小学奥数数学课本一年级打印版.docx

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1、华罗庚学校数学课本：一年级第一讲 认识图形（一）1这叫什么这叫“点”。习题一1点 （1）看，这些点排列得多好！上册 下册第一讲 认识图形（一） 第一讲 速算与巧算（一）用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。2这叫什么这叫“线段”。第二讲 认识图形（二） 第二讲 速算与巧算（二）（2）看，这个带箭头的线上画了点。第三讲 认识图形（三） 第三讲 数数与计数（一）沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有第四讲 数一数（一） 第四讲 数数与计数（二）两个端点。3这叫什么这叫“射线”。2线段 下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！（1）一根小棍。可以横着摆，也可

2、以竖着摆。第五讲 数一数（二） 第五讲 数数与计数（三）第六讲 动手画画 第六讲 数数与计数（四）从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。第七讲 摆摆看看 第七讲 填图与拆数（一）4这叫什么这叫“直线”。（2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。第八讲 做做想想 第八讲 填图与拆数（二）沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边第九讲 区分图形 第九讲 分组与组式无限延伸。5这两条直线相交。（3）三根小棍。可以像下面这样摆。第十讲 立体平面展开 第十讲 自然数串趣题第十一讲 做立体模型 第十一讲 不等与排序第十

3、二讲 图形的整体与部分 第十二讲 奇与偶两条直线相交，只有一个交点。6这两条直线平行。3两条直线第十三讲 折叠描痕法 第十三讲 是与非第十四讲 多个图形的组拼 第十四讲 火柴棍游戏（一）两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。7这叫什么这叫“角”。第十五讲 一个图形的等积变换 第十五讲 火柴棍游戏（二）第十六讲 一个图形的等份分划 第十六讲 火柴棍游戏（三）哪两条直线相交哪两条直线垂直哪两条直线平行第十七讲 发现图形的变化规律 附：第一讲 点、线、角附：第二讲 长方形、正方形、三角形和圆角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，射线叫角的边。角分锐角、直角和钝角三种。4你能在

4、自己的周围发现这样的角吗附：第三讲 多边形和扇形直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花板上的角都是直角。锐角比直角小，钝角比直角大。附：第四讲 立体图形的认识1 2第二讲 认识图形（二）二、认识四边形 第三讲 认识图形（三）1这叫“四边形”。一、认识三角形 1这叫“长方体”。1这叫“三角形”。 圆是个很美的图形。圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径。四边形有四条边，内部有四个角。 长方体有六个面，十二条棱，八个顶点。长方体的面一般三角形有三条边，三个角，三个顶点。 2这叫“等腰梯形”。 是长方形，也可能有两个面是正方形。互

5、相垂直的三条棱2这叫“直角三角形”。 直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫“半圆”。 分别叫做长方体的长、宽、高。2这叫“正方体”。2这叫“扇形”。它是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等。平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰。 圆的一部分叫“圆弧”。由一条圆弧和两条半径构成的图形3这叫“平行四边形”。 叫“扇形”。 正方体有六个面，十二条棱，八个顶点。正方体的每个面直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它 都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等。的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。 3这叫“圆柱”。3这叫“等腰三角形”。 习题二1用橡皮筋在钉子板上套出各

6、种图形。它的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等。4这叫“长方形”。圆柱的两个底面是完全相同的圆。它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等）， 4这叫“圆锥”。相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。 它的两组对边分别平行而且相等，四个角也都是直角。4这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。 5这叫“菱形”。它既是直角三角形，又是等腰三角形。2观察周围的物体，你还能发现哪些图形如：圆锥的底面是圆。5这叫“棱柱”。菱形的四条边都相等，对角分别相等。5这叫“等边三角形”。 6这叫“正方形”。正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 这个棱柱的上下底面是三角形。它有三条互相平行的

