圆地培优专题(含解答).doc

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1、圆的培优专题1与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图，ABC内有一点D，DADBDC，若DAB，DAC， 则BDC . （BDCBAC100）2、如图，AEBEDEBCDC，若C，则BAD . （）3、如图，四边形ABCD中，ABACAD，CBD，BDC，则 第1题 第2题 第3题 BAD . （BADBACCAD4060100）解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、如图，ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若D， 则AEC . （AEC2B2D120）5、如图，O是四边形ABCD内一点，OAOBOC，ABCADC， 则DAOD

2、CO . （所求360ADCAOC150）6、如图，四边形ABCD中，ACBADB，ADC，则ABC . 第4题 第5题 第6题 （ABCADC25）解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆.二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB为O的直径，C为的中点，D为半圆上一点，则ADC .8、如图，AB为O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC .9、如图，AB为O的直径，则ABC . 第7题 第8题 第9题答案：7、45； 8、30； 9、22.5； 10、40； 11、150； 12、110解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是

3、解决这类问题的捷径！10、如图，AB为O的直径，点C、D在O上，BAC，则ADC .11、如图，O的半径为1，弦AB，弦AC，则BOC .12、如图，PAB、PCD是O的两条割线，PAB过圆心O，若，P， 则BDC . （设ADC，即可展开解决问题） 第10题 第11题 第12题解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！圆的培优专题2与垂径定理有关的计算1、如图，AB是O的弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上，若BED ，O的半径为4，则弦

4、AB的长是 .略解：ODAB，AB2AC，且ACO90， BED30，AOC2BED60 OAC30，OCOA2，则AC，因此AB.2、如图，弦AB垂直于O的直径CD，OA5，AB6，则BC .略解：直径CD弦AB，AEBEAB=3 OE，则CE549 第1题 第2题 第3题 BC3、如图，O的半径为，弦ABCD，垂足为P，AB8，CD6，则OP .略解：如图，过点O作OEAB，OFCD，连接OB，OD. 则BEAB4，DFCD3，且OBOD OE，OF 又ABCD，则四边形OEPF是矩形，则OP4、如图，在O内，如果OA8，AB12，AB，则O的半径为 .略解：如图，过点O作ODAB，连接O

5、B，则ADAB4，因此，BD8，OD OB.5、如图，正ABC内接于O，D是O上一点，DCA，CD10，则BC 略解：如图，连接OC，OD，则ODCOCD ABC为等边三角形，则OCAOCE30，ODCOCD45 OCD是等腰三角形，则OC 第4题 第5题 第6题 过点O作OEBC，则BC2CE6、如图，O的直径AB4，C为的中点，E为OB上一点，AEC，CE的延 长线交O于点D，则CD 略解：如图，连接OC，则OC2 C为的中点，则OCAB，又AEC，OCE30 如图，过点O作OFCD，则OFOC1，CF，CD2CF7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处， 并以每小时千米的速

6、度沿北偏东的BF方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？解：如图，过点A作ACBF交于点C， ABF30，则ACAB150200，因此A地会受到这次台风影响； 如图，以A为圆心200千米为半径作A交BF于D、E两点，连接AD， 则DE2CD2， 所以受影响的时间为（时）圆的培优专题3圆与全等三角形1、如图，O的直径AB10，弦AC6，ACB的平分线交O于D，求CD的长.解：如图，连接AB，BD，在CB的延长线上截取BEAC，连接DE ACDBCD，ADBD 又CADEBD，ACBE CADEBD（SAS） C

7、DDE，ADCBDEAB为O的直径，则ACBADB90BC；ADCCDBCDBBDE90，即CDE CDE是等腰直角三角形且CE14，CD2、如图，AB是O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且 MAMD，若CM，求BD的长.解：如图，连接AC，则ACBC，C90，即ABC是等腰直角三角形 过点M作MNAD，则NMAMAD 则CMN也是等腰直角三角形，则MNCM2 ANCMBD135，又MAMD，DNMAMADAMNBMD（AAS） BDMN23、如图，AB为O的直径，点N是半圆的中点，点C为上一点，NC. 求BCAC的值.解：如图，连接AN，BN，则ABN是等腰直角三

