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1、导数的应用及定积分（一）导数及其应用1函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 .我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f (x0)或y|xx0，即f (x0)。2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数，就是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率 ，即kf (x0).3函数的导数对于函数yf(x)，当xx0时，f (x0)是一个确定的数当x变化时，f (x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称为导数)，即f (x)y.4函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值，即f (x0)f (x)|xx0。5常见函数的导数(xn)
2、_.()_.(sinx)_.(cosx)_.(ax)_.(ex)_.(logax)_.(lnx)_.（1）设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：(f(x)g(x)_；(f(x)g(x)_（2）设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)0，_.（3）复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积6函数的单调性设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间单调_；(2)如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间内单调_(2)如果一个函
3、数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较_，其图象比较_7函数的极值一般地，已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_；如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_8函数的最值假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在a，b上一定能够取得_与_，若该函数在(a，b)内是_，该函数的最值必在极值点或区间端点取得9生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化
4、问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中_的取值范围（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是_点（二）定积分1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa、xb(ab)、y0和曲线_所围成的图形称为曲边梯形(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_；近似代替：对每个小曲边梯形“_”，即用_的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的_；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值_；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个_，即为曲边梯形的面积2求
5、变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用_、_、_、_的方法，求出它在atb内所作的位移s.3定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Snf(i)x_(其中x为小区间长度)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的_，记作，即_这里，a与b分别叫做_与_，区间a，b叫做_，函数f(x)叫做_，x叫做_，f(x)dx叫做_4定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有_，那么定积分表示
6、由_，y0和_所围成的曲边梯形的面积5定积分的性质_(k为常数)；_；_(其中aca0)； cosx|；sinx|； ex|；|(a0且a1)练习题：1若直线yxb为函数y的图象的切线，求b及切点坐标2曲线yx2在点(3,6)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_3设y，x0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x1,1内没有极值点，求a的取值范围；(3)若对任意的a3,6，不等式f(x)1在x2，2上恒成立，求m的取值范围9设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a0，故函数f(x)的定义域为(0，)f (x
7、)a，f (2)a10，a.f (x)(2x25x2)，令f (x)0，得0x2，令f (x)0，得x0恒成立，因为f(x)a，所以需x0时ax22xa0恒成立，即a对x0恒成立因为1，当且仅当x1时取等号，所以a1.7题：因为f(x)在x1时有极值0，且f (x)3x26axb.所以，即，解得，或 .当a1，b3时，f (x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a2，b9时，f (x)3x212x93(x1)(x3)当x3，1时，f(x)为减函数；当x1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值因此a2，b9.8题：(1)f (x)3x22
8、axa23(x)(xa)，又a0，当x时，f (x)0；当ax时，f (x)0，a3.(3)a3,6，1,2，a3，又x2,2，当x2，)时，f (x)0，f(x)单调递减，当x(，2时，f(x)单调递增，故f(x)的最大值为f(2)或f(2)而f(2)f(2)164a20，得a，所以，当a时，f(x)在(，)上存在单调递增区间(2)令f(x)0，得两根x1，x2，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增因为0a2，所以x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，所以f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值为f(4
9、)8a，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)10题：每月生产x吨时的利润为f(x)(24200x2)x(50000200x)x324000x50000 (x0)由f (x)x2240000，解得x1200，x2200(舍去)因f(x)在0，)内只有一个点x200使f (x)0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)200324000200500003150000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元11题由定积分的几何意义得dx，x3dx0，由定积分性质得(x3)dxdxx3dx.13题：(1)如图所示由解得或第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S(4xx3)dx(2x2)|844.