7、棱，叫三棱柱。它的三条边一样长（相等），三个角也一样大（相等）。 三、认识圆和扇形 6这叫“棱锥”。1这叫“圆”。3 44圆锥 1+3+6+9+12=31 3数一数，下图中有几个正方形有几个长方形有几共有31个点。 个平行四边形几个四边形例3 数一数，下图中有几条线段照下面的方法数：这个棱锥的底面是四边形。它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥。 5棱锥7这叫“三棱锥”。3+2+1=6（条）。例4 数一数，下图中有几个锐角4数一数，下图中共有多少点因为它有四个面，所以通常又叫“四面体”。它的每个面都是三角形。 6球8这叫“球体”。简称“球”。球有球心，球心到球面 照下面的方法数：上一点的连线叫球的

8、半径。 5数一数，下图中共有几条线段6下图中共有10条线段，你能把它们都找出来吗3+2+1=6（个）。7数一数，下图中有几个锐角习题四习题三 1数一数，下图中有几个锐角几个直角几个钝角第四讲 数一数（一）看看摸摸，并在自己周围寻找具有这些形状的物体。1长方体 例1 数一数，下图中有几个正方形、几个等边三角形、几个圆8下图中共有10个角，你能把它们都找出来吗2正方体2数一数，下图中有几个等边三角形有几个等腰三角形有几个直角三角形有几个等腰直角三角形 习题四解答1图中有3个锐角、3个直角、3个钝角。2图中有1个等边三角形、4个等腰三角形、2个直角三角3圆柱 形、1个等腰直角三角形。例2 数一数，下

9、图中共有多少点 3图中有2个正方形、3个长方形、5个平行四边形、6个四边形。4图中共有41个点。1+4+8+12+16=41（个）。5图中共有3条线段。5 62+1=3（条）。 照书上的方法数，共8个三角形。6数线段的方法如下： 2数一数，右图中有几个三角形10右图中共有27个三角形，请你都找出来。4+3+2+1=10（条）。 3右图中有8个三角形，请你把它们都找出来。7图中共3个锐角。 11数一数，右图中共有多少个三角形例3 数一数，右图中共有多少个正方形8数角的方法如图： 4数一数，右图中有几个长方形照书上的方法数，共有10个正方形5下图有7个长方形，请你都找出来。 习题五解答1图中有2个

10、三角形。4+3+2+1=104+5+1=10（个）。例4 数一数，右图中共有多少个长方形6数一数，右图中有几个正方形第五讲 数一数（二） 2图中有3个三角形。数复杂的图形需要较强的观察能力，要细心，做到不重不漏。 照书上的方法数共有5个长方形。例1 数一数，右图中有多少个三角形 7左图中共有14个正方形，请你都找出来。3可以像下面这样找。照书上的方法数，共4个三角形。8数一数，右图中共有几个正方形，几个三角形习题五1数一数，右图中有几个三角形例2 数一数，右图中共有多少个三角形9数一数，左图中有几个圆7 84图中有3个长方形。习题六1画点（1）随意画例2 画线段 先画两个端点，再使尺子的一边与

11、两点靠近。5 左手按住尺子，右手拿铅笔沿着尺子边从一点画到另一点。 6同学们合作，利用小棍（或粉笔）和细绳，在地面上（2）照图画 画大圆。一人把线的一端按在地上不动，另一人把小棍（或粉笔）捆在细绳上，让细绳时刻拉紧转圈，这时小棍（或粉笔）就能在地上画出一个大圆。例3 画直线 把尺子放在纸上，用左手按住，用右手拿着笔从左往右画。（虽然画出的只是一段，但可以把它想像成是向两端延伸得很远很远） 2画线6图中有5个正方形。 （1）随意画（2）用尺比着画线段（看成线段）第七讲 摆摆看看7例1 用两根火柴棍，摆成一个锐角、一个直角、一个钝角。例4 画直角 左手按住三角板，右手拿着铅笔沿三角板的两条直角边可