8、角形 在BC上截取BDAC，连接DN ANBN，CANDBN，ACBD ACNBDN（SAS）CNDN，CNADNB，CNDCNAANDADNDNB90，即CND是等腰直角三角形CDNC，BCACBCBDCD4、如图，点A、B、C为O上三点，点M为上一点，CEAM于E， AE5，ME3，求BM的长.解：如图，在AM上截取ANBM，连接CN，CM. ，ACBC，又AB ACNBCM（SAS） CNCM，又CEAM NEME3， BMANAENE25、如图，在O中，P为的中点，PDCD，CD交O于A，若AC3，AD1， 求AB的长.解：如图，连接BP、CP，则BPCP，BC 过点P作PEAB于点E

9、，又PDCD BEPCDP BEPCDP（AAS） BECD3+14，PEPD 连接AP，则RtAEPRtADP（HL），则AEAD1 ABAE+BE56、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB10，MN8. 求BFAE的值.解：AEMN，BFMN，则AEBF，AB如图，延长EO交BF于点G，则AOEBOG，AOBO AOEBOG（AAS），则OEOG 过点O作OHMN，FG2OH，HN4 连接ON，则ON5，OH，则BGAEFG6.圆的培优专题4圆与勾股定理1、如图，O是BCN的外接圆，弦ACBC，点N是的中点，BNC， 求 的值.解：如图，连接AB，则AB为直径，

10、BNA90 连接AN，则BNAN，则ABN是等腰直角三角形BNAB；又BACBNC，BCAB， （方法2，过点B作BDCN，即可求解）2、如图，O的弦ACBD，且ACBD，若AD，求O半径.解：如图，作直径AE，连接DE，则ADE90 又ACBD，则ADBDACADBEDB90 DACEDB，则， ACBD，则 ADDE，即ADE是等腰直角三角形 AEAD4，即O的半径为23、如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD， CEAB于点E，DFAB于点F. （1）求证：CEEF；（2）若DF2，EF4，求AC.（1）证： AB为O的直径，CAD， 则ACD是等腰直角三角形

11、，即ACDC 又CEAB，则CAEECB 如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G 又CEAB，DFAB，则四边形CEFG是矩形，AECDGC90 EFCG，CEDG，则ECBCDGCAE ACEDCG（AAS），则CECGEF（2）略解：ACCD.4、如图，AB为O的直径，CDAB于点D，CD交AE于点F，. （1）求证：AFCF； （2）若O的半径为5，AE8，求EF的长（1）证：如图，延长CD交O于点G，连接AC 直径ABCG，则 CAEACG，则AFCF（2）解：如图，连接OC交AE于点H，则OCAE，EHAHAE=4 OH，则CH532 设HF，则CFAF4 则，即HF EF5、如图

12、，在O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD. （1）求证：ADAN； （2）若AB，ON1，求O的半径.（1）证：CDAB，AMBC CCNMCB90 BCNM， 又BD，ANDCNM DAND，即ADAN（2） 解：直径CD弦AB，则AE 又ANAD，则NEED 如图，连接OA，设OE，则NEED OAOD ，则 O的半径OA3圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题1、在O中，弦ABCD于E，求证：AODBOC.证：如图，连接AC， ABCD，则CABACD90 又AOD2ACD，BOC2BAC AODBOC.2、在O中，弦ABCD于点E，若O的半径为R，求证：AC2BD24

13、R2.证：ABCD，则CABACD90 如图，作直径AM，连接CM 则ACMACDDCM90CABDCM，CMBD AC2CM2AM2 AC2BD24R2.3、在O中，弦ABCD于点E，若点M为AC的中点，求证MEBD.证：如图，连接ME，并延长交BD于点F ABCD，且点M为AC的中点 ME为RtAEC斜边上的中线 AMME AAEMBEF 又BC，AC90 BEFB90，即BFE90 MEBD.4、在O中，弦ABCD于点E，若ONBD于N，求证：ONAC.证：如图，作直径BF，连接DF， 则DFBD，又ONBD， ONFD，又OBOF ONDF 连接AF，则AFAB，又CDAB AFCD

14、，则ACFD ONAC5、在O中，弦ABCD于点E，若ACBD，ONBD于N，OMAC于M. （1）求证：MEON； （2）求证：四边形OMEN为菱形.证：（1）如图，延长ME交OD于点F OMAC，则点M为AC的中点 ABCD，则ME为RtACE的斜边上中线 AMEM， AAEMBEF 又BC，AC90 BBEF90，则BFE90 MFBD，又ONBD MFON （2）由（1）知MFON，同理可证OMNE， 四边形OMEN是平行四边形 ACBD，OMON 四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6圆与内角（外角）平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O为A

