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1、类型一：三角形面积例1：已知椭圆 （）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.（）求椭圆的方程； （）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求的面积.练习1：已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于，两点（I）若，求直线的方程；（）若与的面积相等，求直线的斜率类型二：与圆的知识结合例2：已知椭圆的长轴为4，且点在该椭圆上。 （I）求椭圆的方程；（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆径的圆经过原点，求直线l的方程。练习2：已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为 （）求椭圆C的标准方程；（）若直线：与椭圆交于不同的两
2、点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标类型三：中点问题例3：若椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴的一个端点与左右焦点、组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为.()求椭圆的方程；() 过点作直线与椭圆交于、两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. 练习3：在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点（）求曲线的方程；（）证明：曲线在点处的切线与平行；（）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围类型四：与向量知识结合 例4：已知中心在原点的椭圆
3、C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.（1） 求椭圆C的方程；（2） 若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.练习4：在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.其中F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且.（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若=0，求直线l的方程.类型五：最值问题例5：已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，一个焦点的坐标为 （I）求椭圆C方程；（II）设直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点T当变化时，求面积的最大值 练习5：（东城一
4、模）已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）试用表示的面积，并求面积的最大值例1：解：（）由题意， 又，所以，. 3分所以椭圆的方程为. 4分（）设，联立 消去得（*）， 6分解得或，所以，所以， 8分由直线斜率为，则，解得（满足（*）式判别式大于零）10分到直线的距离为，所以 ， 练习1：解：（）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线： 因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以 所以 到直线的距离等于 所以 ， 得 所以 直线的方程为或
5、6分（）因为与的面积相等，所以， 设 ，所以 ，所以 即（*）； 因为，两点在圆上，所以 把（*）代入，得 ，所以 所以 直线的斜率， 即.13分 所以的面积为. 13分例2：解：（）由题意：，所求椭圆方程为 又点在椭圆上，可得所求椭圆方程为 5分（）由（）知，所以，椭圆右焦点为因为以为直径的圆过原点，所以若直线的斜率不存在，则直线的方程为 直线交椭圆于两点， ，不合题意若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为由可得由于直线过椭圆右焦点，可知设，则，所以由，即，可得所以直线方程为 14分练习2：解: （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则 解得 椭圆C的标准方程为 4分）由方程组消去
6、，得 6分由题意，整理得： 7分设，则， 8分由已知， 且椭圆右顶点为 10分即 ，也即 ， 整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 13分例3：解：()设椭圆的方程为 1 分由 4 分所以，椭圆的方程为 5 分() 、，当直线的斜率不存在时，的中点为，直线的斜率；6 分当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为 7 分由联立消去并整理得：设，则 10分当时，的中点为坐标原点，直线的斜率； 11 分当时， 且13 分综上所述，直线的斜率的取值范围是. 14 分:练习3：（）解：由已知，动点到定
7、点的距离与P到直线的距离相等 由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线 所以曲线的方程为 3分（）证明：设，由得 所以， 设，则因为轴， 所以点的横坐标为 由，可得 所以当时， 所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行8分（）解：由已知， 设直线的垂线为： 代入，可得 （*） 若存在两点关于直线对称，则，又在上，所以， 由方程（*）有两个不等实根所以，即 所以，解得或13分例4：解：（1）由题意可得： =1 所求的椭圆方程为：（2）设 由 得：（*） 解得：由 可得：，即整理得：把（*）代入得： 即：解得：综上：练习4：解：（）由：知1分设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的
8、半焦距，于是5分消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为 7分（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为 8分由 消去并化简得 10分设，.11分因为，所以 12分所以此时，故所求直线的方程为，或 14分例5：解法一：（I）依题意，设椭圆C的方程为 :3分 4分椭圆C的方程是 5分 （II）设，AB中点为10分9分 11分 13分，当，即时，取得最大值为 14分解法二：（I）同解法一 （II）设，AB中点为 8分10分的方程为令，得， 9分设AB交轴与点R,则 11分 13分当，即时，取得最大值为14分练习5：（东城）解：（）依题意可得，又，可得所以椭圆方程为 （）设直线的方程为，由可得设，则，可得 设线段中点为，则点的坐标为，由题意有，可得可得，又， 所以（）设椭圆上焦点为，则.，由，可得 所以又，所以.所以的面积为（）设，则可知在区间单调递增，在区间单调递减所以，当时，有最大值所以，当时，的面积有最大值