12、画出直角。3画角（1）随意画例2 用四根火柴棍摆出两条平行直线，再摆出两条相交直线。8图中有5个正方形、16个三角形。9图中有6个圆。10图中共27个三角形。（2）用三角板画一个直角、三个锐角。11图中共有44个三角形。其中最大的2个、次大的6个、 4画长方形和正方形（在方格纸上画）。次小的12个、最小的24个。 例3 用火柴棍摆出一个三角形、一个正方形、一个菱形、例5 画圆 一个长方形、一个平行四边形、一个等腰梯形、一个五边形、一个六边形、一个八边形。5使用三角板和圆规画出各种图样。第六讲 动手画画例1 画点 用铅笔在纸上画点。9 10（1）拿掉哪三根，就可以变成一个三角形 等腰三角形，再用

13、橡皮泥粘住。5 （3）想想：一个等边三角形必定是一个等腰三角形，对（2）拿掉哪两根，就可变成两个三角形 吗反过来说，每个等腰三角形都是等边三角形，对吗（3）拿掉哪一根，就可变成三个三角形 2（1）用图示的三根小棍摆成一个直角三角形，再用橡3如右图所示，用火柴棍摆了五个正方形。 皮泥粘住。（注意，这三根小棍的长度不是随意的，若用半根火柴棍当尺子去量，它们的长度数，即量的次数分别是3、4和5）例4 用三根火柴棍可以摆出一个三角形，如图。 第一根：第二根：（1）请你拿掉两根，剩下三个正方形。 第三根：（2）请你拿掉两根，剩下两个正方形。 第八讲 做做想想 （2）若改用长度数是2、4和5的三根小棍，还

14、能摆成直角（1）再加两根火柴棍，摆出两个三角形。 4如下图所示，用火柴棍摆了六个三角形。如果拿掉三 三角形吗（2）再加两根，摆出三个三角形来。 根火柴棍就变成了三个三角形，应该拿掉哪三根试试 例（1）用下图中那样的三根小木棍，摆出一个三角形， （3）再改用长度为4、4和5的三根小棍，还能摆成直角三（3）再加两根，摆出五个三角形来。 看。 并用橡皮泥粘住。 角形吗解 摆一个三角形必需三根火柴棍，这样计算，摆两个三角形就需要六根。但是现在只给你增加两根，却要求你用五根摆出两个三角形，可见必有一根火柴棍要供两个三角形公用才行。同样道理，再加两根后共七根要摆三个三角形还差两根，所以必须有两根公用。 5

15、如右图所示，用16根火柴棍摆了四个正方形。你能用 再改用三根长度分别是3、4和6的小棍，能摆成一个直角15根 、14根 、13根火柴棍也分别摆成四个小正方形吗摆 三角形吗摆看。（2）再用如下图中那样长的三根小木棍，看能不能摆出一个三角形再给两根后共九根火柴棍，要摆五个三角形。摆法如图所 （4）想想：通过动手做，你是否看出：在这三种情况中，示。可以看出九根火柴棍摆出了三个“正立”的小三角形， 只有长度数是3、4和5的小棍才能摆出一个直角三角形，同时中间还出现了一个“倒立”的小三角形，它并没有额外 你对此感到奇妙吗需要增加火柴棍。而且最外面的六根火柴棍又形成了一个 3如图所示，这里的四根小棍中两根

16、较长的长度相等，大三角形。所以这九根火柴棍共摆出了五个三角形。 （3）想想：随便拿三根小棍就能摆出一个三角形来吗 两根短的长度也相等。习题七解答 什么样的三根小棍才一定能摆出一个三角形1慢慢转动小棍的过程中锐角逐渐变大，之后出现直角， 解（1）图中给的三根小棍，可以摆出一个三角形。习题七 直角再变大随之出现钝角。 （2）图中给的三根小棍，不能摆出三角形。1用两根小木棍，摆成一个很小的锐角，然后慢慢地挪 2 （3）得出结论：三根小棍中，如果其中两根较短的小动一根，使锐角渐渐变大。如果继续转动小棍，将会出现 棍接起来还没有余下的那根长棍长，就摆不成三角形。什么角 三根棍中，如果两根较短的接起来比最

