上、下顶点分别为，若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，
6、直线与轴交于点，判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由3如图，已知椭圆，设点分别是椭圆和圆上位于轴两侧的动点，若直线与轴平行，直线与轴的交点记为，试证明为直角.2.2 角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系若，则，即 点在以为直径的圆外若，则，即 点在以为直径的圆上若，则，即 点在以为直径的圆内2.2.1 角度判断例4：记分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线与椭圆交于同的两点，且为锐角，求直线的斜率的取值范围练习2.2.11已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，设过点，斜率为的直线交椭圆于两点，若，求的取值范围2设分别为椭圆的左、右顶点，设为直线上不同于点的任意一点，若直线
7、与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形2.2.2 点与圆的位置关系问题例5：已知椭圆：，设直线交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由练习2.2.21已知椭圆，直线经过椭圆右焦点与椭圆相交于两点，试判断点与以为直径的圆的位置关系2已知椭圆：，为的左右顶点，直线经过点且轴，点是上异于的任意一点，直线交直线于点（1）记分别为直线的斜率，证明为定值；（2）当点运动时，判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论3向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型椭圆内的平行四边形问题记点是直线：与椭圆的两交点，点在椭圆上，且四边形为平行四边形，
8、如下图联立，得，再由平行四边形的性质可得，则点,将点代入椭圆中可得，即，得 在椭圆方程已知的情况下（1）当直线过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；（2）若直线不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到的关系，结合，我们可以求出、点到直线的距离，或平行四边形的面积等几何量的取值范围（3）若点在以为邻边的平行四边形的对角线上，则，可以得出，进而得到，这也是一个很有用的结论例6：已知椭圆C：，直线经过点交椭圆于两点，以为邻边做平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点（1）验证当直线斜率不存在时，是否存在这样的点；（2）记直线的斜率为，用含的式子表示，；（3）由，将点的坐标用含的式子表示；（4）将点代入椭圆方程，得到方程；（5）解方程，求出直线方程练习3：1已知椭圆：，点为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点，使得当绕点转动到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标和直线方程；反之，请说明理由2已知椭圆：，直线过点与椭圆相交于两点，为椭圆上一点，且满足，当时，求实数的取值范围3如图，已知椭圆：，斜率为的直线经过椭圆的左焦点与椭圆交于两点，直线：与椭圆交于两点，点是线段的中点（1）证明：点在直线上；（运用点差法即可证明）（2）已知；（i）证明：；（ii）证明四边形是平行四边形；（iii）求直线的方程
