圆地培优专题(含解答).doc

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1、圆的培优专题1与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图,ABC内有一点D,DADBDC,若DAB,DAC, 则BDC . (BDCBAC100)2、如图,AEBEDEBCDC,若C,则BAD . ()3、如图,四边形ABCD中,ABACAD,CBD,BDC,则 第1题 第2题 第3题 BAD . (BADBACCAD4060100)解题策略:通过添加辅助圆,把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题,思维更明朗!4、如图,ABCD中,点E为AB、BC的垂直平分线的交点,若D, 则AEC . (AEC2B2D120)5、如图,O是四边形ABCD内一点,OAOBOC,ABCADC, 则DAOD

2、CO . (所求360ADCAOC150)6、如图,四边形ABCD中,ACBADB,ADC,则ABC . 第4题 第5题 第6题 (ABCADC25)解题策略:第6题有两个直角三角形共斜边,由直角所对的弦为直径,易得到ACBD共圆.二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图,AB为O的直径,C为的中点,D为半圆上一点,则ADC .8、如图,AB为O的直径,CD过OA的中点E并垂直于OA,则ABC .9、如图,AB为O的直径,则ABC . 第7题 第8题 第9题答案:7、45; 8、30; 9、22.5; 10、40; 11、150; 12、110解题策略:以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是

3、解决这类问题的捷径!10、如图,AB为O的直径,点C、D在O上,BAC,则ADC .11、如图,O的半径为1,弦AB,弦AC,则BOC .12、如图,PAB、PCD是O的两条割线,PAB过圆心O,若,P, 则BDC . (设ADC,即可展开解决问题) 第10题 第11题 第12题解题策略:在连接半径时,时常会伴随出现特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形,是解题的另一个关键点! 圆的四接四边形的外角等于内对角,是一个非常好用的一个重要性质!圆的培优专题2与垂径定理有关的计算1、如图,AB是O的弦,ODAB,垂足为C,交O于点D,点E在O上,若BED ,O的半径为4,则弦

4、AB的长是 .略解:ODAB,AB2AC,且ACO90, BED30,AOC2BED60 OAC30,OCOA2,则AC,因此AB.2、如图,弦AB垂直于O的直径CD,OA5,AB6,则BC .略解:直径CD弦AB,AEBEAB=3 OE,则CE549 第1题 第2题 第3题 BC3、如图,O的半径为,弦ABCD,垂足为P,AB8,CD6,则OP .略解:如图,过点O作OEAB,OFCD,连接OB,OD. 则BEAB4,DFCD3,且OBOD OE,OF 又ABCD,则四边形OEPF是矩形,则OP4、如图,在O内,如果OA8,AB12,AB,则O的半径为 .略解:如图,过点O作ODAB,连接O

5、B,则ADAB4,因此,BD8,OD OB.5、如图,正ABC内接于O,D是O上一点,DCA,CD10,则BC 略解:如图,连接OC,OD,则ODCOCD ABC为等边三角形,则OCAOCE30,ODCOCD45 OCD是等腰三角形,则OC 第4题 第5题 第6题 过点O作OEBC,则BC2CE6、如图,O的直径AB4,C为的中点,E为OB上一点,AEC,CE的延 长线交O于点D,则CD 略解:如图,连接OC,则OC2 C为的中点,则OCAB,又AEC,OCE30 如图,过点O作OFCD,则OFOC1,CF,CD2CF7、如图,A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处, 并以每小时千米的速

6、度沿北偏东的BF方向移 动,距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问:A地是否受到这次台风的影响?若受到影响,请求 出受影响的时间?解:如图,过点A作ACBF交于点C, ABF30,则ACAB150200,因此A地会受到这次台风影响; 如图,以A为圆心200千米为半径作A交BF于D、E两点,连接AD, 则DE2CD2, 所以受影响的时间为(时)圆的培优专题3圆与全等三角形1、如图,O的直径AB10,弦AC6,ACB的平分线交O于D,求CD的长.解:如图,连接AB,BD,在CB的延长线上截取BEAC,连接DE ACDBCD,ADBD 又CADEBD,ACBE CADEBD(SAS) C