17、长的那根棍还长， （1）用这四根小棍摆出一个长方形。用它们就能摆成一个三角形。可见在一个给出的三角形 （2）再用它们摆成一个平行四边形。3 中，两边之和必大于第三边。 （3）先想想：长方形和平行四边形的相同点是什么不同点又是什么习题八 再判断：“一个长方形必定也是一个平行四边形，而一个1（1）用三根一样长的小棍，摆成一个等边三角形，再 平行四边形就不一定是一个长方形。”对不对用橡皮泥粘住。 4这里的四根小棍一样长，请你用它们摆出：2如右图所示，用火柴棍摆了五个三角形。 4 （2）用两根一样长的小棍和一根较短的小棍，摆成一个11 12例4 从下面的五个图形中选出与众不同的一个。 6（1）一个正方

18、形。 图（4）与其他四个不同。（2）一个菱形。 （3）正方形和菱形的相同点是：它们都是四条边相等的 除图（4）外其他四个都是正多边形，也就是各边都相等 答：（）。（3）先想想：正方形和菱形的相同点是什么不同点是 四边形。不同点是：正方形的四个角都是直角，而菱形的 的多边形；而图（4）的四条边长短不同，所以不是正多 7什么再判断：“一个正方形必定是一个菱形，而一个菱 四个角都不是直角（其中两个锐角，两个钝角）。 边形。形不一定是一个正方形。”对吗习题九习题八解答 第九讲 区分图形1 从下列每题的五个图形中选出与其他四个不相同的一个，例1 下图中的两个三角形，有哪些相同点，有哪些不同 把答案序号填

19、在括号里。 答：（）。点 1 8（3）在一个等边三角形中，它的三条边都相等，当然其中的两条边也必相等，所以说每一个等边三角形都必定是 答：（）。一个等腰三角形是对的。 2相同点：都有一个直角，都是直角三角形。 答：（）。但反过来说就不对了，因为等腰三角形只是两边相等，对 不同点：（1）中两条直角边不相等，是一般的直角三角形。 9第三条边的长度没有限制。 （2）中两条直角边相等，是个等腰直角三角形。2 例2 下图中的两个图形，有哪些相同点，有哪些不同点请你仔细观察、分析。答：（）。3答：（）。习题九解答1（4）。其他图形都是直角，而第（4）个图形不是直角。（5）我国古代数学家，把直角三角形中较短

20、的直角边叫 相同点：都可以看成是一个大图形里面内接（套着）一个 答：（）。 2（4）。其他图形中的虚线都把图形分为相等的两部分，“勾”，较长的直角边叫“股”，把斜边叫“弦”。他们 同样形状的小图形组成。 4 而第（4）个图形则不是。已经发现了直角三角形三边长度的“勾三股四弦五”的 不同点：（1）的大小两个图形都是正方形，（2）的大小两 3（4）。其他图形都是两组对边分别平行且相等，而第（4）关系。 个图形都是等边三角形。 个图形不是这样，它的上下两边平行但不相等，左右两边3（略） 例3 下图的五个图形中，哪一个与众不同 相4答：（）。 等但不平行。5 4（3）。其他图形均被分成大小相同的四份，

21、阴影部分占其中的一份，而第（3）个图形则不是。5（4）。其他图形都是由正方形和圆形构成，而第（4）（3）长方形和平行四边形的相同点是：都是两组对边平 个图形是由三角形和圆形构成。行且相等；不同点是：长方形的四个角都是直角，而平行 图（3）与其他四个不同。 6（3）。其他图形中的圆点都处于划线的阴影三角形的左四边形的四个角都不是直角，有两个为锐角、两个为钝角。 因为图（3）只有三条边，是三角形，而其他四个图形都 侧，而第（3）个图形中则不是。5 是四边形。 答：（）。 7（4）。其他图形中的三条线是这样配置的：伸出右手，13 14四指由带箭头的一条线从直角内部握向带圆点的一条线 什么样的立体图形

