导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.doc

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1、导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 已知函数（a0）,求函数的单调区间 例1 已知函数（a0）求函数的单调区间 例3已知函数，其中。（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值。解：（）当时，曲线在点处的切线方程为。（）由于，所以 ,由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。 (1)当时，则。易得在区间，内为减函数，

2、在区间为增函数。故函数在处取得极小值； 函数在处取得极大值。（1） 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 (区间确定零点不确定的典例)例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量

3、为（12-x）2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11. (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).X=12y 令L=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）. 3a5,86+a.912x 在x=6+a两侧L的值由正变负.0 所以当86+a9即3a时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).

4、当96+a即a5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=答 若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若a5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(万元).（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例2、已知 ().求函数的单调区间; ().求函数在上的最小值; ()对一切的,恒成立,求实数的取值范围. 解：() ()()0tt+2，t无解； ()0tt+2，即0t0）,求函数的单调区间 例3 已知是实数，函数（）求函数的单调区间；（

5、）设为在区间上的最小值。 （）写出的表达式； （）求的取值范围，使得。解：（）函数的定义域为，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1） 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。（2） 当时，由，得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。（）（）由第（）问的结论可知：（1） 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。（2） 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以： 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。 当，即时，在上单调递减，所以。综上所述，（）令。若，无解；若，由解得； 若，由解得。综上所述，的取值范围为。三.求导后，因导函数

6、为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。例1已知函数 求函数的单调区间例2已知函数求函数的单调区间 例3 设，函数，试讨论函数的单调性。解： 。考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；（2） 当时，。由，得，因为，所以。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；（2） 当时，。由，得；由，得

7、。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。综上所述：（1） 当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。（2） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数。（3） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。 19设a0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性。解：函数的定义域为当的判别式当有两个零点，（1）且当内为增函数；当内为减函数；当内为增函数；当内为增函数；当 时，由 0 0是增函数，在上0是增函数。所以函数在x=a时，所以函数在x=a时，因对有恒成立， 求实数的取值范围.极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下： a0 当两个极值

8、点都在指定区间内时。即03a3，也就是0a0时为什么分为0a0是增函数，在上0是增函数。所以函数在x=a时，所以函数在x=a时， 有恒成立，等价于 解得即0a1 当两个极值点有一个在指定区间内时。即03时，也就是10时为什么分为0a0是增函数，在上3时， （当a0时为什么分为0a0是增函数， 与 矛盾。 综上：对有恒成立时，实数的取值范围是.例4设函数，其中，求函数的极值点。解：由题意可得的定义域为，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以,在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。（2）当，即时

9、，方程，即有两个不相等的实根：。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：（）当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：0递减极小值递增由此表可知：当时，有唯一极小值点。（）当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。综上所述：（1） 当时，有唯一极小值点；（2） 当时，有一个极大值点和一个极小值点；（3） 当时，无极值点。从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。 (19)

10、()小问5分，()小问7分.)已知函数(其中常数a,bR),是奇函数.()求的表达式;()讨论的单调性，并求在区间1,2上的最大值和最小值.（21）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.解：（） 当 所以 因此， 即 曲线又所以曲线 （）因为 ，所以 ，令 （1）当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递 （2）当 即，解得当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在（，）上单调递减；函数在（，）上单调递增；当时，函数在（0，

11、+）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减， (22)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.解：（）因为，所以 ，令 ， 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减；时，此时，函数单调递增.综上所述：0（）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=

12、，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。（21）已知函数. （）讨论函数的单调性； （）设，证明：对任意，.解：() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+

13、4x,则+4.于是0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，.（21）已知函数（I） 讨论函数的单调性；（II） （II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于 ， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2. (18)已知函数()=In

14、(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时，由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），.当时，. 所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是20、（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数

15、具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）。待研究的以下问题在求函数的单调区间时涉及的分类讨论问题；在求函数的极值与最值问题引出分类讨论问题；在涉及函数的零点时引起的分类讨论问题；参考资

16、料：导数的应用与分类讨论【例】 设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中aR. （）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值； （）若f（x）在（-，）上为增函数，求a的取值范围. 解： （）f （x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）. f（x）在x=3处取得极值， f （）（-a）=0，a=3，检验知成立. （）由f （x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1. 若a0，所以f （x）在（，a）和（，）上为增函数，而f（x）在（，）上为增函数，所以a0，所以f （x）在（，1）和（a，）上为增函数，f（x）在（，）上也为增函数. 综上，所

17、求a的取值范围为，）. 【点评】 （）中对a的值进行分类讨论，当a0，当x变化时，函数递增与递减及极值情况如下表：若ax0时， h（x）0；当xx0时，h（x）0，且b1”是不等式成立的必要条件. 下面在a0，且0b1的条件下求a与b所满足的关系式及b的取值范围. x2+1ax+b x2-ax+（1-b）0，对任意x 0，）成立的充要条件是x2-ax+（1-b）在0，）上的最小值b- 0，即a2 令S（x）=ax+b- ，则对于任意x 0，）不等式ax+b 恒成立 S（x）0. 由（x）=a- =0得x=a-3，则当0xa-3时，（x）a-3时，（x）0，所以当x=a-3时，（x）取得最小值.因此（x）的充要条件是（a-3）0，即aa-3+b- 0，解得a . 故a、b所满足的关系式为 a2 . 解不等式 2 ，得 b ，这就是所求的b的取值范围. 【点评】 在（）中判断“x0是h（x）惟一的极值点”，在（）中求（x）的最小值，都用到了分类讨论.