15、BC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB. 求证：CACBCD.证：如图，在CA的延长线上截取AEBC，连DE，AD，BD CD平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS） CDDE，又ACD45 CDE是等腰直角三角形，则CACBCECD.2、如图，O为ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB，求的值.解：如图，在CA的延长线上截取AEBC，连DE，AD，BD CD平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS） CDDE，又ACD60 CDE是等边三角形 CDCECABC，即13、如图，过O、M的动圆交轴、轴于点A、B，求OAOB的值.解：如图

16、，过点M作ME轴，MF轴，连AM、BM 由M（1，1）知：四边形OFME是正方形 OEOF4，EMFM，又MBFMAE， AEMBFM（AAS），则AEBF OAOBAEOEOFBF8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，O为ABC的外接圆，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB. 求证：（1）；（2）ACBCPC.证：（1）如图，连接AP，则PCQPAB 又PCQPCA，则PABPCA （2）连接BP，由（1）得，PAPB 在AC上截取ADBC，连PD，又PADPBC PADPBC（SAS），则PDPC 又PCD45，则PCD是等腰直角三角形，ACBCCDPC.5、如图，O为ABC的

17、外接圆，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB. 求的值.解：如图，在BC上截取BDAC，连AP、BP、DP PCBPCQPBA APBP，又CAPDBP CAPDBP（SAS），则CPDP 又ACB120，PCD30， 6、如图，A，B，经过A、B、O三点，点 这P为上动点（异于O、A）. 求的值.解：如图，在BP上截取BCAP A，B，则OAOB4 又OAPOBC OAPOBC（SAS） OCOP，且COPAOB90，则 .圆的培优专题7与切线有关的角度计算一 切线与一个圆 答案：1、；2、；3、；4、；5、；6、1、如图，AD切O于A，BC为直径，若ACB，则CAD .2、如图，AP切O于

18、P，PB过圆心，B在O上，若ABP，则APB .3、如图，PA、PB为O的切线，C为上一点，若BCA，则APB . 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题4、如图，PA、PB为O的切线，C为上一点， 若BCA，则APB .5、如图，点O是ABC的内切圆的的圆心，若 BAC，则BOC .6、如图，PA切O于A，若PAAB，PD平分 第6题 APB交AB于D，则ADP . （设元，列方程）二 切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC 分别切小圆于D、E，小圆的的度数为， 第7题 第8题 第9题 则大圆的的度数为 .8、如图，O1和O2交于A、B两点，且点O1在O2上，若D，则C

19、 9、如图，O1和O2外切于D，AB过点D，若AO2D，C为优弧上任一点， 则DCB . 答案：7、；8、40；9、（过点D作两圆的切线）圆的培优专题8与切线有关的长度计算1、如图，在O的内接ACB中，ABC，AC的延长线与过点D的切线BD交于 点D，若O的半径为1，BDOC，则CD . （CD）2、如图ABC内接于O，ABBC，过点A的切线与OC的延长线交于D，BAC， CD，则AD . （AD3）3、如图，O为BCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于A，ACB， 第1题 第2题 第3题 第4题 ABC，则 的值为 . （）4、如图，AB为O的直径，弦DC交AB于E，过C作O的切线交DB

20、的延长线于M， 若AB4，ADC，M，则CD . （CD）5、如图，等边ABC内接于O，BD切O于B，ADBD于D，AD交O于E，O 的半径为1，则AE . （AE1）6、如图，ABC中，C，BC5，O与ABC的三边相切于D、E、F，若O的 半径为2，则ABC的周长为 . （C30）7、如图，ABC中，C，AC12，BC16，点O在AB上，O与BC相切于D， 连接AD，则BD . （示：过D作DEAB，设CDDE，BD10） 第5题 第6题 第7题解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.圆的培优专题9圆的切线与垂径定理1、如图，AB为O的直径，C为的中点，CDBE于

21、D. （1）判断DC与O的位置关系，并说明理由； （2）若DC3，O的半径为5，求DE的长.解：（1）DC是O的切线，理由如下： 如图，连接OC，BC，则ABCCBDOCB OCBD，又CDBE OCCD，又OC为O的半径 DC是O的切线 （2）如图，过O作OFBD，则四边形OFDC是矩形，且BEEF OFCD3，DFOC5， EFBF，DEDFEF12、如图，AB为O的直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线 BF交AD的延长线于点F. （1）求证：DE为O的切线； （2）若DE3，O的半径为5，求DF的长.（1）证：显然，CADOADODA ODAE，又DEAC， ODDE，

