多元函数微分法及其应用.doc

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1、第九章 多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。(2) 了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。(3) 理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。(4) 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。(5) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。(6) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。(7) 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。(8) 理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极

2、值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。1. 多元函数的极限和连续(1) 基本概念1) 点集和区域。2) 多元函数的定义、定义域。3) 二元函数的极限、连续。(2) 基本定理1) 多元初等函数在其定义域内是连续的

3、。2) 多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。2. 多元函数微分法(1) 基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。(2) 计算方法1) 偏导数：在处对的偏导数，就是一元函数在处的导数；对的偏导数（同理）。2) 全微分：的全微分3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。A. 设，则全导数。B. 设，则： ，。4)隐函数求导法则：A. 设函数由隐函数确定，则。B. 设函数由隐函数确定，则，。C. 设函数由隐函数方程组确定，从，求出导数。(3) 多元函数

4、连续、可导、可微的关系(4) 基本定理1)可微的必要条件：如果函数在点处可微分，则函数在点处偏导数必定存在，且全微分为。2)可微的充分条件：如果函数的偏导数在点处连续，则函数在该点必可微，且。3. 多元函数微分学的应用(1) 方向导数和梯度1) 方向导数A. 定义：，B. 计算方法：2) 梯度A. 定义：B. 函数在一点的梯度grad是一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。3) 方向导数和偏导数的区别和联系A. 都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率而偏导数是沿坐标轴方向（两个方向）的变化率；B. 方向导数是偏导数概念的推广，偏导

5、数并不是某一方向的方向导数。(2) 在几何上的应用空间曲线为曲线上一点1、切线方程：2、法平面方程：1、切线方程：2、法平面方程：空间曲面为曲面上一点1、切平方面方程2、法线方程1、切平面方程2、法线方程(3) 极值问题1) 无条件极值A. 极值的必要条件：若函数在点处达到极值，且偏导数都存在，则，。B. 极值的充分条件：设函数在点的某个邻域内有连续的二阶偏导数，且，记，则为极小值为极大值不是极值无法判断2) 条件极值及其求法：A. 定义：函数在条件下的极值，称为条件极值。B. 计算方法：拉格朗日乘数法：将该问题化为求函数的无条件极值，因此从中求出的，就是函数在约束条件下的可能的极值点。(4)

6、 最值问题1) 设函数在开区间内连续，是内唯一的极值点，如果该点是极大（小）点，则该点是最大（小）点，为最大（小）值。2) 设函数在有界闭区域上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上的最值和内的可能极值点进行比较，则最大的为最大值，最小的为最小值。在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值点，则该点就是所求的最值点三、典型例题分析1. 多元函数的定义域、极限和连续1、求定义域 和一元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。例1：求函数定义域解：由平方根内的函数不小于零，分母不为零，对数函数的定义域为正，由反正弦函数的定义域从而2、

7、复合函数问题在求复合函数的问题时，可适当引入中间变量。例2：求下列复合函数问题(1) 设，求 (2) 设，求解：（1）由，令，则（2）令，则，从而：，所以3、二重极限和连续性(1) 在一元函数极限中，只有三种形式，而在二元函数的重极限中，的方式有无穷多种，这是两者的本质区别，不要轻易用求累次极限去代替求重极限。(2) 求时，可用连续函数的极限值等于函数值，等价无穷小的代换，重要极限，恒等变换约去零因子，夹逼定理等。(3) 通常用取不同路径的极限不相等来说明不存在。例3：求下列极限(1)(2)解：（1）（2）例4: 证明：函数分别对x和y是连续的，但在原点函数不连续。证：当时，有，当时，有，所以

8、对变量连续，同理对变量也连续。但当点沿趋于原点时极限为：，故在原点函数不连续2. 多元函数微分法例5：设，求。解： ，例6：设，求解：，；（由位置的对称性）。例7：求的全微分由，两边对求导所以：例8：设,求，解: 例9：，具有二阶连续偏导数，求解：，3隐函数、参数方程的偏导数隐函数求导有公式法和直接法。直接法就是将方程或方程组两边对某一变量求导，此时其它变量是该变量的函数，注意使用多元复合函数的求导法则。例10：设，求，解：令则，例11：设，其中F具有连续的一阶偏导数，证明。证明：，从而，所以。4多元函数微分学的应用1、方向导数和梯度例12：求函数在点处沿点的向径方向的方向导数。解：在点处 ，

9、故向径的方向余弦为，向径的方向导数为例13：求数量场在点的梯度、沿的方向导数和处最大的方向导数。解:由,得:；由方向的方向余弦，得方向导数：； 处最大的方向导数即为点处梯度的模：例14：函数，其中，设沿方向的方向导数，则与的关系如何？解：，由对称性，由已知得，从而垂直。2、多元函数微分学在几何上的应用例15：在曲线上求一点，使该点的切线垂直于平面，并求切线和法平面方程。解：点处的切线的方向向量为，平面的法向量为，由已知，故，从而，所以切线方程为法平面方程为，即。例16：求曲面上平行于平面的切平面方程。解：令，故切平面的法向量为，平面的法向量为，由已知，故，所以所求点为，又该点在曲面上，则，解得