22、 5用剪刀将下面的平面展开图剪下来，看看能不能折叠时，大拇指指向带圆圈的一条线。但第（4）个图形不这 这个展开图就是扇形。 成正方体。样的。8（4）。其他图形中涂黑部分是两个小图形的重叠部分，而第（4）个图形中有两个涂黑部分。 习题十9（4）。其他图形中，由大圆中圆次小圆小圆顺时 1下图中的（1）、（2）、（3）号盒子剪开铺平后，展开图针旋转，而第（4）个图形中按这个顺序走却是逆时针旋 是哪一个，请你用线连起来。转。 例3把下面的平面展开图剪下来，可做成什么立体图形第十二讲 图形的整体与部分第十讲 立体平面展开例1 把一条长方形纸带剪成长短相同的两条，摆在桌面例1 像下图那样，把正方体盒子剪开

23、，铺展在平面上加以 上，仔细地看看。再把剪开的两条纸带接起来，变回原来描画而成的图形叫做“展开图”。请你试试做。 的长度，再仔细地看看。例4 把下面的平面展开图剪下来，能折叠成什么样的立体图形把一个图形分成大小相同的两份，其中每1份都是原来的2将下图中（1）、（2）号棱锥剪开铺平后，哪一个是它例2 把厚纸盒沿右图的粗线剪开，展平成“展开图”。想一想，剪开前哪个面和哪个面相对对应的展开图，请用线连起来。二分之一，写例2 把一张正方形的纸片剪成大小相同的4块。请你仔细看看下面画出的三种剪法。把一个图形分成大小相同的4份，其中每1份都是原来的四3请你将能找到的包装盒如：火柴盒、月饼盒、冷饮盒、 分

24、之 一 ， 写鞋盒等等，用剪刀剪开，平铺在桌面上观察并画出展开图。 由四棱柱和四棱锥组成的立体图形把原来的立体图和平面展开图对照可知：习题十一 于原来小纸条的3倍。用剪刀将平面展开图剪下来，沿折线折叠成立体图形。第十一讲 做立体模型 原来的：新做的：动手折叠，把一个平面展开图变成一个立体模型，这样不但可以培养动手能力，而且可以增强空间想像能力。 例4下图中阴影部分是整个图形大小的几分之一1和3相对；2和4相对；5和6相对。 例1把下面的平面展开图剪下来，沿着折线能折叠成什么例3 把冷饮食品“蛋卷”的包装皮（圆锥）切开后，形 样的立体模型自己动手试一试。成下面右图那样的形状。例2 将下面的平面展

25、开图剪下来，沿着折线折叠，能折成15 16（5）对折5次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份解：例5下图中的阴影部分占整个图形的几分之几3下图中的三个长方形纸带，哪一个是带阴影图形长度的4倍图中每个圆都被分成了四个相同的部分。 第十三讲 折叠描痕法 习题十三4下图中阴影部分占整个图形的几分之几 用折叠描痕法等分图形：如何将一个图形分成相同的几部分呢这里介绍一种简 1把一张正方形的纸分成四等份，你能想出三种折叠方单易行的方法折叠描痕法。 法来吗例1把正方形分成相同的四部分。 2把一张长方形的纸分成八等份，你能想出多少种不同的折叠方法来例6下面图形中阴影部分占整个图形的几分之几 5下图中阴影部分占

26、整个图形的几分之几 3把一张圆形的纸分成二等份、四等份、八等份和十六等份。4把一张平行四边形的纸分成二等份、四等份。5把一个等腰三角形的纸，用折叠描痕法等分成二等份后，再用剪刀剪开，拼成一个长方形。6下图中阴影部分占整个图形的几分之几 6把一个等腰梯形先折叠两次（一次找腰的中点，一次（1）中的大等边三角形被分成了四个相同的小三角形， 折出三角形），再沿折痕剪下，拼成一个大三角形。带阴影的小三 第一步：对角折 7把一个平行四边形纸，先折叠一次（折出一个直角三第二步：再对角折 角形）再沿折痕剪下，拼成一个长方形。第三步：展开，描痕。（2）中的垂线将大三角形分成了相同的两部分，带阴影 例2把大等边三