22、又OD为O半径 DE为O的切线（2）解：如图，过点O作OGAC，则OGDE是矩形，即OGDE3，DEOD5 AG，则AE549， 连接BD，则BDAD，BD 设DF，则BF，DF.3、 如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD于E，DA平分BDE. （1）求证：AE是O的切线； （2）若AE2，DE1，求CD的长.（1）证：如图，连接OA，则ADEADOOAD OACD，又AECD OAAE，又OA为O的半径 AE是O的切线（2）解：如图，过点O作OFCD，则CD2DF，且四边形OFEA是矩形 EFOAOD，OFAE2 设DF，则ODEF ， CD2CF4、如图，AE是O的直径，

23、DF切O于B，ADDF于D，EFDF于F. （1）求证：EFADAE； （2）若EF1，DF4，求四边形ADFE的周长.（1）证：如图，连接CE，则四边形CDFE是矩形 连接OB交CE于点G， DF是O的切线 OBDF，OBCE BGCDEF，OGAC，又AOOE AC2OG EFADACCDEF2OG2BG2OBAE.（2）解：显然CEDF4，CDEF1 设AC，则AD，AE ，则，则AC3，AD4，AE5 四边形CDFE的周长为14.圆的培优专题10圆的切线与勾股定理1、如图，已知点A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OCBC， ACOB. （1）求证：AB是O的切线；（

24、2）若ACD，OC2，求弦CD的长.（1）证：OCOB， AC为OAB的OB边上的中线，又ACOB OAB是直角三角形，且OAB90，又OA为O的半径 AB是O的切线（2）解：显然，OAOCAC，即OAC是等边三角形 AOC60，D30 如图，过点A作AECD于点E， ACD45，AEC是等腰直角三角形， AECEACOC，DEAE CD2、如图，PA、PB切O于A、B，点M在PB上，且OMAP，MNAP于N. （1）求证：OMAN；（2）若O的半径，PA9，求OM的长.（1）证：如图，连接OA，PA为O的切线， OAAP，又MNAP OAMN，又OMAP， 四边形OANM是矩形，即OMAN（

25、2）解：如图，连接OB，PB、PA为O的切线 OBMMNP90，PBPA9 OMAP，OMBP，又OBOAMN，OBMMNP（AAS） OMPM，则32OM2（9OM）2，OM53、如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线， E为切点，连接CE交AB于F. （1）求证：DEDF；（2）连接AE，若OF1，BF3，求DE的长.（1）证：如图，连接OE PE为O的切线， OEDE，又OCAB CCFOOEFDEF90 又COCF，CFODFE DEFDFE，DEDF（2）解：显然，OEOBOFBF4 设BD，则DEDF，OD ， DE7.54、如图，正方形ABCO的

26、顶点分别在轴、轴上，以AB为弦的M与轴相切于F， 已知A，求圆心M的坐标.解：如图，连接FM交延长交AB于点E M与轴相切，即OC是M的切线EFOC，又四边形ABCO是正方形EFAB，又A（0，8）即ABEMOA8 AE4 设MFAM，则EM8 ，即MF5 点M的坐标为（4，5）圆的培优专题11圆的切线与全等三角形1、如图，BD为O的直径，A为的中点，AD交BC于E，过D作O的切线，交BC 的延长线于F. （1）求证：DFEF；（2）若AE2，DE4，求DB的长.（1）证：如图，连接AB BD为O的直径，DF为O的切线 BADBDF90 ABCAEBADBFDE90 又ABCADB，AEBDE

27、F DFEDEF，DEEF（2）解：如图，过点F作FGED，则EGGD2AE， 又BAEFGE90，AEBGEF， ABEGFE（ASA）， BEEF，即DE为RBDF的斜边上中线 DFEFDE4，BF8，则BD2、如图，AB为O的直径，C、D为O的一点，OCAD，CFDB于F. （1）求证：CF为O的切线；（2）若BF1，DB3，求O的半径.（1）证：AB为O的直径 DFAD，又OCAD OCDF，又CFDB OCCF，又OC为O的半径 CF为O的切线（2）解：如图，过点C作CEBD于点E， 则BEDE1.5，EF2.5 又OCCF，CFEF 四边形OCFE是矩形 O有半径OCEF2.53、