7、DDE,ADCBDEAB为O的直径,则ACBADB90BC;ADCCDBCDBBDE90,即CDE CDE是等腰直角三角形且CE14,CD2、如图,AB是O的直径,C是半圆的中点,M、D分别是CB及AB延长线上一点,且 MAMD,若CM,求BD的长.解:如图,连接AC,则ACBC,C90,即ABC是等腰直角三角形 过点M作MNAD,则NMAMAD 则CMN也是等腰直角三角形,则MNCM2 ANCMBD135,又MAMD,DNMAMADAMNBMD(AAS) BDMN23、如图,AB为O的直径,点N是半圆的中点,点C为上一点,NC. 求BCAC的值.解:如图,连接AN,BN,则ABN是等腰直角三

8、角形 在BC上截取BDAC,连接DN ANBN,CANDBN,ACBD ACNBDN(SAS)CNDN,CNADNB,CNDCNAANDADNDNB90,即CND是等腰直角三角形CDNC,BCACBCBDCD4、如图,点A、B、C为O上三点,点M为上一点,CEAM于E, AE5,ME3,求BM的长.解:如图,在AM上截取ANBM,连接CN,CM. ,ACBC,又AB ACNBCM(SAS) CNCM,又CEAM NEME3, BMANAENE25、如图,在O中,P为的中点,PDCD,CD交O于A,若AC3,AD1, 求AB的长.解:如图,连接BP、CP,则BPCP,BC 过点P作PEAB于点E

9、,又PDCD BEPCDP BEPCDP(AAS) BECD3+14,PEPD 连接AP,则RtAEPRtADP(HL),则AEAD1 ABAE+BE56、如图,AB是O的直径,MN是弦,AEMN于E,BFMN于F,AB10,MN8. 求BFAE的值.解:AEMN,BFMN,则AEBF,AB如图,延长EO交BF于点G,则AOEBOG,AOBO AOEBOG(AAS),则OEOG 过点O作OHMN,FG2OH,HN4 连接ON,则ON5,OH,则BGAEFG6.圆的培优专题4圆与勾股定理1、如图,O是BCN的外接圆,弦ACBC,点N是的中点,BNC, 求 的值.解:如图,连接AB,则AB为直径,

10、BNA90 连接AN,则BNAN,则ABN是等腰直角三角形BNAB;又BACBNC,BCAB, (方法2,过点B作BDCN,即可求解)2、如图,O的弦ACBD,且ACBD,若AD,求O半径.解:如图,作直径AE,连接DE,则ADE90 又ACBD,则ADBDACADBEDB90 DACEDB,则, ACBD,则 ADDE,即ADE是等腰直角三角形 AEAD4,即O的半径为23、如图,AB为O的直径,C为O上一点,D为CB延长线上一点,且CAD, CEAB于点E,DFAB于点F. (1)求证:CEEF;(2)若DF2,EF4,求AC.(1)证: AB为O的直径,CAD, 则ACD是等腰直角三角形

11、,即ACDC 又CEAB,则CAEECB 如图,过点C作CG垂直DF的延长线于点G 又CEAB,DFAB,则四边形CEFG是矩形,AECDGC90 EFCG,CEDG,则ECBCDGCAE ACEDCG(AAS),则CECGEF(2)略解:ACCD.4、如图,AB为O的直径,CDAB于点D,CD交AE于点F,. (1)求证:AFCF; (2)若O的半径为5,AE8,求EF的长(1)证:如图,延长CD交O于点G,连接AC 直径ABCG,则 CAEACG,则AFCF(2)解:如图,连接OC交AE于点H,则OCAE,EHAHAE=4 OH,则CH532 设HF,则CFAF4 则,即HF EF5、如图