27、角形分成相同的四部分，使每部分的形状的小三角形占 都与原图形一样。 习题十三解答7下图中阴影部分占整个图形的几分之几下面是折叠后，再展开描痕的结果。（3）中的大等边三角形先被分成了相同的四部分，阴影 1小三角形又是2习题十二解答 第一步：左右对角折，然后展开，描痕成虚线，虚线与底习题十二 边交点就是底边中点。1下图中哪个图形是整个长方形的二分之一 第二步：将上角折下，使角顶与底边中点重合。第三步：折左角、折右角，如图示。第四步：展开，描痕。3（2）是阴影部分长度的4倍。 例3用折叠描痕法等分一个长方形纸条。（1）对折1次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份（2）对折2次，展开描痕，数一数，纸条

28、被等分成几份2下图中阴影部分的长度是全长的几分之一 （3）对折3次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份 3（4）对折4次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份17 18例2用两个同样大小的直角三角形拼成一个平行四边形。10请用七个正六边形（右面只画了一个）拼出一个蜂窝4 2请用两个同样的等腰直角三角形拼成： 状的图形。解：注意平行四边形的两组对角相等、两组对边平行且相等的特点，经试验，可以拼成如下的平行四边形。5折叠、展开、描痕、剪开，重新拼成长方形。3请用两个同样的一般三角形拼成一个平行四边形。例3如下图所示，用四个形状和大小完全相同的直角三角形，可以拼出一个“空白”正方形（空白处形成的图形是

29、 习题十四解答个正方形）。请你仍用这四个直角三角形，再拼出其他边长不同的“空白”正方形出来。6（1）折叠、打开找腰的中点 解：（l）可以利用直角边拼出正方形来 4请用四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形。（2）再折叠、再打开、描痕（3）剪开、旋转、拼成三角形5请用四个同样的直角三角形和一个正方形拼成一个大正方形。（2）也可以利用斜边拼出正方形来6请用一个五边形和五个等腰三角形拼成一个“五角7 星”。7请用八个等腰直角三角形拼成一个大正方形。10第十四讲 多个图形的组拼例1用下图的同样大小的三个等边三角形拼成一个等腰梯 8请用四个一样的等边三角形拼成一个大等边三角形。形。习题十四1请用两个同样

30、的直角三角形拼成：解：因为等腰梯形的两腰相等，上底和下底平行，而等边 9请用六个一样的等边三角形拼成一个正六边形。三角形的三条边是相等的，经试验，可以拼成如下的等腰梯形。19 20第十五讲 一个图形的等积变换 第十六讲 一个图形的等份分划把一个图形切开后组拼成另一个图，它的形状变了但（面 把一个图形划分为大小相等、形状相似的几部分叫做图形积）大小未变，这样的过程叫做图形的等积变换。 的等份分划。例1把下面的长方形剪一刀，将它分成两个同样的直角三 例1 在右图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相角形。然后用这两个直角三角形拼成另外形状的图形。试 等的两部分。试看。习题十五 习题十五解答解：

31、1把一个平行四边形折叠展开描痕分成二等分，沿折痕剪开后，再拼成另一个平行四边形。解：图中共有18个正方形小格，若分成大小相等的两部分时，每一部分应包含有9个正方形小格。还可以看出，此2把下图中的长方形纸片先剪成两个大小相同的正方形， 图中有一条“斜线”边缘。经尝试可做出如虚线所示的划再把每个正方形纸片剪成两块，然后拼成一个大正方形。 分。怎样剪，怎样拼 例2 下面左图是由五个同样的正方形组成，请把它们分成形状相同、大小相等的四块。3下图所示这块木料可看成由五个小正方形组成。聪明的木工只据了两次，就拼出了一个正方形桌面。想一想，例2给你一个梯形，先将它折叠两次（如图示），再沿三角 他是怎样锯、怎