28、如图，以O的弦AB为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OCOD； （2）过D作DM切O于M，若AB2，DM，求O的半径.（1）证：如图，连接OA、OB，则OAOB OABOBA 四边形ABCD是正方形 ADBC，DABCBA90 OADOBC OADOBC（SAS） OCOD（2）解：如图，连接OM、BD，则OMDM，且BDABDM 又OMOB，ODOD，ODMODB（SSS） OBBD，又ABD45 OAB45，即OAB是等腰直角三角形 OAAB4、如图，在ABC中，ACBC，ACB，以BC为直径的O交AB于D. （1）求证：ADBD；（2）弦CE交BD于M，若，求 .（1）略证：连接

29、CD，则CDAB 又ACBC，ACB，ADBD（2）解：如图，连接BE，过A作ANCE于N， ， AN2BE CANBCE，ACBC，ANCCEB ANCCEB（AAS） BECN，CEAN 设CNBE，则CEANBE， BC，ABBC，即BD .圆的培优专题12圆的切线与等腰三角形1、如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于D，与边AC交于E， 过D作DFAC于F. （1）求证：DF为O的切线；（2）若DE，AB5，求AE的长.（1）证：如图，连接AD，OD， AB为O的直径， ADBC，又ABAC，OAOB EADDABADO ODAC，又DFAC ODDF，又OD为O的直

30、径 DF为O的切线（2）解：EADDAB，BDDE，又AB5，AD DFACADCD，DF2，CFEF，AE5232、如图，在ABC中，ABAC，以边AB为直径作O，交BC于D，过D作DEAE. （1）求证：DE是O的切线；（2）连接OC，若CAB，求 的值.（1）证：如图，连接AD，OD，则ADBC 又ABAC，CDBD，又AOOB ODAC，又DEAE ODDF，DE是O的切线；（2）解：如图，过点O作OFBD于F，则BD2BF ABAC，CAB，B30 设OF，则BF，OB， ACAB，CDBD，则CF 由勾股定理，得OC，由面积法，得DE，.3、如图，ABAC，点O在AB上，O过点B，

31、分别交BC于D、AB于E，DFAC. （1）证：DF为O的切线；（2）若AC切O于G，O的半径为3，CF1，求AC.（1）证：如图，连接OD， ABAC，OBOD BCODB ODAC，又DFAC ODDF，又OD为O的半径 DF为O的切线（2）解：如图，连接OG，AC为O的切线 OGAC，又ODDF，DFAC，OGOD 四边形ODFG是正方形，即OBOGGF3 设AG，则ABAC，则AO ，则AC84、如图，CD是O的弦，A为的中点，E为CD延长线上一点，EG切O于G. （1）求证：KGGE；（2）若ACEG， ，AK，求O的半径.（1）证：如图，连接OG，OA交CD于点F A为的中点，EG

32、是O的切线 OACD，OGGE OAGAKFOGAEGK 又OAGOGA，AKFEKG EGKEKG KGGE（2）解：ACEG，CAKEGK，又EGKEKGCKA CAKCKA，CACK 设CKCA，则DK，CD，CF，EG AF 在RtAFK中， CE8，AE6， 设O的半径为R，则R282（R6）2，R圆的培优专题13圆与三角形的内心1、如图，AB是O的直径，点M为BC上一点，且CMAC. （1）求证：M为ABE的内心；（2）若O的半径为5，AE8，求BEM的面积.（1）证：如图，连接CE，则ACCECM CMECEM，CEACBE CBEBEMCEAAEM AEMBEM，又ABCCBE 点M为ABE的内心.（2）解：如图，过点M作MNBE于点N，则MN为ABE的内切圆的半径. AB10，AE8，则BE MN， MN2 BME的面积为626.2、如图，O为ABC的外接圆，BC为直径，AD平分BAC点M是ABC的内心. （1）求证：BCDM；（2）若DM，AB8，求OM的长.（1）证：如图，连接BD，CD， BC为直径，AD平分BAC BDCD，BDC90， BCCD 连接CM，则ACMBCM，DACBCD DMCACMDACBCMBCDDCM， DMCD，即BCDM（2） 解：显然，BCDM10，A