10、，因此切平面方程为，即。3、求极值和最值例17：求的极值。解：由，求得驻点为，在点，不是极值点；在点，且，是极小值点，极小值为。例18：在面上求一点，使它到三条直线的距离平方和为最小。解：设所求点为，则该点到三条直线的距离平方和为，由，即，解得唯一驻点为，由唯一性，则该点即为所求。例19：求过点的平面，使它与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小。解：设所求平面与三个坐标面在第一象限内的截距为（其中）从而围成的立体体积为，平面方程为，故此问题化为求在约束条件下的条件极值问题，则拉格朗日函数为，求的偏导数，并使之为零，则，解得唯一驻点，所以所求平面方程为。四、自测题A及解答一、选择题1. 极

11、限（ ）（A）不存在（B）0 （C）1（D）2. 设函数，则（ ）（A）（B）（C）（D）3. 设，则（ ）（A） （B）（C）1（D）4. 曲面上点（1，0，2）处切平面方程为（ ）。（A）（B） （C）（D）5. 函数点处方向导数的最大值为（ ）（A）（B）4 （C）2 （D）6二、填空题1. 函数在点处偏导数存在，是函数在点处可微的 条件。2. 设，则。3. 设函数，则，。4. 设，且可导，则5. 设，则在点的值等于 。6. 设有一阶连续偏导数，则。7. 设，则。8. 函数在点处的梯度 。三、计算题1. 已知，求在处的全增量和全微分。2. 设，求的全微分。3. 设，其中f，g是可微函数，

12、求。4. 设求5. ，求。四、应用题1. 求曲线，在点处的切线与法平面方程。2. 求函数在点沿从点到点的方向的方向导数。3. 求函数的极值。五、证明题设，证明自测题A参考答案一、选择题(B)、(A)、(C)、(D)、(A)二、填空题1. 必要2. 解：令得，所以。3. 解：，4. 解：，所以。5. 解：，6.7. 解：，。8. ，三、计算题1. 解：，。2. 解：，所以所以：。3. 解：，4. ，5. 解：令，所以：四、应用题1. 解：，由题意可知，由，则所以切线：法平面：，即：。2. 解：，因为所以：3. 为驻点，驻点极值（0，0）00否是0否0否在点，当时，；当时，。五、证明题证明：，故。

13、五、自测题B及解答一、选择题1. （ ）（A）不存在（B）3 （C）6（D）2. 函数的所有间断点是（ ）（A） （B） （C） （D）3. 函数在点处的偏导数存在，是函数在点处连续的（ ）条件（A）充分非必要（B）必要非充分 （C）充分必要 （D）非充分且非必要4. 已知函数均有一阶连续偏导数，则（ ）（A）（B） （C）（D）5. 设函数在处取得极小值，则函数在处（ ）（A）取得最小值（B）取得极大值 （C）取得极小值（D）取得最大值二、填空题1. 函数的定义域为 。2. 设由方程所确定的函数，则。3. 设，则 。4. 设，则。5. 设，则在点的值为 。6. 面上的曲线绕着y轴旋转一周的曲

14、面在点（1，1，2）处的法线方程为 。7. 已知曲面上的点M处的切平面平行于已知平面，则M点的坐标是 。8. 函数在点（1，2）沿点（2，1）到（1，2）方向上的方向导数为 。三、计算题1. 设，求。2. ，具有二阶连续偏导数，求。3. 设，其中由方程确定，求。4. ，求。5. 已知，而t由确定的x，y的函数，求。四、应用题1. 求椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。2. 设函数，若在点处沿轴正方向有最大增长率18 ，求的值。3. 求函数在区域上的最大值。五、证明题设可微，而，求证。自测题B参考答案一、选择题(B)、(D)、(D)、(A)、(C)二、填空题1. 解：。2. 解：令，则。3. 解：4. 解：5. 解： ，6. 解：旋转曲面为，令，在点（1，1，2）处，故法线方程为。7. 解：；由8. 解：，则。三、计算题1. 解：，；，。2. 解：，。3. 解：令，4. 解：（*），将代入（*）得。5. 解：（1）将隐函数两边对的求导得（*）；（2）求隐函数关于的导数，令，则；（3）将代入（*）得。四、应用题1. 解：令，在点处法向量为，的法向量为，设的夹角为，则。2. 解：由题意函数在点处的梯度为，另一方面从而3. 解：，在区域内部得唯一驻点：， ；在边界上，在边界上，.比较之得：在点取到最大值。五、证明题证明：，所以：