32、样拼的形一边的那条折痕剪开，拼成一个三角形。 解：要求把五个正方形分成大小相等的四块，不难算出，每块应当包含有一个正方形，另外还应当再加一个正方形解： 的四分之一。经尝试，划分方法如上面右图。例3 如下图所示，一个长方形由28个小正方形组成。请把它划分成形状相同、大小相等的四块，你能做出多少种划4请把下图中的长方形分成形状相同、大小相等的两块， 分方法然后再拼成一个正方形。例3 右图由五个小正方形组成，请先用剪刀把它剪开，然 解：划分方法很多，如下图：后重新拼成一个大正方形。 5请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等的四块，然后再拼成一个等腰直角三角形。解：此题有很多种不同的切拼方法，这里只

33、举一种。把小正方形剪下来，再将剩下的大正方形等分成四个直角三角形，再像下面的右图那样拼成一个大正方形。 6把下面的图形剪两刀变成三块，再把这三块拼成一个正方形。例4 将右图所示正方形用两条直线划分成形状相同、大小相等的四块，有多少种方法21 22相同的要求，经尝试可按右图所示方法划分。4把3个等边三角形组成的图形分成4块，就需要从每个等边三角形中划出一块，共划出3块，使其组成的图形和每个三角形剩下的部分形状相同，大小相等。经尝试，得到如右图所示的划分。解：由画出的4个图可见，两条对角线一同旋转，可做出无数种划分方法，如下图所示。6如右图所示，正方形的院中有12棵树。现在要把这院 解：仔细观察可

34、发现，第一行和第二行中的最右边的完整分成大小相等、形状相同的4个小区，每个小区要有3棵树， 图形是这样变来的：将最左边的半个图形，往右平移到中如何分 间图形位置，然后再去掉两个图形的重合部分。按这个规律可知“”处就填：习题十六1右图是由3个大小相同的正方形组成，要把它分成大小、形状都一样的4块，该怎样分 例3 下图的一组图形的“”应填什么样的图形第十七讲 发现图形的变化规律习题十六解答13个正方形要分成大小相等的4块，必须每个正方形分2你能把右边的图形分成2块，使它们的大小、形状都一 出四分之一小块，4个四分之一小块再凑成一块。再考虑 这是一种综合训练。通过对图形的仔细观察、反复比较、样吗试试

35、看。 到4块形状相同的要求，经尝试可做如右图中的划分。 大胆猜测、严格检验和不断修正等思考程序，就能发现下列图形的变化规律，得出正确的答案。例1 下图是按一定规律排列的。找出它的变化规律后，试填出所缺少的图形。 解：每行的第一和第二个平移重叠后变成第三个图形。可见第三行“”处为：2可以这样想：因为原图中有弯曲线，所以将要分成的两块的分界线一定也是这样的弯曲线，它可使一块成为凸3把一块地（如右图）分给5个种植小组，每组分得的土 的，使另一块成为凹的。如图所示。地的形状和大小要相同，怎样分 习题十七下列各题中的图形都缺少一个，试根据对已给出的图形的观察思考，找出图形的变化规律，将所缺的图形补上。1

36、解：通过观察、比较可以发现，第一行和第二行的三个小43个同样大小的等边三角形组成一个等腰梯形（如图所 图形是相同的，所不同的只是它们的排列顺序。还可以发示）。现在要将这个梯形分成大小相等、形状相同的四块， 3先计算一下，图中共有25个小正方形。题目要求把它 现，从第一行变到第二行，每个小图形都往右移动了一个怎样分 分成大小相等的五块，每块就应含有5个小正方形。再考 图形的位置，而且第一行最左边的图形占了第二行最右边虑到每块形状 的位置。所以第三行“”处应填：5请把右图划分成大小相等、形状相同的两部分（不允 例2 在下图的一组图形中，“”处应填什么样的图形许用直线从图形的中央竖直分开）。23 2

