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1、勾股定理（知识点）【知识要点】 1. 勾股定理的概念： 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC2. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。 3. 勾股数： 满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；8,15,17等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）4.
2、判断直角三角形：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）5.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余
3、。可表示如下：C=90A+B=90 （2）在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 可表示如下： BC =AB C=90 （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ACB=90 可表示如下： CD =AB = BD = AD D为AB的中点 6.数轴上表示无理数第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。勾股定理专项练习一、基本应用考点1：勾股定理1.下列是勾股数的一组是（ D ）A.4,5
4、,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,352.ABC中，A：B：C=2：1：1，a，b，c分别是A、B、C的对边，则下列各等式中成立的是（ ）A.a2+b2=c2 B.a2=2b2 C.c2=2a2 D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为 60 cm2. 4.如图，在ABC中，BAC=90，AB=15，AC=20，ADBC，垂足为D，则ABC斜边上的高AD= 12 5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( C )A.12cm B. C. D.6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别
5、为 6，8，10 7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足x4+=0，则第三边的长为 5或 .8.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 10.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为 11.如图，分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 S1+S2=S3 12.（易错题）如图，已知在RtABC中ACB=90，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S
6、1，S2，则S1+S2的值等于 2 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2。第4题 第11题 第12题 第13题14.在RtABC，C=90（1）已知c=17，b=8, 求a。（a=15）（2）已知ab=12，c=5, 求a。（a=）（3）已知b=15，A=30，求a，c。（a=，c=）15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。（n=2）16.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。（S=96）考点2.勾股定理逆定理1.以下列各组线段为边长，
7、能构成三角形的是_，能构成直角三角形的是_（填序号）3，4，5 1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，242.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（D）A.a=9，b=41，c=40 B.a=b=5，c= C.abc=345 D.a=11，b=12，c=153.若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ D ）A42 B52 C7 D52或74.下列说法不正确的是（ B ）A.三个角的度数之比为134的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为345的三角形是直角三角形C.三边长度之比
8、为345的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为51213的三角形是直角三角形5.若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（ C ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形6.有下列说法：若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，若a2+b2c2，则ABC是钝角三角形；在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，若b2+c2=a2，则C=900；在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C900，则a2+b2c2。其中正确的是（ D ）A. B. C. D.7
9、.下列说法中正确的有（ ）如果A+B+C=3：4：5，则ABC是直角三角形；如果A+B=C，那么ABC是直角三角形；如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；如果三边长分别是n2-1，2n，n2+1（n1），则ABC是直角三角形。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.若+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是 直角 三角形.9.如果ABC的三边a,b,c满足关系式 +（b-18）2+=0则ABC是 三角形。10.已知:a、b、c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状.解:a2c2-b2c2=a4-b4,c2(a2-b2
10、)=(a2+b2)(a2-b2).c2=a2+b2.ABC是直角三角形.问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: (2)错误的原因为 除数可能为零 ;11.已知ABC的三边为a、b、c，且，求三角形三个内角度数的比（A：B：C=1:1：）12.ABC的三边a、b、c满足试判断ABC的形状（直角三角形）13.已知ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定ABC的形状。 （直角三角形）14.若ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状（直角三角形）15.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三
11、角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？（6；8；10；直角三角形）16.若ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=0考点3.数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）1.用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法2.在数轴上画出表示的点？3.在数轴上作出表示3-的点考点4:勾股定理几何应用1.如图在矩形ABCD中,M是CD中点，AB=8，AD=3（1）求AM的长；（2）MAB是直角三角形吗？为什么？（AM=5；不是直角三角形）2.如图所示，在RtABC
12、中，ACB=90，CD是AB边上高，若AD=8，BD=2，求CD（CD=4）3.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜面坡角为30，求木箱端点E距地面AC的高度EF。（EF=3）4.有一块土地形状如图所示,B=D=90,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.（S=234）5.四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。（S=36）6.如图，在四边形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,C=90(1)求BD的长;（BD=5）(2)当AD为多少时,ABD=9
13、0?（AD=13）7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD，他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。（S=13800）8.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积（二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：1.一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 0.8 米2.如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8
14、米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 -1 米3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 12 米4.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 18 。 第1题 第2题 第4题5.如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米求梯子的底端B距墙角O多少米？（1.66）如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）（0.58）6.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离
15、为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m现将梯子的底端A向外移动到A,使梯子的底端A到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B，那么BB也等于1m吗?（不等于1，小于1）2. 爬行距离最短问题：1.如图，正方体盒子的棱长为2，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（ B ）A. B. C. D.2.如图，一块砖宽AN=5，长ND=10，CD上的点F距地面的高FD=8，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是 17 cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去
16、吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 25 分米？4.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 10 .5.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，求一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路 2.6 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题3.方向问题：1.一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了_3_米.2.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着
17、东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为（ D ） A.100m B.500m C.1 240m D.1 000m3.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得MAN30，当他到B点时，测得MBN45，AB100米，你能算出AM的长吗？（x=50+50）4.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？（西北方向）5.一轮船在大海中航行，它先向
18、正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米 此时轮船离开出发点多少km? （17km） 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（9.2km）6.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.（50海里）4.折叠问题：1.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长2.如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且，那么DEF是直角三角形吗？为什么？3.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？（DE=5，EF=）4.如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？D5.利用勾股定理测量长度1.如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.（S=）2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺求竹竿高与门高（门高7.5；竿高8.5）