12、,在O中,直径CD弦AB于E,AMBC于M,交CD于N,连接AD. (1)求证:ADAN; (2)若AB,ON1,求O的半径.(1)证:CDAB,AMBC CCNMCB90 BCNM, 又BD,ANDCNM DAND,即ADAN(2) 解:直径CD弦AB,则AE 又ANAD,则NEED 如图,连接OA,设OE,则NEED OAOD ,则 O的半径OA3圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题1、在O中,弦ABCD于E,求证:AODBOC.证:如图,连接AC, ABCD,则CABACD90 又AOD2ACD,BOC2BAC AODBOC.2、在O中,弦ABCD于点E,若O的半径为R,求证:AC2BD24

13、R2.证:ABCD,则CABACD90 如图,作直径AM,连接CM 则ACMACDDCM90CABDCM,CMBD AC2CM2AM2 AC2BD24R2.3、在O中,弦ABCD于点E,若点M为AC的中点,求证MEBD.证:如图,连接ME,并延长交BD于点F ABCD,且点M为AC的中点 ME为RtAEC斜边上的中线 AMME AAEMBEF 又BC,AC90 BEFB90,即BFE90 MEBD.4、在O中,弦ABCD于点E,若ONBD于N,求证:ONAC.证:如图,作直径BF,连接DF, 则DFBD,又ONBD, ONFD,又OBOF ONDF 连接AF,则AFAB,又CDAB AFCD

14、,则ACFD ONAC5、在O中,弦ABCD于点E,若ACBD,ONBD于N,OMAC于M. (1)求证:MEON; (2)求证:四边形OMEN为菱形.证:(1)如图,延长ME交OD于点F OMAC,则点M为AC的中点 ABCD,则ME为RtACE的斜边上中线 AMEM, AAEMBEF 又BC,AC90 BBEF90,则BFE90 MFBD,又ONBD MFON (2)由(1)知MFON,同理可证OMNE, 四边形OMEN是平行四边形 ACBD,OMON 四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6圆与内角(外角)平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关,实质是对角互补的基本图形1、如图,O为A

15、BC的外接圆,弦CD平分ACB,ACB. 求证:CACBCD.证:如图,在CA的延长线上截取AEBC,连DE,AD,BD CD平分ACB,ADBD 又DAEDBC,AEBC DAEDBC(SAS) CDDE,又ACD45 CDE是等腰直角三角形,则CACBCECD.2、如图,O为ABC的外接圆,弦CD平分ACB,ACB,求的值.解:如图,在CA的延长线上截取AEBC,连DE,AD,BD CD平分ACB,ADBD 又DAEDBC,AEBC DAEDBC(SAS) CDDE,又ACD60 CDE是等边三角形 CDCECABC,即13、如图,过O、M的动圆交轴、轴于点A、B,求OAOB的值.解:如图

16、,过点M作ME轴,MF轴,连AM、BM 由M(1,1)知:四边形OFME是正方形 OEOF4,EMFM,又MBFMAE, AEMBFM(AAS),则AEBF OAOBAEOEOFBF8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图,O为ABC的外接圆,弦CP平分ABC的外角ACQ,ACB. 求证:(1);(2)ACBCPC.证:(1)如图,连接AP,则PCQPAB 又PCQPCA,则PABPCA (2)连接BP,由(1)得,PAPB 在AC上截取ADBC,连PD,又PADPBC PADPBC(SAS),则PDPC 又PCD45,则PCD是等腰直角三角形,ACBCCDPC.5、如图,O为ABC的

17、外接圆,弦CP平分ABC的外角ACQ,ACB. 求的值.解:如图,在BC上截取BDAC,连AP、BP、DP PCBPCQPBA APBP,又CAPDBP CAPDBP(SAS),则CPDP 又ACB120,PCD30, 6、如图,A,B,经过A、B、O三点,点 这P为上动点(异于O、A). 求的值.解:如图,在BP上截取BCAP A,B,则OAOB4 又OAPOBC OAPOBC(SAS) OCOP,且COPAOB90,则 .圆的培优专题7与切线有关的角度计算一 切线与一个圆 答案:1、;2、;3、;4、;5、;6、1、如图,AD切O于A,BC为直径,若ACB,则CAD .2、如图,AP切O于