37、42+18=20 12+28=40 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+193+17=20 13+37=50 +204+16=20 14+46=60 解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以5+15=20 15+55=70 及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题6+14=20 16+64=80 就容易了。7+13=20 17+73=90 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+198+12=20 18+82=100 +209+11=20 = （ 1+3+5+7+9

38、+11+13+15+17+19 ） +（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）又如： =100+110（这步利用了例2和例3的结果）15+85=100 14+86=100 =21025+75=100 24+76=100 例6 计算 5+6+7+8+9+1035+65=100 34+66=100 解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。第一讲 速算与巧算（一） 45+55=100 44+56=100等等 5+6+7+8+9+10巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）20、 30、40、50、

39、60、70、80、90、100等等这些整十、一、凑十法： 整百的数就是凑整的目标。 （熟练后，此步骤可省略）同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于 例2 计算 =55-10=4510： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+191+9=10 解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：2+8=10 四、改变运算顺序3+7=104+6=105+5=10在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可巧用这些结果，可以使计算又快又准。 例3 计算 使计算显得十分巧妙！例1 计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 例7 计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+

40、10 解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做： 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加： 解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出1+2=3 3+3=6 正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易6+4=10 10+5=15 出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得15+6=21 21+7=28 非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算，28+8=36 36+9=45 10-9+8-7+6-5+4-3+2-145+10=55 例4 计算 =（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）2+13+25+44

41、+18+37+56+75 =1+1+1+1+1=5这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但 解：用凑整法：缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。 五、带着“+”、“-”号搬家若是利用凑十法，就能克服这种缺点。 例8 计算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：这题只有加减运算，而且1-2不够减。我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就三、用已知求未知 是这个数前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。习题十七解答 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11二、凑整法 这是人们

42、认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就 =1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计 =1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）先减后同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如： 算更快更准。下面再举两个例子。 加1+19=20 11+9=30 例5 计算 =1+1+1+1+1+125 26=6 =12 方法2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共 （1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把 6解： 多拿了多少块。 =55+11+12=

43、78（下）“+5”搬到了“-4”的前面，把“+11”搬到了 10-20+30-40+50-60+70-80+90 (2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬 =10+30-20+50-40+70-60+90-80 =1+1+1+1+1+1+1+1法，可以使计算简便。 =10+（30-20）+（50-40）+（70-60）+（90-80） =8（块） 习题二=10+10+10+10+10 可以看出方法2要比方法1巧妙！ 1三个小朋友分5块糖。要求每人都分到糖，但每人分到=50 的

44、糖块数不能一样多，你能分吗习题一 7解： 平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常 2把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子里都要有1计算：13+14+15+16+17+25 （2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9） 有助于速算。比如，请同学记住几个自然数相加之和： 鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装2计算：2+3+4+5+15+16+17+18+20 =（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9） 1+2=3 按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗3计算：21+22+23+24+25+26+27+28+29 =1+1+1+1+1 1+

45、2+3=6 按同样要求，把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗4 计 算 ： =5 1+2+3+4=10 3把100块糖分给10个小朋友。要求每人都分到单数块5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 8解： 1+2+3+4+5=15 糖，而且每人分到糖块数都不一样，如何分5计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0 （2+4+6+20）-（1+3+5+19） 1+2+3+4+5+6=21 把99块糖按同样要求分给10个小朋友，你能分吗6计算：10-20+30-40+50-60+70-80+90 1+2+3+4+5+6+7=28 4从1到20这20个数中，所有的双数之和与所有的单数之7计算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9） 1+2+3+4+5+6+7+8=36 和的差是多少8计算：（2+4+6+20）-（1+3+5+19） 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 5小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。9计算：（2+4+6+100）-（1+3+5+99） 1+2+3+4+5+6+7+8+9