18、P,PB过圆心,B在O上,若ABP,则APB .3、如图,PA、PB为O的切线,C为上一点,若BCA,则APB . 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题4、如图,PA、PB为O的切线,C为上一点, 若BCA,则APB .5、如图,点O是ABC的内切圆的的圆心,若 BAC,则BOC .6、如图,PA切O于A,若PAAB,PD平分 第6题 APB交AB于D,则ADP . (设元,列方程)二 切线与两个圆7、如图,两同心圆的圆心为O,大圆的弦AB、AC 分别切小圆于D、E,小圆的的度数为, 第7题 第8题 第9题 则大圆的的度数为 .8、如图,O1和O2交于A、B两点,且点O1在O2上,若D,则C

19、 9、如图,O1和O2外切于D,AB过点D,若AO2D,C为优弧上任一点, 则DCB . 答案:7、;8、40;9、(过点D作两圆的切线)圆的培优专题8与切线有关的长度计算1、如图,在O的内接ACB中,ABC,AC的延长线与过点D的切线BD交于 点D,若O的半径为1,BDOC,则CD . (CD)2、如图ABC内接于O,ABBC,过点A的切线与OC的延长线交于D,BAC, CD,则AD . (AD3)3、如图,O为BCD的外接圆,过点C的切线交BD的延长线于A,ACB, 第1题 第2题 第3题 第4题 ABC,则 的值为 . ()4、如图,AB为O的直径,弦DC交AB于E,过C作O的切线交DB

20、的延长线于M, 若AB4,ADC,M,则CD . (CD)5、如图,等边ABC内接于O,BD切O于B,ADBD于D,AD交O于E,O 的半径为1,则AE . (AE1)6、如图,ABC中,C,BC5,O与ABC的三边相切于D、E、F,若O的 半径为2,则ABC的周长为 . (C30)7、如图,ABC中,C,AC12,BC16,点O在AB上,O与BC相切于D, 连接AD,则BD . (示:过D作DEAB,设CDDE,BD10) 第5题 第6题 第7题解题策略:连半径,有垂直;寻找特殊三角形;设元,构建勾股定理列方程.圆的培优专题9圆的切线与垂径定理1、如图,AB为O的直径,C为的中点,CDBE于

21、D. (1)判断DC与O的位置关系,并说明理由; (2)若DC3,O的半径为5,求DE的长.解:(1)DC是O的切线,理由如下: 如图,连接OC,BC,则ABCCBDOCB OCBD,又CDBE OCCD,又OC为O的半径 DC是O的切线 (2)如图,过O作OFBD,则四边形OFDC是矩形,且BEEF OFCD3,DFOC5, EFBF,DEDFEF12、如图,AB为O的直径,D是的中点,DEAC交AC的延长线于E,O的切线 BF交AD的延长线于点F. (1)求证:DE为O的切线; (2)若DE3,O的半径为5,求DF的长.(1)证:显然,CADOADODA ODAE,又DEAC, ODDE,

22、又OD为O半径 DE为O的切线(2)解:如图,过点O作OGAC,则OGDE是矩形,即OGDE3,DEOD5 AG,则AE549, 连接BD,则BDAD,BD 设DF,则BF,DF.3、 如图,四边形ABCD内接于O,BD是O的直径,AECD于E,DA平分BDE. (1)求证:AE是O的切线; (2)若AE2,DE1,求CD的长.(1)证:如图,连接OA,则ADEADOOAD OACD,又AECD OAAE,又OA为O的半径 AE是O的切线(2)解:如图,过点O作OFCD,则CD2DF,且四边形OFEA是矩形 EFOAOD,OFAE2 设DF,则ODEF , CD2CF4、如图,AE是O的直径,

23、DF切O于B,ADDF于D,EFDF于F. (1)求证:EFADAE; (2)若EF1,DF4,求四边形ADFE的周长.(1)证:如图,连接CE,则四边形CDFE是矩形 连接OB交CE于点G, DF是O的切线 OBDF,OBCE BGCDEF,OGAC,又AOOE AC2OG EFADACCDEF2OG2BG2OBAE.(2)解:显然CEDF4,CDEF1 设AC,则AD,AE ,则,则AC3,AD4,AE5 四边形CDFE的周长为14.圆的培优专题10圆的切线与勾股定理1、如图,已知点A是O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OCBC, ACOB. (1)求证:AB是O的切线;(

24、2)若ACD,OC2,求弦CD的长.(1)证:OCOB, AC为OAB的OB边上的中线,又ACOB OAB是直角三角形,且OAB90,又OA为O的半径 AB是O的切线(2)解:显然,OAOCAC,即OAC是等边三角形 AOC60,D30 如图,过点A作AECD于点E, ACD45,AEC是等腰直角三角形, AECEACOC,DEAE CD2、如图,PA、PB切O于A、B,点M在PB上,且OMAP,MNAP于N. (1)求证:OMAN;(2)若O的半径,PA9,求OM的长.(1)证:如图,连接OA,PA为O的切线, OAAP,又MNAP OAMN,又OMAP, 四边形OANM是矩形,即OMAN(

25、2)解:如图,连接OB,PB、PA为O的切线 OBMMNP90,PBPA9 OMAP,OMBP,又OBOAMN,OBMMNP(AAS) OMPM,则32OM2(9OM)2,OM53、如图,AB为O的直径,半径OCAB,D为AB延长线上一点,过D作O的切线, E为切点,连接CE交AB于F. (1)求证:DEDF;(2)连接AE,若OF1,BF3,求DE的长.(1)证:如图,连接OE PE为O的切线, OEDE,又OCAB CCFOOEFDEF90 又COCF,CFODFE DEFDFE,DEDF(2)解:显然,OEOBOFBF4 设BD,则DEDF,OD , DE7.54、如图,正方形ABCO的

26、顶点分别在轴、轴上,以AB为弦的M与轴相切于F, 已知A,求圆心M的坐标.解:如图,连接FM交延长交AB于点E M与轴相切,即OC是M的切线EFOC,又四边形ABCO是正方形EFAB,又A(0,8)即ABEMOA8 AE4 设MFAM,则EM8 ,即MF5 点M的坐标为(4,5)圆的培优专题11圆的切线与全等三角形1、如图,BD为O的直径,A为的中点,AD交BC于E,过D作O的切线,交BC 的延长线于F. (1)求证:DFEF;(2)若AE2,DE4,求DB的长.(1)证:如图,连接AB BD为O的直径,DF为O的切线 BADBDF90 ABCAEBADBFDE90 又ABCADB,AEBDE

27、F DFEDEF,DEEF(2)解:如图,过点F作FGED,则EGGD2AE, 又BAEFGE90,AEBGEF, ABEGFE(ASA), BEEF,即DE为RBDF的斜边上中线 DFEFDE4,BF8,则BD2、如图,AB为O的直径,C、D为O的一点,OCAD,CFDB于F. (1)求证:CF为O的切线;(2)若BF1,DB3,求O的半径.(1)证:AB为O的直径 DFAD,又OCAD OCDF,又CFDB OCCF,又OC为O的半径 CF为O的切线(2)解:如图,过点C作CEBD于点E, 则BEDE1.5,EF2.5 又OCCF,CFEF 四边形OCFE是矩形 O有半径OCEF2.53、

28、如图,以O的弦AB为边向圆外作正方形ABCD. (1)求证:OCOD; (2)过D作DM切O于M,若AB2,DM,求O的半径.(1)证:如图,连接OA、OB,则OAOB OABOBA 四边形ABCD是正方形 ADBC,DABCBA90 OADOBC OADOBC(SAS) OCOD(2)解:如图,连接OM、BD,则OMDM,且BDABDM 又OMOB,ODOD,ODMODB(SSS) OBBD,又ABD45 OAB45,即OAB是等腰直角三角形 OAAB4、如图,在ABC中,ACBC,ACB,以BC为直径的O交AB于D. (1)求证:ADBD;(2)弦CE交BD于M,若,求 .(1)略证:连接

29、CD,则CDAB 又ACBC,ACB,ADBD(2)解:如图,连接BE,过A作ANCE于N, , AN2BE CANBCE,ACBC,ANCCEB ANCCEB(AAS) BECN,CEAN 设CNBE,则CEANBE, BC,ABBC,即BD .圆的培优专题12圆的切线与等腰三角形1、如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径的O与边BC交于D,与边AC交于E, 过D作DFAC于F. (1)求证:DF为O的切线;(2)若DE,AB5,求AE的长.(1)证:如图,连接AD,OD, AB为O的直径, ADBC,又ABAC,OAOB EADDABADO ODAC,又DFAC ODDF,又OD为O的直

30、径 DF为O的切线(2)解:EADDAB,BDDE,又AB5,AD DFACADCD,DF2,CFEF,AE5232、如图,在ABC中,ABAC,以边AB为直径作O,交BC于D,过D作DEAE. (1)求证:DE是O的切线;(2)连接OC,若CAB,求 的值.(1)证:如图,连接AD,OD,则ADBC 又ABAC,CDBD,又AOOB ODAC,又DEAE ODDF,DE是O的切线;(2)解:如图,过点O作OFBD于F,则BD2BF ABAC,CAB,B30 设OF,则BF,OB, ACAB,CDBD,则CF 由勾股定理,得OC,由面积法,得DE,.3、如图,ABAC,点O在AB上,O过点B,

31、分别交BC于D、AB于E,DFAC. (1)证:DF为O的切线;(2)若AC切O于G,O的半径为3,CF1,求AC.(1)证:如图,连接OD, ABAC,OBOD BCODB ODAC,又DFAC ODDF,又OD为O的半径 DF为O的切线(2)解:如图,连接OG,AC为O的切线 OGAC,又ODDF,DFAC,OGOD 四边形ODFG是正方形,即OBOGGF3 设AG,则ABAC,则AO ,则AC84、如图,CD是O的弦,A为的中点,E为CD延长线上一点,EG切O于G. (1)求证:KGGE;(2)若ACEG, ,AK,求O的半径.(1)证:如图,连接OG,OA交CD于点F A为的中点,EG

32、是O的切线 OACD,OGGE OAGAKFOGAEGK 又OAGOGA,AKFEKG EGKEKG KGGE(2)解:ACEG,CAKEGK,又EGKEKGCKA CAKCKA,CACK 设CKCA,则DK,CD,CF,EG AF 在RtAFK中, CE8,AE6, 设O的半径为R,则R282(R6)2,R圆的培优专题13圆与三角形的内心1、如图,AB是O的直径,点M为BC上一点,且CMAC. (1)求证:M为ABE的内心;(2)若O的半径为5,AE8,求BEM的面积.(1)证:如图,连接CE,则ACCECM CMECEM,CEACBE CBEBEMCEAAEM AEMBEM,又ABCCBE 点M为ABE的内心.(2)解:如图,过点M作MNBE于点N,则MN为ABE的内切圆的半径. AB10,AE8,则BE MN, MN2 BME的面积为626.2、如图,O为ABC的外接圆,BC为直径,AD平分BAC点M是ABC的内心. (1)求证:BCDM;(2)若DM,AB8,求OM的长.(1)证:如图,连接BD,CD, BC为直径,AD平分BAC BDCD,BDC90, BCCD 连接CM,则ACMBCM,DACBCD DMCACMDACBCMBCDDCM, DMCD,即BCDM(2) 解:显然,BCDM10,A

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